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切点坐标：解决有关切线问题的钥匙

导数的应用在高考考查中越来越受到重视，其中有一类是考查切线问题，一般解决与曲线y=f(x)切线有关问题时，可先设出切点坐标Q（x0,y0），然后运用切点坐标的一拖三作用解题，即：切线的斜率为k=f′(x0)；切点在切线上：y-y0=k(x-x0)或；切点在已知曲线上y0=f(x0)；将问题转化为函数与方程问题求解。
例1：(2004年重庆文15)已知曲线，则过点的切线方程是_______
解：显然P在曲线上，
若P为切点，则y′|x=2=x2|x=2=4，故切线方程为y=4x-4
若P不为切点，设切点Q（x0,y0）,则
切线斜率k=y′|x=x0=x02 (I)
y0=x03+ (II)
y0-4=x02(x0-2) (III)
由（II）（III）得:x03-3x02+4=0,x0=-1或x0=2（舍）
故切线为：y=x+2
综上得切线为：y=4x-4或y=x+2
注：本题在标答中将P不是切点的情况遗漏了；求解中三次式的因式分解可采用试根法。
例2：已知函数y=f(x)=x3+px2+qx图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，求p,q的值。
解：设与x轴相切的切点A(a,0)(a≠0)
则f ′(a)=3a2+2pa+q=0
又f(a)=a3+pq2+qa=0
解得：p=-2a,q=a2
又由f′(x)=3x2-4ax+a2=0,
得：x=或x=a(舍)时，y极小值=-4
即f()=-4,a=-3,
得：p=6,q=9
评：解题中首先由切点在直线y=0上，设出切点坐标，再由切线斜率为0、切点在曲线上及可导函数在极值点处导数为0建立关于a, p ,q的方程组是解题关键。
例3：（2004苏锡常镇四市联考）若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，
则a=
解：设y=x与y=x3-3x2+ax切于点P(x0,y0)则
y′|x=x0=3x02-6x0+a=1
又P在曲线上，x03-3x02+ax0+a=x0,
消a得：x03-3x02+6x02-3x03=0,解得：x0 =0， 或x0 =
从而a=1或a=
评：求a的值就是解方程（组）。
例4：（2004南通市调研题）过三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)上异于对称中心（）的任一点P1(x1,y1)作f(x)图象的切线，切于另一点P2(x2,y2)，再过P2(x2,y2)作f(x)图像的切线，和f(x)切于点P3(x3,y3)，如此下去，得到P4(x4,y4), P5(x5,y5) ……Pn(xn,yn)
求xn与xn+1的关系。
分析：f′(x)=3ax2+2bx+c，设直线PnPn+1是过Pn且与f(x)的图像切于点Pn+1的切线，且已知切点坐标Pn+1(xn+1,yn+1)，点P(xn,yn)在切线上，则一方面有：
kPnPn+1=f′(xn+1)=3axn+12+2bxn+1+c
另一方面对切线PnPn+1有：
=axn+12+axn+1xn+axn2+bxn+1+bxn+c
∴3axn+12+2bxn+1+c= axn+12+axn+1xn+axn2+bxn+1+bxn+c
即2axn+12-axn+1xn-axn2+bxn+1-bxn=a(2xn+1+xn)(xn+1-xn)+b(xn+1-xn)=0
又∵xn+1≠xn ,∴a(2xn+1+xn)+b=0
即xn+1=
评：紧扣切点坐标的一拖三作用，解题中运用了斜率的算两次，即：
例5：(2003年天津文)已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
分析：由题意公切线是与两曲线均相切的直线，故应分别设出切点坐标，C1和C2 有且仅有一条公切线即公切线对应的切点有且仅有一组解。
（Ⅰ）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P（x1,x+2x1）的切线方程是：
y－(x12+2x1)=(2x1+2)(x－x1),即 y=(2x1+2)x－x12 ①
函数y=－x2+a的导数y′=－2x, 曲线C2 在点Q（x2,－x12+a）的切线方程是
即y－(－x22+a)=－2x2(x－x2). y=－2x2x+x22+a . ②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，
x1+1=－x2
所以
－ x12=x22+a.
消去x2得方程 2x12+2x2+1+a=0.
若判别式△=4－4×2（1+a）=0时，即a=－时解得x1=－，此时点P与Q重合.
即当a=－时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x－ .（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－时C1和C2有两条公切线
设一条公切线上切点为：P（x1,y1）, Q（x2 , y2 ）.
其中P在C1上，Q在C2上，则有
x1+x2=－1,
y1+y2=x12+2x1+(－x22+a)= x12+2x1－(x1+1)2+a=－1+a .
线段PQ的中点为
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.

在高考中重视通则通法的考查，有关切线问题的切点法，主要运用导数、方程与函数的知识，是解与切线有关问题的一个通法。
练习：
1、若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为（ ）
A．(1,3) B．(-1,3) C．(1,0) D．(-1,0)
2、若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处切线方程为2x+y+1=0，那么 （ ）
A．h’(a)<0 B．h’(a)>0 C．h’(a)=0 D．h’(a)的符号不确定
3、已知曲线上一点M处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程只能是（ ）
A．5x+5y-4=0 B．5x-5y-4=0 C．5x-5y+4=0 D．以上都不是
4、若曲线y=x3-2x+a与直线y=3x+1相切，则常数a的值为
5、已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y= -12x.
①求函数f(x)的解析式；
②求函数f(x)在[-3，1]上的值域。

6、设函数f(x)=x3+ax2+bx+c和g(x)=4x2-7x+2满足下列两个条件，求的值。
①f(x)在x =-1处有极值。
②曲线y= f(x)和y= g(x)在点(2,4)处有公切线。

7、已知函数y=f(x) =x3+px2+qx，图象与x轴切于非原点的一点，且y极小= -4，那么p,q的值为

答案：C A D 4. 5. 答：f(x)=4x3-3x2-18bx+5 [-86,16]
6.答：a=0，b=-3，c=2 7. 答：p=6,q=9