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时间序列分析方法讲义 第2章 滞后算子及其性质
第二章 滞后算子及其性质
滞后算子是对时间序列进行动态线性运算的主要工具，利用滞后算子可以使得一些非线性运算非常简洁。
§2.1 基本概念
时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为：

如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进一步扩充。相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为：

例2.1 几种代表性的时间序列
(1) 时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时：；
(2) 另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即：，是常数，这种时间的取值不受时间的影响；
(3) 在随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为：，是一个独立随机变量序列，每个随机变量都服从分布。
时间序列之间也可以进行转换，类似于使用函数关系进行转换。它是将输入时间序列转换为输出时间序列。
例2.2 几种代表性的时间序列转换
(1) 假设是一个时间序列，假设转换关系为：，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。
(2) 假设和是两个时间序列，算子转换方式为：，此算子是将两个时间序列求和。
定义2.1 如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做。即对任意时间序列，滞后算子满足：
(1)
类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为，对任意时间序列，二阶滞后算子满足：
(2)
一般地，对于任意正整数，有：
(3)
命题2.1 滞后算子运算满足线性性质：
(1)
(2)
证明：(1) 利用滞后算子性质，可以得到：

(2) End
由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。
显然，滞后算子作用到常数时间序列上，时间序列仍然保持常数，即：。
§2.2 一阶差分方程
利用滞后算子，可以将前面的一阶差分方程表示成为滞后算子形式：
(4)
也可以表示为：
(5)
在上述等式两边同时作用算子：，可以得到：

计算得到：

利用滞后算子性质得到：
(6)
上述差分方程的解同利用叠代算法得到的解是一致的。
注意到算子作用后的等式：

如果时间序列是有界的，即存在有限的常数，使得任意时间均有：，并且，则上式当中的尾项随着时间增加趋于零。从而有：
(7)
如果利用“1”表示恒等算子，则有：
(8)
记（需要注意的是，这里只是表示一个运算符号）：
(9)
因此得到了“逆算子”的表达式，这类似于以滞后算子为变量的函数展开式。
定义2.2 当时，定义算子的逆算子为，它满足：
(1) (10)
其中表示单位算子，即对任意时间序列，有：
(2) 在形式上逆算子可以表示为：
(11)
这表示逆算子作为算子运算规则是：对于任意时间序列，有：

当时，逆算子的定义以后讨论。
如果时间序列是有界的，则一阶差分方程的解可以表示为：

可以验算上述表达式确实满足一阶线性差分方程。但是解并惟一，例如对于任意实数，下述形式的表达式均是方程的解。

上述差分方程的解中含有待定系数，这为判断解的性质留出一定的余地。
§2.3 二阶差分方程
我们考察二阶差分方程的滞后算子表达式：

将其利用滞后算子表示为：
(12)
对二阶滞后算子多项式进行因式分解，即寻求和使得：

显然和是差分方程对应的特征方程的根：
(13)
当特征根和落在单位圆内的时候(这也是差分方程的稳定性条件)，滞后算子多项式分解为：
，

这时二阶差分方程解可以表示为：

注意到算子分式也可以进行分项分式分解(如此分解需要证明，参见Sargent，1987，p. 184)：

将上述表达式带入到二阶差分方程解中：

其中：，
利用上述公式，可以得到外生扰动的动态反应乘子为：
， (14)
上述利用滞后算子运算得到的乘数与以前所得完全一致。
例2.3 对于二阶差分方程而言，其特征方程是：

得到特征根为：
，
上述方程的稳定性与滞后算子多项式的根落在单位圆内是一致的。

§2.4 p阶差分方程
上述算子多项式的分解方法可以直接推广到p阶差分方程情形。将p阶差分方程表示成为滞后算子形式：
(15)
将上式左端的算子多项式分解为：
(16)
这相当于寻求使得下述代数多项式恒等：
(17)
定义，则可以将上述多项式表示成为：
(18)
这意味着算子多项式的分解，就相当于求出差分方程特征方程的根。
如果差分方程的根相异，且全部落在单位圆内，则可以进行下述分式分解：
(19)
通过待定系数法，可以得到上述分式中的参数为：
， (20)
显然有：
(21)
利用上述算子多项式分解，可以得到差分方程的解为：
(22)
通过上述方程通解，可以得到动态反应乘子为：
， (23)
命题2.2 外生变量对现值的影响和外生变量持续扰动对的动态影响乘子是：

证明：将差分方程的解表示为：
，
其中：
，
设：

利用算子多项式表示：

对现值的影响可以表示为：

注意到：

因此有：

长期乘数相当于的情形，从而得到公式所示的公式。 End
上述命题结论是利用滞后算子多项式推导的，其结论同利用差分方程矩阵表示所得到的结论是一致的。
§2.5 初始条件和无界序列
假设给定下述线性差分方程：
(24)
一般情况下，求解p阶差分方程的特解，需要p个初值：，也需要外生变量的一个输入序列：，这样一来根据差分方程结构，便可以确定的时间路径。但是，在一些常见的经济或者金融时间序列当中，无法给定具体的初值或者完整的外生输入变量，那么这时差分方程解的性质如何？
例2.4 假设变量表示股票价格，表示股票派发的红利。如果一个投资者在时刻买入股票，然后在时刻卖出股票，则他将获得实际红利收入和价格收益，因此投资者的收益率为：
(25)
在简单的股票市场模型当中，假设收益率是常数，则上述方程可以转化为股票价格的差分方程模型：
(26)
如果知道红利序列和股票价格的初值，则可以得到股票价格路径为：
(27)
但是如果仅仅知道红利序列，而不知道股票价格初值，则可能有很多价格轨迹满足价格的差分方程。为了说明这个问题，进一步假设红利为常数，则有：
(28)
(1) 如果初始时期股票价格等于红利贴现，即，则有：
，
此时股票价格保持常数，股价等于红利除以收益率。这种股票价格被称为在收益率是常数情形的股价基础成分。
(2) 假设初始股价超过了，即，这时股票价格出现了扩散现象，这与资产定价理论相符。因为为了保持资产收益率不变，股票的价格就会出现持续上升，同时假设红利是固定的，红利带来的实际收益减少将被股价的加速增长所弥补，这样就出现了股票价格膨胀的现象，即出现股票价格泡沫。
(3) 为了消除股价中的投资泡沫，一种方法是对股票价格路径给予有界性限制。例如，假设对于所有时期的股票价格满足：
，
这样一来，满足上述约束的股票价格路径便是常数的市场基础价格。
上面假设了常数红利，现在假设红利序列是有界的。将股价表示为：

进行向前叠代运算有：

如果价格序列满足约束条件：

在假设和均是有界序列，则得到股票价格水平满足：

这是红利随时间变化时股票价格的市场基础成分。
需要注意的是，对于上述情形的市场基础成分，需要投资者对于未来红利具有完全预期。当引入预期红利时，上述表达式仍然适用，这时可以修改为：

利用红利预期的股价公式，可以确定价格初值：

如此初值是否满足一般的股价模型，我们可以代入到具有初值的确定解中验证：

将代入上式后得到：

这正是在边界条件下所推导的向前预期解，由此可见该解与初值选择是吻合的。
例2.5 我们继续利用滞后算子方法讨论股票价格路径的性质。利用算子表示为：

在上述表达式中，滞后算子多项式的特征根小于1，无法采用逆算子的一般表达式，为此我们需要采取新的定义。
定义滞后算子的逆算子为，具有性质：
(1)
(2)
这样一来，滞后算子乘积就具有幂乘的性质：
对于任意正整数和，有：
对方程(2.12)两端乘以算子多项式：

整理得到：

当，且红利序列是有界的，则上述极限为：

根据上述运算，可以定义下述算子的逆算子：

§2.6 差分方程的求解方法
上面我们主要论述了差分方程的表示和外生扰动的动态乘子，下面我们给出差分方程的一般求解过程。
第一步：构造p阶齐次差分方程，并且寻求齐次方程的p个解：，
第二步：构造p阶非齐次差分方程的特解。
第三步：齐次方程p个解的线性组合加上非齐次方程的一个特解，得到非齐次方程的通解。
第四步：根据给定的边界条件，确实通解当中的未知参数，得到非齐次方程的确定解。

2.6.1 齐次差分方程的通解和稳定性
p阶齐次差分方程的形式是：

命题2.3 对于差分方程而言，下述推断成立：
(1) 如果是方程的解，则对任意常数，也是解。
(2) 如果和是方程的解，则对任意实数和，也是方程的解。
证明：留做练习。

对于p阶齐次差分方程，我们尝试地检验解的形式是：，代入差分方程为：

由此可见，应该是上述特征方程的根。因此，如果差分方程具有相异实数根的时候，可以得到p个解为：，，此时解的稳定性要求所有根落在单位圆内。
命题2.4 对于齐次差分方程而言：
(1) 齐次方程所有特征根落在单位圆内的必要条件是：；
(2) 齐次方程所有特征根落在单位圆内的充分条件是：；
(3) 齐次方程至少具有一个单位根的充要条件是：
如果齐次方程的特征根出现重根，则应该寻求多项式与指数函数乘机形式的解。例如，如果二阶齐次差分方程具有重根，则两个解应该分别是，。
2.6.2 非齐次差分方程的特解
如何寻求非齐次线性差分方程的特解，需要根据非齐次项的具体性质判断。
(1) 指数形式的非齐次项
此时方程形式是：

可以尝试特解形式为：，可以求解出特解为：

如果，尝试解的形式为：

如果，可以选取其他形式的尝试解。
(2) 确定性时间趋势
此时方程形式是：

此时尝试解的形式选为：

2.6.3 非齐次差分方程的通解
获得齐次方程的p个解以后，它们的线性组合构成了齐次方程的通解；如果再获得一个非齐次方程的一个特解，则可以得到非齐次方程的通解，它是齐次方程p个解的线性组合加上非齐次方程的特解。
这里需要注意的是，上述通解中的线性组合中有p个未知系数，这是需要p个条件来确定这些系数，这些系数确定以后，就可以得到具有边界或者初值条件的差分方程的具体解，或者唯一解。这个唯一解的系数则具有相应的经济含义。
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