开关变换器的时间平均等效电路建模.doc

第六章 开关变换器的时间平均等效电路
开关变换器的状态空间平均建模和分析方法存在计算复杂、物理概念不清晰和不直观的缺点。为了简化开关变换器的建模和分析，更直观、方便的分析开关变换器电路，有必要研究开关变换器的等效电路建模和分析方法。
本章所讨论的开关变换器的时间平均等效电路（Time Averaging Equivalent Circuit, TAEC）建模和分析方法，可以有效简化开关变换器的建模与分析过程。开关变换器的TAEC建模和分析方法的关键是采用受控电压源或者受控电流源等效替代开关变换器中的开关元件，得到电路结构不变的等效电路，从而可方便的使用基本的电路分析方法对开关变换器的直流稳态和交流小信号特性进行分析。
6.1 开关变换器的时间平均等效电路原理
在讨论开关变换器的时间平均等效电路建模分析方法之前，我们做如下假定：
（1） 开关变换器是唯一可解的
（2） 开关变换器工作于周期稳态
（3） 开关变换器的开关频率fS远大于开关变换器的最大特征频率f0，即：fS >> f0
则在上述假设条件下，我们可以对开关变换器进行时间平均等效变换。

a)

b)
图6-1 开关变换器及其时间平均等效
开关变换器的时间平均等效电路建模分析的基本思想是将开关变换器N中所有的开关元件抽取出来，形成开关子网络NS和线性时不变动态子网络 NC，如图6-1a)所示。当开关变换器满足上述条件(1)~(3)时，可以分别用受控电压源或受控电流源代替开关变换器的开关子网络NS中的开关元件，得到由受控电压源和受控电流源构成的等效开关子网络 N¢S，如图6-1b)所示。当受控电压源或受控电流源的值分别是在一个开关周期内它所代替的开关元件两端的电压或流过该开关元件的电流的平均值，且在等效变换过程中，没有形成电流源（电感）割集和电压源（电容）回路，则在时间平均意义下，开关变换器N可以等效为由线性时不变动态子网络NC和等效开关子网络N¢S构成的开关变换器的时间平均等效电路。
由开关变换器的时间平均等效电路建模思想可知，开关变换器的时间平均等效电路方法可以很方便地应用于开关变换器的建模分析。
6.2 CCM开关变换器时间平均等效电路分析
为了讨论开关变换器的时间平均等效电路建模分析的方法，下面将首先讨论电感电流连续导电工作模式下开关变换器的时间平均等效电路建模方法。
6.2.1 Boost变换器时间平均等效电路模型
如图6-2a)所示Boost变换器，在一个开关周期内存在两个开关工作状态，当t0 < t < t0 +dT时，开关管S导通，二极管D关断，如图6-2b)所示；当t0+dT < t < t0 +T时，开关管S关断，二极管D导通，如图6-2c)所示。

a)

b)

c)
图6-2 Boost变换器及其在一个开关周期内的等效电路
当Boost变换器的开关频率远大于它的特征频率时，在一个开关周期内，可以认为电路的状态变量保持不变，即电容电压和电感电流保持恒定，因此，可以将电感看作电流为的电流源，将电容看作电压为的电压源。则由开关变换器的时间平均等效原理，可以得到Boost变换器的时间平均等效电路，如图6-3所示，其中：
(6-1)
(6-2)

图6-3 Boost变换器的时间平均等效电路
在上面的分析中，我们假定电路工作于直流稳态，不存在小信号扰动。当输入和控制变量d存在小信号扰动时，即
， (6-3a)
输入和控制变量的小信号扰动，将引起电路中的各个状态变量及等效受控源的小信号扰动，即
，，，， (6-3b)
其中，，d，，，，，代表时间平均分量，，D，，，，，代表直流分量，，，，，，，代表小信号扰动分量。
对于小信号扰动，我们有<<，<<D，<<，<<，<<，<<，<<，将(6-3）代人(6-1）和(6-2），通过忽略二次及以上小信号扰动项，我们得到：
(6-4a)
(6-4b)
分离式(6-4）中的直流稳态和交流小信号分量，我们可以分别得到Boost变换器的直流稳态等效电路和交流小信号等效电路。
图6-3和式(6-4）中的，我们可以得到如图6-4所示Boost变换器的直流稳态等效电路。图中
， (6-5a)

图6-4 Boost变换器的直流稳态等效电路
类似的，当仅考虑图6-3和式(6-4)中的小信号扰动项时，我们得到如图6-5所示Boost变换器的交流小信号等效电路。图中
， (6-5b)

图6-5 Boost变换器的交流小信号等效电路
由图6-4和图6-5所示Boost变换器的直流稳态和交流小信号等效电路，我们可以进行Boost变换器的直流稳态和交流小信号分析。
6.2.1.1 Boost变换器直流稳态分析
在分析直流稳态特性时，将电容看作开路，电感看作短路，则由如图6-4所示Boost变换器的直流稳态等效电路，我们有：
(6-6a)
(6-6b)
(6-6c)
(6-6d)
(6-6e)
则由式(6-6），我们可以得到Boost变换器的直流电压传输关系V0/Vg为：
(6-7)
其中D¢=1-D。
6.2.1.2 Boost变换器交流小信号的分析
对于如图6-5所示Boost变换器的交流小信号等效电路，我们可以采用常规的电路分析方法对它的时域或频域特性进行分析。
为简化计算，图6-5中RL=RC=0，则由图6-5可得：
(6-8a)
(6-8b)
(6-8c)
(6-8d)
令(6-8）中，则由图6-5，我们可以得到Boost变换器的输出/输入传递函数为：
(6-9a)
同理，令(6-8）中，由图6-5，我们可以得到Boost变换器的输出/控制传递函数为：
(6-9b)
在上面的分析过程中，我们选择了如图6-3所示Boost变换器的时间平均等效电路。根据开关变换器的时间平均等效电路建模分析可以得到Boost变换器的时间平均等效电路，如图6-6和图6-7所示。
在图6-6中，有：
(6-10a)
(6-10b)
其中：d¢=1-d。
在图6-7中，有：
(6-11a)
(6-11b)
显然，如图6-6和图6-7所示Boost变换器的时间平均等效电路与图6-3所示的电路完全相同。
需要注意的是，只有当存在输出电容的等效串联电阻时，才可以得到如图6-7所示等效电路，否则，将会形成一个电压源和电容回路。

图6-6 Boost变换器的时间平均等效电路II

图6-7 含两个受控电压源的Boost变换器时间平均等效电路III
前面我们详细讨论了Boost变换器的时间平均等效电路的建模分析，下面，我们将利用时间平均等效电路建模方法，对Buck和Buck-Boost变换器进行分析。
6.2.2 Buck变换器时间平均等效电路分析
6.2.2.1 Buck变换器时间平均等效电路模型

a)

b)

c)
图6-8 Buck变换器及其在一个开关周期内的等效电路
如图6-8a)所示Buck变换器，在一个开关周期内存在两个开关工作状态，当t0 < t < t0 +dT时，开关管S导通，二极管D关断，如图6-8b)所示；而当t0+dT < t < t0 +T时，开关管S关断，二极管D导通，如图6-8c)所示。
类似地，由开关变换器的时间平均等效原理，可以得到Buck变换器的时间平均等效电路，如图6-9所示，其中：
(6-12a)
(6-12b)

图6-9 Buck变换器的时间平均等效电路
当存在小信号扰动时，通过忽略二次及以上小信号扰动项，图6-9中Buck变换器时间平均等效电路中受控电压源和受控电流源的值为：
(6-14a)
(6-14b)
分离式(6-14)中的直流稳态和交流小信号分量，我们可以分别得到Buck变换器的直流稳态等效电路和交流小信号等效电路。

图6-10 Buck变换器的直流稳态等效电路
图6-9和式(6-14）中的，我们可以得到如图6-10所示Buck变换器的直流稳态等效电路，图中受控电流源和受控电压源的值为
， (6-15a)
类似地，当仅考虑式(6-14)中的小信号扰动项时，我们可以得到如图6-11所示Buck变换器的交流小信号等效电路，图中受控电流源和受控电压源的值为：
， (6-15b)

图6-11 Buck变换器的交流小信号等效电路
由图6-10和图6-11所示Buck变换器的直流稳态和交流小信号等效电路，我们可以进行Buck变换器的直流稳态和交流小信号分析。
6.2.2.2 Buck变换器直流稳态分析
在分析直流稳态特性时，可以将电容看作开路，电感看作短路，则由如图6-10所示Buck变换器的直流稳态等效电路，我们有：
(6-16a)
(6-16b)
(6-16c)
则由式(6-16），我们可以得到Buck变换器的直流电压传输关系Vo/Vg：
(6-17)
6.2.2.3 Buck变换器交流小信号的分析
对于如图6-11所示Buck变换器的交流小信号等效电路，我们可以采用常规的电路分析方法对它的时域或频域特性进行分析。
为简化计算，图6-11中RL=RC=0，则由图6-11可得
(6-18a)
(6-18b)
(6-18c)
令(6-18)中，则由图6-11，我们可以得到Buck变换器的输出/输入传递函数为
(6-19)
同理，令(6-18)中 ，则由图6-11，我们可以得到Buck变换器的输出/控制传递函数为
(6-20)
在上面的分析过程中，我们选择了如图6-9所示Buck变换器的时间平均等效电路。根据开关变换器的时间平均等效电路建模分析原理，我们还可以得到Buck变换器的时间平均等效电路，如图6-12所示。

图6-12 Buck变换器的时间平均等效电路II
在图6-12中，有：
(6-21a)
(6-21b)
其中：d¢=1-d。
显然，如图6-9所示Buck变换器的时间平均等效电路与图和图6-12所示的电路是等效的。
需要注意的是，对于Buck变换器，开关管和二极管不能同时采用受控电压源或受控电流源来替代，否则，将形成电压源回路或电流源-电感割集。
6.2.3 Buck-Boost变换器时间平均等效电路分析
6.2.3.1 Buck-Boost变换器时间平均等效电路模型
如图6-13a)所示Buck-Boost变换器在一个开关周期内存在两个开关工作状态，当t0 < t < t0 +dT时，开关管S导通，二极管D关断，如图6-13b)所示；而当t0+dT < t < t0 +T时，开关管S关断，二极管D导通，如图6-13c)所示。

a)

b)

c)
图6-13 Buck-Boost变换器及其在一个开关周期内的等效电路
类似地，由开关变换器的时间平均等效原理，我们可以得到Buck-Boost变换器的时间平均等效电路，如图6-14所示，其中：
(6-22a)
(6-22b)

图6-14 Buck-Boost变换器的时间平均等效电路
当存在小信号扰动时，忽略二次及以上小信号扰动项，图6-14中Buck-Boost变换器时间平均等效电路中受控电压源和受控电流源的值为：
(6-23a)
(6-23b)
分离式(6-23）中的直流稳态和交流小信号分量，我们可以分别得到Buck-Boost变换器的直流稳态等效电路和交流小信号等效电路。
图6-14和式(6-23）中的，我们可以得到如图6-15所示Buck-Boost变换器的直流稳态等效电路，图中受控电流源和受控电压源的值为：
， (6-24a)

图6-15 Buck-Boost变换器的直流稳态等效电路
类似地，当仅考虑式(6-23)中的小信号扰动项时，我们可以得到如图6-16所示Buck-Boost变换器的交流小信号等效电路，图中受控电流源和受控电压源的值为
， (6-24b)

图6-16 Buck-Boost变换器的交流小信号等效电路
由图6-15和图6-16所示Buck-Boost变换器的直流稳态和交流小信号等效电路，我们可以进行Buck-Boost变换器的直流稳态和交流小信号分析。
6.2.3.2 Buck-Boost变换器直流稳态分析
在分析直流稳态特性时，可以将电容看作开路，电感看作短路，则由如图6-15所示Buck-Boost变换器的直流稳态等效电路，我们有：
(6-25a)
(6-25b)
(6-25c)
则由式(6-25），我们可以得到Buck-Boost变换器的直流电压传输关系Vo/Vg：
(6-26)
其中，D¢=1-D。
6.2.3.3 Buck-Boost变换器交流小信号的分析
对于如图6-16所示Buck-Boost变换器的交流小信号等效电路，我们可以采用常规的电路分析方法对它的时域或频域特性进行分析。
为简化计算，图6-16中RL=RC=0，则由图6-16可得
(6-27a)
(6-27b)
(6-27c)
(6-27d)
令(6-27）中，我们可以得到Buck-Boost变换器的输出/输入传递函数：
(6-28)
同理，令(6-27）中，我们可得Buck-Boost变换器的输出/控制传递函数为：
(6-29)
在上面的分析过程中，我们选择了如图6-14所示Buck-Boost变换器的时间平均等效电路。根据开关变换器的时间平均等效电路建模分析原理，我们还可以得到Buck-Boost变换器的时间平均等效电路，如图6-17和图6-18所示。
在图6-17中，有：， 其中：d¢=1-d，在图6-18中，有，
显然，图6-14，图6-17和图6-18所示电路是等效的。值得注意的是，对于图6-17所示电路，当电容的等效电阻为零时，将会形成一个电压源和电容回路。

图6-17 Buck-Boost变换器的时间平均等效电路II

图6-18 Buck-Boost变换器的时间平均等效电路III
6.3 电感电流断续工作模式开关变换器时间平均等效电路分析
上面我们讨论了时间平均等效电路建模分析方法在电感电流连续工作模式（Continuous Conduction Mode, CCM）开关变换器建模分析中应用，下面我们将讨论时间平均等效电路建模分析方法在电感电流断续工作模式（Discontinuous Conduction Mode, DCM）开关变换器建模分析中应用。
6.3.1 DCM Boost变换器时间平均等效电路模型
为了说明时间平均等效电路建模分析方法在DCM开关变换器中的应用，下面我们首先以DCM Boost变换器为例进行分析。
DCM Boost变换器在一个开关周期内存在三个开关工作状态，如图6-19a)所示，每个开关工作状态所对应的电感电流波形如图6-19b)所示。当t0 < t < t0 +d1T时，开关管导通，二极关关断，电源给电感储能，电感电流线性上升；在t0 +d1T < t < t0 +(d1+d2)T期间，开关管关断，二极关导通，电感电流下降；当t = t0 +(d1+d2)T时，电感电流下降到零，二极管关断；在t0 +(d1+d2)T< t < t0 +d1T期间，开关管和二极管均关断。

a) DCM Boost变换器及其一个周期内的等效电路

b) 电感电流
图6-19 DCM Boost变换器
类似地，由周期性开关线性网络的时间平均等效电路建模原理，采用受控电流源代替开关管，受控电压源代替二极管，可得到DCM Boost变换器的时间平均等效电路，如图6-20所示，其中：
(6-30a)
(6-30b)
在一个开关周期内，电感电流的平均值为：
(6-30c)
与CCM变换器一样，为了计算受控电压源和受控电流源的值，我们假设输入电压vg(t)和电容电压vC(t)是恒定的；但与CCM变换器不同的是， DCM变换器中电感电流在一个开关周期内不是恒定不变的。
类似地，当存在小信号扰动时，通过忽略二次及以上小信号扰动项，图6-20中Boost变换器时间平均等效电路中受控电压源和受控电流源的值为：
(6-31a)
(6-31b)
(6-31c)
其中，
分离式(6-31）中的直流稳态和交流小信号分量，我们可以分别得到DCM Boost变换器的直流稳态等效电路和交流小信号等效电路。
图6-20和式(6-31）中的，我们可以得到如图6-21所示DCM Boost变换器的直流稳态等效电路，图中受控电流源、受控电压源和电感电流的直流稳态值为：
(6-32a)
(6-32b)
(6-32c)

图6-20 DCM Boost DC-DC变换器时间平均等效电路模型

图6-21 DCM Boost DC-DC变换器直流稳态等效电路模型
类似地，当仅考虑式(6-31）中的小信号扰动项时，我们可以得到如图6-22所示DCM Boost变换器的交流小信号等效电路，图中受控电流源、受控电压源和电感电流的交流小信号值为：
(6-33a)
(6-33b)
(6-33c)

图6-22 DCM Boost变换器的交流小信号等效电路
由图6-21和图6-22所示DCM Boost变换器的直流稳态和交流小信号等效电路，我们可以进行DCM Boost变换器的直流稳态和交流小信号分析。
6.3.1.1 DCM Boost变换器直流稳态分析
在分析直流稳态特性时，可以将电容看作开路，电感看作短路，则由如图6-21所示DCM Boost变换器的直流稳态等效电路，我们有：
(6-34a)
(6-34b)
(6-34c)
(6-34d)
则由式(6-34），我们可以得到DCM Boost变换器的直流电压传输关系Vo/Vg
(6-35)
由(6-34)~(6-35)可得
(6-36)
其中
(6-37)
由式(6-35)~(6-36),可得
(6-38)
由于DCM Boost变换器的直流稳态电压增益M=V0/Vg总是大于零，所以
(6-39)
将(6-39）代入(6-36)，可得
(6-40)
6.3.1.2 DCM Boost变换器交流小信号分析
对于如图6-22所示DCM Boost变换器的交流小信号等效电路，我们可以采用常规的电路分析方法对它的时域或频域特性进行分析。
为简化计算，图6-22中RL=RC=0，则由图6-22可得
(6-41a)
(6-41b)
(6-41c)
(6-41d)
(6-41e)
令(6-41)中，则由图6-22，我们可以得到DCM Boost变换器的输出/输入传递函数为
(6-42)
其中，，，，。
同理，令(6-41)中 ，则由图6-22，我们可以得到DCM Boost变换器的输出/控制传递函数为
(6-43)
前面我们讨论了时间平均等效电路模型在DCM Boost变换器中的应用，下面我们将进一步讨论DCM Buck和DCM Buck-Boost的时间平均等效电路建模分析。
6.3.2 DCM Buck变换器时间平均等效电路模型
对于图6-23所示的DCM Buck变换器，在时间段d1T，功率开关管S导通，二极管D断开；在时间段d2T，功率开关管S断开，开关二极管D导通；在时间段d3T，二极管D和功率开关管S都断开。

a) DCM Buck变换器拓扑结构

b) 电感电流波形
图6-23 DCM Buck变换器拓扑结构和电感电流波形

a) DCM Buck-Boost变换器拓扑结构

b) 电感电流波形
图6-24 DCM Buck-Boost变换器拓扑结构和电感电流波形
对于图6-23所示DCM Buck变换器，我们可以得到它的时间平均等效电路，如图6-25所示，其中：
(6-44a)
(6-44b)
(6-44c)

图6-25 DCM Buck时间平均等效电路模型
类似地，当存在小信号扰动时，通过忽略二次及以上小信号扰动项，图6-25中DCM Buck 变换器时间平均等效电路中受控电压源和受控电流源的值为：
(6-45a)
(6-45b)
(6-45c)
其中，
分离式(6-45）中的直流稳态和交流小信号分量，我们可以分别得到DCM Buck变换器的直流稳态等效电路和交流小信号等效电路。
令式(6-45）中的，我们可以得到如图6-26所示DCM Buck变换器的直流稳态等效电路，图中受控电流源、受控电压源和电感电流的直流稳态值为
(6-46a)
(6-46b)
(6-46c)

图6-26 DCM Buck DC-DC变换器直流稳态等效电路模型

图6-27 DCM Buck变换器交流小信号等效电路模型
类似地，当仅考虑式(6-45）中的小信号扰动项时，我们可以得到如图6-27所示DCM Buck变换器的交流小信号等效电路，图中受控电流源、受控电压源和电感电流的交流小信号值为
(6-47a)
(6-47b)
(6-47c)
与DCM Boost直流变换器分析一样，由图6-26和图6-27，式(6-46)和(6-47)，可对DCM Buck变换器的直流稳态和交流小信号分析如下。
6.3.2.1 DCM Buck变换器直流稳态分析
对直流稳态特性，有
(6-48)
(6-49)
从式(6-48)，(6-49)，(6-46)可得，

其中K=2L/RT。
6.3.2.2 DCM Buck变换器交流小信号分析
对AC交流小信号特性，有
(6-50)
(6-51)
6.3.3 Buck-Boost变换器时间平均等效电路模型
对于图6-24所示DCM Buck-Boost变换器，我们可以得到它的时间平均等效电路，如图6-28所示，其中：

图6-28 DCM Buck-Boost变换器时间平均等效电路模型
(6-52a)
(6-52b)
(6-52c)
类似地，当存在小信号扰动时，通过忽略二次及以上小信号扰动项，图6-28所示DCM Buck-Boost变换器时间平均等效电路中受控电压源和受控电流源的值为：
(6-53a)
(6-53b)
(6-53c)
其中，
分离式(6-53）中的直流稳态和交流小信号分量，我们可以分别得到DCM Buck-Boost变换器的直流稳态等效电路和交流小信号等效电路。

图6-29 DCM Buck-Boost变换器直流稳态等效电路模型

图6-30 DCM Buck-Boost变换器交流小信号等效电路模型
式(6-53）中的，我们可以得到如图6-29所示DCM Buck-Boost变换器的直流稳态等效电路，图中受控电流源、受控电压源和电感电流的直流稳态值为：
(6-54a)
(6-54b)
(6-54c)
类似地，当仅考虑式(6-53）中的小信号扰动项时，我们可以得到如图6-30所示DCM Buck-Boost变换器的交流小信号等效电路，图中受控电流源、受控电压源和电感电流的交流小信号值为
(6-55a)
(6-55b)
(6-55c)
与DCM Boost变换器分析一样，由图6-29和图6-30以及(6-54)和(6-55)，可对DCM Buck-Boost变换器的直流稳态和交流小信号分析如下。
6.3.3.1 DCM Buck-Boost变换器直流稳态分析
对直流稳态特性，有：
(6-56a)
(6-56b)
(6-56c)
6.3.3.2 DCM Buck-Boost变换器交流小信号分析
对交流小信号特性，有
(6-57a)
(6-57b)
上面我们利用时间平均等效电路建模方法，分析了DCM开关变换器，得到了Boost，Buck，Buck-Boost变换器对应的直流稳态和交流小信号特性。从开关变换器的时间平均等效电路分析过程可以看出，时间平均等效电路建模分析方法大大简化了开关变换器的建模分析过程，可以很直观、方便地对开关变换器进行分析。
6.4 本章小结
本章讨论了开关型变换器的时间平均等效电路建模方法。时间平均等效电路建模方法的最大特点是将周期性时变的开关变换器中的开关元件用受控电压源或受控电流源代替，从而得到等效的开关变换器的线性定常时间平均等效电路，在此基础上，我们可以选择任何标准的电路分析方法（状态空间分析，节点分析等），对开关变换器的时域或者频域特性进行分析。
本章所讨论的开关变换器的时间平均等效电路建模方法物理意义明显，运算简单，可以适用于所有开关变换器的建模和分析。特别值得指出的是，当开关变换器的开关频率远大于电路的特征频率时，在一个开关周期内，可以认为开关变换器的所有状态变量是不变的，因此，在进行时间平均等效建模时，我们可以把动态元件的状态变量看成恒定不变的独立电源，因此，在进行时间平均等效建模是，我们只需要对电阻电路进行运算，从而极大的简化了开关变换器的建模过程。