中国地质大学(北京)高数期末考试卷(04~09).docx

地大（北京）2005高数期末试卷（A卷）
一、 单选题（4X3=12分）
1. 极限limx→∞11+ex=( )
a. 0 b.1 c.不存在也不是∞ d. ∞
2. 设函数f(x)=x2sin1x x≠00 x=0，则在x=0处f(x) ( ).
a. 极限不存在 b.极限存在但不连续 c,连续但不可导 d.连续且可导
3. 若函数f(x)二阶可导，且f(-x)=f(x)，又当x∈(0,∞)时，f’(x)>0,f’’(x)>0则在(-∞.0)上曲线y=f(x)是:( )
a. 单调上升的凸曲线
b. 单调上升的凹曲线
c. 单调下降的凸曲线
d. 单调下降的凹曲线
4. 设I1=0ax3f(x2)dx (a>0)，I2=0a2xf(x)dx则有: ( )

a. I1<I2
b. I1>I2
c. I1=I2
d. 2I1=I2
二、 填空题（5X3=15分）
1. 极限limx→0x-sinxx3=( )
2. 已知f'(lnx)xdx=x2+C，则f(x)=( )
3. 设f(x)=ddx(0x211+tdt)，则f(x)=( )
4. 定积分I=-11x2sin3x+│x│dx=（ ）
5. 同时垂直于向量a=(1,1,1,) ，b=(1,1,0)的单位向量是（ ）。
三、 计算题(7X7=49分)
1. lim（2x+32x+1）x+1x→∞

2. 已知f(x)连续，求limx→ax0xf(t)dtx-a

3. 设x=ln⁡(1+t2)y=t-arctant，求dydx , d2ydx2

4. x1+cos2xdx

5. 13dxx21+x2

6. 若f(x)=x+1 x≤112x2 x>1，求02fxdx

7. 0+∞xe-xdx

四、 解答题（2X9=18分）
1. 设函数y=f(x)由方程siny+xey=0所确定，求dy和y=f(x)在(0,0)处的切线方程。

2. 设有曲线y=4x-x2。
（1） 在该曲线上求一点，使曲线在该点的切线L平行于X轴。
（2） 求该曲线与上述切线L及y轴所围成的平面图形A的面积。
（3） 求上述平面图形A绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

五、 证明题（6分）
设函数f(x)在[1,2]上有二阶导数，且f(2)=0，又F(x)=x2f(x)，证明在区间(1,2)内有一点ξ使F’’(ξ)=0

地大（北京）2005高数期末试卷（B卷）
一、单选题（5X3=15分）
1当时x→0，变量1xsin1x是( )
A 无穷小量b 无穷大量c.有界但不是无穷小量d无界但不是无穷大量
2点x=0是函数f(x)=x arctan1x的 ( ).
a连续点 b.可去间断点 c,跳跃间断点 d.第二类间断点
3若函数f(x)二阶可导，且f(-x)=f(x)，又当x∈(0,∞)时，f’(x)>0,f’’(x)>0则在(-∞.0)上曲线y=f(x)是:( )
a单调上升的凸曲线
b单调上升的凹曲线
c单调下降的凸曲线
d单调下降的凹曲线
4设I1=0ax3f(x2)dx (a>0)，I2=0a2xf(x)dx则有: ( )

a I1<I2
b I1>I2
c I1=I2
d 2I1=I2
5 设函数y=0xsintdt (0≤x≤π)，则曲线y的弧长是（ ）
A. 1 B.π c.π2 D. 4
二、填空题（4X3=12分）
1设limx→∞(1+2ax)x3，则a=( )
2已知f’(x0)存在，则limh→0fx0+3h2-f(x0)hsinh=( )
3定积分I=-112x2cos3x+│x│dx=（ ）
4 过点A(1,2,0)且与平面x+2y+3z-6=0垂直的直线方程为( )

三、计算题(7X7=49分)
1 limx-sinxx2sinxx→0

2 y=lnex1+ex，求y’

3 设x=⁡2t+t2y=ln⁡(1+t)，求dydx , d2ydx2

4 x arc tanxdx

5 14x1+xdx

6 若f(x)=x2 x∈[0,) x x∈[1,2] ，求ψ(x)=0xf(t)dt在[0,2]上的表达式。

7 0+∞xe-xdx

四、解答题（2X9=18分）
1设f(x)=1xe2x-1 x<0a+sinbx x≥0，试确定常数a,b的值，使f(x)在(-∞,+ ∞)上可导。

2求曲线y=1-x2，y=x2 ，y轴所围成的第I象限部分图形的面积，并求该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

五、证明题（6分）
设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1。试证明存在一点ξ∈（0,3）使f ’(ξ)=0

地大（北京）2007高数期末试卷（A卷）
一、 选择题（每题3分，共24分）
1. 下列结论中，正确是：（ ）
A. 若limn→∞x2n=a ，limn→∞x2n+1=a，则limn→∞x,n=a
B. 发散数列必然无界
C. 若limn→∞x3n-1=a，limn→∞x3n+1=a ，则limn→∞x,n=a
D. 有界数列必然收敛。
2. 当x→1时，无穷小量1-x是2(1-x)的（ ）

A. 高阶无穷小
B. 低阶无穷小
C. 等价无穷小
D. 通解但不等价无穷小

3. f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x-99)(x+100)，则f’(0)=( )

a. -100
b. 101!
c. 100
d. 100!

4. 设函数y=(x)的导数为cosx，且y（0）=1，则y(x)=( )

a. cosx
b. sinx
c. cosx+x
d. sinx+x

5. 函数f(x)=1-x2在区间[-1.3]上满足拉格朗日中值定理，定理中的ξ=( )

a. 0
b. 1
c. -1
d. 2

6. 若f(x)dx=2ex2+C，则f(x)=( )

a. 2ex2
b. 4ex2
c. ex2+C
d. ex2
7. 设函数y=0πsintdt (0≤t≤π)，则曲线y的弧长是（ ）

a. 1
b. π

c. π4
d. 4

8. 下列关于广义积分0+∞dxxp的说法正确的是（ ）
a. 当且仅当p>1时收敛。
b. 当且仅当p=1时收敛。
c. 当且仅当p≦1时收敛。
d. 对任何p都不收敛。
二、 计算下列极限（每题6分，共12分）
1. limx→+∞(4x2+3x-2x)

2. limx→00xetdt-sinxx2sinx

三、 计算下列积分（每题7分，共24分）
1. (x2+1)2dx
2. x∙arctanx dx
3. 04x+22x+1dx
4. 已知f(x)=x2+1 x≥02e-x x<0，求-12f(x)dx
四、 设f(x)=e1x-1 x>0ln1+x -1＜x≤ 0，求f(x)的间断点，并说明间断点的所属类型。

五 求过点(2.0.-3)且与直线x-2y+4z-7=03x+5y-2z+1=0垂直的平面方程。

六、 设y(x)是由方程xy+ey=1所确定的隐函数，求y’及y’’(0)。

七、 求曲线y=x 的一条切线l ，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的平面图形的面积最小。

八、 证明方程0x1+x4dx+cosx0e-x2dx=0在[0,π2]内有且仅有一个实根。

九、 求曲线y=x2 的一条切线l ，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的平面图形的面积最小。

十、 设f(x)在[a.b]上可微，在(a,b)内二阶导数存在，且f(a)=f(b),f+'af-'b>0，证明存在ξ∈(a,b)使f’’(ξ)=0。

地大（北京）2007高数考研试卷
一 单选题（每题7分，共21分）
1、设f(x)=x2，ψ(x)=2x 则f(ψ(x))=( )
A．2x2 B. x2x C.x2x D.22x
2 当x→1时，与2arc tanx-x2等价的无穷小量是（ ）
A. 4(x-1) B. 2(x-1) C. x-1 D. (x-1)2
3 x=π是函数f(x)=xsinx的（ ）
A. 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 无穷间断点
4 设f(x)=x2+1 x≤2x2+4 x>2则在x=2处函数f(x) ( )
A 不连续 B 连续且可导 C 可导但导数不连续 D连续但不可导
5 当f’(x0)=0时，f’’(x0)>0是函数y=f(x)在点x=x0处有极小值的（ ）
A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D既不充分也不必要的条件
6 设函数f(x)连续，则ddx(fxdx)=( )
A f(x)dx B f(x) C f(x)+C (C为常数) D f’(x)
7 y1=ex-1,y2=ex+2,y3=e3-x都是方程y’’-y=0的特解，则不是该方程的通解的是（ ）[c1,c2为任意常数]
A c1 y1+c2 y2+y3 B c1 y1+y2+c2 y3
C y1+c1 y2+c2 y3 D c1 y1+c1 y2+ c2 y3
二 填空题（每题4分，共24分）
1 limn→∞n2+n+1(n-1）2 =( )
2 limx→∞0x(arccott)2dt1+1+x2 = ( )
3 设y=cosx +x ey，则│dydx│x=0= ( )
4 有曲线y=ex和直线y=x+1,x=1所围成的平面图形的面积为（ ）
5 cot3xdx=( )
6 -10xdx1+x=( )

三 计算题（每题7分，共42分）
1 设f(x)=(1+x)a2x,x<02+x2 ,x≥0 求常数a，使得函数f(x0在x=0处连续。

2 计算 0ln2x2e-xdx
3 设y=cos lnx+sin lnx，求 x2y''+x y'

4 计算13x2+1x4dx

5 求微分方程xdy-ylny dx=0满足条件y│x=1=e的特解。

6 设y=(x-1) 31+x1-x3 ，计算y’

7 设y=sin ax sin bx (a,b为常数)，求y(n)

四 12分 求函数y=x(1-x)3的单调区间、极限及其图形的拐点。

五 9分 若一直角三角形的一直角边与斜边长度之和为常数a，求面积最大的直角三角形的边长。

六 12分 求方程y’’-y’-2y=e-x满足条件y│x=0=y'│x=0=0的特解。

七 9分 若过点（1.1）的曲线在其上任一点(x,y)处的切线在纵轴上的截距等于切线到原点的距离的平方与切点的横坐标之比，求此曲线方程。

八 10分 设由曲线y=1-x2,y=ax2 (a>0)所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积等于由曲线y=1-x2和x轴所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积的一半，求a的值。

九 11分 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，0<a<b<π2，证明在开区间(a,b)内至少存在两点ξ1ξ2，使得tanacos2ξ1f’(ξ1)=cot b sin2 ξ2f'(ξ2)
地大（北京）2007高数期末试卷（B卷）
一 填空题（6X4=24分）
1. y=sin[sin(x2)],则dydx=（ ）
2. 已知-∞+∞a1+x2dx=π , a=( )
3. 1ee│lnx│dx=( )
4. y=ex过原点的切线方程为（ ）
5. 已知f(x)= ex，则f'(lnx)xdx=( )
6. A=( ),b=( ),点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点。

二 极限下列极限（6X6=36分）
1. 求y=(sinx)cosx得导数。
2. 求sinlnxdx
3. 求x+5x2-1dx
4. 设f(x)=ex x≥0xk+1 x<0 在点(0,0)处可导，则k为何值？
5. 求极限limx→∞(1n2+12+1n2+22+…+1n2+n2)
6. 过点（2,2,0）且与两直线x+2y-z+1=0x-y+z-1=0和2x-y+z=0x-y+z=0平行的平面方程。
三 解答下列各题（7X4=28分）
1. 设x=Rcosty=Rsint，求d2ydx2

2. 求F(x)=0xt(t-1)dt在[-1,2]上的最大值和最小值。

3. 设y=y(x)由方程x(1+y2)-ln(x2+2y)=0所确定，求y’(0)

4. 由y=x2与y2=x围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

四 证明题（6X2=12分）
1. 证明过对曲线任何一点之切线与二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

2. 设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明至少存在一点ξ，使得
f(ξ)ξbgxdx=g(ξ)aξf(x)dx

地大（北京）2004高数期末试卷
一 选择题（10X2=20分）
1. 当x→0时，下列变量是无穷小量的有（ ）
a. xsin1x2 b 1xsinx c e-x d 1-x2
2. limx→∞(1+2x)x=( )
A e2 B e C e D. ∞
3. limn→∞4n3-n+15n3+n2+n=( )
A 0 B 4/5 C 1 D ∞
4. 函数y=x2+2x-3的单调减少区间是（ ）
A (-1,+ ∞) B (-1,0) C (0,+ ∞) D (-∞,-1)
5. 下列函数中在点处可导的是（ ）
A 1x B│x│ C 1ex-1 D │x│2
6. 函数y=(x-2)2在(-∞,+ ∞)内的极限值为( )
A 0 B 1 C 2 D 不存在
7. 若函数f(x)=sinx-sin2x在点x=0处连续，则f(0)应规定为（ ）
A 1 B 0 C 2 D 12
8. 设产品的利润函数为L(x)，生产x0个单位时间的边际利润为（ ）
A L(x0)x0 B dL(x)dx C dL(x)dx│x=x0 D ddx(L(x)x)
9. 已知f(x)=x2，则limx→0fx0-2x-f（x0）-2x=( )
A 2x0 B -2x0 C 4x0 D -4x0
10. 若fxdx=3ex3+C，则f(x)=( )
A 3ex3 B 9ex3 C ex3+C D ex3
二、计算题（每题8分，共7题56分）
1. 求极限limx→0ex-1sinx1-cosx

2. 已知y=x1-x2+arc sin x，求y’，y’’

3. 设f(x)=xsinx (x>0) ，求f’(x)

4. 设函数y=f(x)是由方程xy-ex+ey=0确定的隐函数，求y’,y’│x=0

5. 求积分xx2-3dx

6. 求积分exsinxdx

7. 讨论函数y=x3-x2-x+1的单调性、凹向、极限和拐点。

三 应用题（10X2共20分）
1. 自点(0,-4)作曲线y=x32的切线，求此切线方程。

2. 设某商品需求函数ψ=f(P)=12-0.5P（P为价格，单位为万元/件）
（1） 求需求弹性函数
（2） 求当P=6时的需求弹性。
（3） 求最大收益。

四 证明题（4分）
证明不等式x1+x<ln1+x<x (x>0)

地大（北京）2006高数(第一学期半期)试卷
一 填空题：
1. 设f(x)=cosxx+2 , x≥0a-a-xx ,x>0 (a>0)，当a=( )时，x=0是f(x)的连续点。
2. 设方程x-y+arctany=0所确定的y=y(x)，求dydx=( )
3. limx→01+acos2x+bcos4xx4=A,则a=( ),b=( ),A=( )
4. 函数y=x2x的极小值为（ ）
5. 设f(x)=x lnx在x0处可导，且f’(x0)=2，则f(x0)=( )
6. 设limx→0fx-f（0）x2=-1，则f(x)在x=0取得（ ）【填极大值或极小值】
二 函数f(x)=1+x-1x x>00 x≤0是否连续？是否可导？并求f(x)的导数。
三 解下列各题
1. limx→0(1+2x)2x-1x2

2. limx→∞x2(31x+3-1x-2)

3. 设曲线方程为x=t+2+sinty+t+cost ，求此曲线在x=2点处的切线方程及d2ydx2│x=2

四 试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c 在点（1,-1）处有拐点，且在x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。

五 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。

六 证明不等式：αβ>βα (e<α<β)

七 y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限limn→∞nf(2n)

八 设f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(12)=1，证明：
（1） 至少有一点ξ∈(12,1)，使得f(ξ)= ξ
（2） ∀λ∈R，存在η∈(0, ξ)，使得f’(η)- λ[f(η)-η]=1
地大（北京）2008高数期末试卷（B卷）
一 填空题（每题3分，共7题21分）
1. limn→∞(n+2n+1)3n=( )
2. 设函数f(u)可微，且y=f(cos2x) ,则dy=( )
3. 函数y=xe-2x的单调递增区间为( )
4. 1(cos2x)2dx=( )
5. 若0xftdt=x cosx，则f(x)=( )
6. 微分方程y’’+y’-6y=0的通解为( )
7. 曲线x=etsin2ty=etcos2t在t=0处切线方程为( )
二 计算题（每题6分共8题4 8分）
1. limx→+∞x(x2+1-x)

2. 设x=12t2y=1-t 求d2ydx2

3. 计算不定积分1x(x6+4)dx

4. 求limx→00xln⁡(1+t)dtx2

5. 求01x arctanxdx

6. -∞+∞dxx2+2x+2

7. 求13│x(x-2)│dx

8. limn→∞1p+2p+…+npnp+1 (p>-1)

三 解答题（每题8分共2题16分）
1. 求(y+x2+y2)dx－xdx=0的通解。

2. 求曲线y=13x3-x2+2的单调区间、极限、凹凸区间和拐点。

四 9分在曲线y=x2 (x≧0)上A(1,1)处作切线，求
（1） 该切线、曲线y=x2 (x≥0)和x轴所围成的（平面图形）面积

（2） 该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

五 证明题（5分）设函数f(x)在闭区间[0,2]连续。在开区间(0,2)二阶可导，f(0)=f(12)又2121fxdx=f(2)，试用罗尔定理证明：在(0,2)内存在一点ξ，使f’’(ξ)=0

地大（北京）2009高数期末试卷（A卷）
一 填空题（每题3分，共6题18分)
1. limx→0(1-2x)1sinx=( )
2. 设函数f(u)可微，且y=f(3-x)，则dy=( )
3. 函数f(x)=x4在区间[1,2]上满足拉格朗日定律条件，则中值ξ=( )
4. xexdx = ( )
5. 设f(x)=2x+201f(t)dt，则01fxdx=( )
6. 微分方程y’’+y’-6y=0的通解为（ ）。
二 计算题（每题6分共8题48分）
1. limx→0ln⁡(1+x)x
2. limx→πtan3xsin5x
3. 设x=ln⁡(1+t2)y=t-arctant 求d2ydx2
4. 计算不定积分sinxcos3xdx
5. 计算积分01exdx
6. 判断0+∞x1+x2dx的收敛性
7. 求02│1-x│dx
8. 求y’=eyx+yx的通解。
三 解答题（1,2题9分，3题11分，共29分）
1. 设f(x)=(x2007-1)g(x)，其中g(x)在x=1处连续且g(1)=1，求f’(1)
2. 求曲线y=13x3-x2+2的单调区间、极限、凹凸区间和拐点。
3. 求曲线y=x2,x=y2所围成的图形的面积以及该图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

四证明题（5分）设函数f(x)在闭区间[a,b]连续，且f(x)>0，试证 abf(x)dxabdxf(x)≥(b-a)2