点到直线的距离教案--公开课.doc

《点到直线的距离》教案
教学目标
（1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。
（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。
（3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。
教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用
教学难点：点到直线的距离公式的推导
教学方法：启发引导法、讨论法
学习方法：任务驱动下的研究性学习
教学工具：计算机多媒体、三角板
教学过程：
一、 创设情境、提出问题
多媒体显示实际的例子：
如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？

仓库

铁路

这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。
二、 师生互动 、探究新知
教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0 ,y0）和一条定直线： Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线的距离？请学生思考并回答。
学生：先过点P作直线的垂线，垂足为Q，则|PQ|的长度就是点P到直线的距离，将点线距离转化为定点到垂足的距离。
接着，多媒体显示下列2道题(尝试性题组)，请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）
(1)求P（x0 ,y0）到直线：By+C=0（B≠0）的距离；（答案：）
(2) 求P（x0 ,y0）到直线：Ax+C=0（A≠0）的距离；（答案：）
第（1）、（2）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论。
教师：根据以上2题的运算结果，你能得到什么启示？
学生：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，多媒体显示并板书：

l
l

教师：当时，那么，而当直线是倾斜位置时，，此时直线含有多个字母则较难；,虽然有一些思路，但具体操作起来因计算量很大难以得出结果。点到直线的距离有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（1）、（2）的启示或者是以前学过的方法的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们分小组讨论
学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……
O
y
x
P (x0 ,y0)
Q

教师根据学生提出的方案，收集思路。

思路一：利用定义
①求垂线PQ的方程（由PQ⊥以及直线的斜率可知垂线PQ的斜率，点斜式）
②求交点Q坐标（联立方程组求解）
③两点间距离公式
上述方法虽然思路自然，但是会遇到一只拦路虎——运算较为繁琐。
（思路一）解：直线：，即
由，

教师评价：此方法思路自然，但运算繁琐。如果没有小组想到另外一种思路，教师继续提出问题：根据以往求两点间距离公式的图形构造方法，求线段长度可以构造图形吗？什么图形？如何构造？
思路二： 利用直角三角形等面积法
如图，设A≠0，B≠0。
引导过程：
①点P的坐标的意义。
②过P分别作x轴、y轴的垂线。
③构成三角形，转化为求直角三角形高的问题。
④如果知道面积和底边，就可以求出高。现在
要求RP、PS、SR的长度。
⑤两点间距离公式，转化问求R、P、S的坐标。
多媒体显示、师生一起推导：
（思路二）解：设，，，
，；，

由，
而

思路三：将来可以为利用三角函数、不等式、向量等方法求解。
各小组同学都运用了不同的解法， 此类题解法灵活多样，同学们要注意选择适当、最优的方法来解题，以便取得最佳效果。
说明：学生只初略学习了三角函数、不等式、向量等未学。如果学生没有想到思路三，教师提示做课后思考作业题目。
教师提问：①上式是由条件下得出，对成立吗？（成立）
1.当A=0，B0时，
此时，直线为：,直线为平行于轴（或重合于轴）的直线
则：
2.当A0，B=0时，
此时，直线为：，直线为平行于轴（或重合于轴）的直线
则：
②点P在直线上成立吗？（成立）
③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？
由此推导出点P(x0，y0)到直线：Ax+By+C=0距离公式：
　　　　　适用于任意点、任意直线。
三、变式训练 、学会应用
练习1 (学生上台展示)
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离。
2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离。
3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离。
4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离。
5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值。
练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式。
练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式。
教师强调：直线方程的一般形式，点到直线的距离公式熟练掌握才能在解题时游刃有余。
四、拓展延伸、升华提高
例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 三角形ＡＢＣ的面积。

解：设AB边上的高为，则，
,
AB边上的高为就是点C到AB的距离，
AB边所在直线方程为:.
点到直线的距离
.
因此，.

五、 当堂检测

六、学生小结 、教师点评
1.知识：点到直线的距离公式的推导及其运用。
2.思想方法
转化：将点线距离转化为定点到垂足的距离；等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距。离数形结合、特殊到一般的思想方法。
七、课外练习 巩固提高
① 课本习题3.3A组第8,9题；
② 总结写出点到直线距离公式的多种方法。
八、板书设计

3.3.3点到直线的距离
1.两种特殊情况
当A=0，B0时，
当A0，B=0时，

2. 一般情况
AB 0时，
思路一：按定义
思路二：等面积法

6