信号与系统实验_连续时间信号的傅里叶级数.doc

XXXXXXXX大学（计算机网络）实验报告
实验名称 连续时间信号的傅里叶级数
实验时间 年 月 日
专 业 姓 名 学 号
预 习 操 作 座 位 号
教师签名 总 评

一、实验目的：
1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法。
2、观察由矩形窗函数截断产生的Gibbs现象，了解其特点、产生的原因及消除的方法。
3、掌握周期函数的傅里叶级数计算方法和编程技术。
二、实验原理：
（一）傅里叶级数（FS）展开
周期为T1连续时间周期信号，若满足狄利克莱条件，就可以展开成FS。其中三角形式的傅里叶级数为：
(1)
其中，称为信号的基本频率（Fundamental frequency），分别是信号的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度。其中：
(2)
连续时间周期信号x(t)的幅度频谱与相位频谱分别为
(3)
其中k与频率的关系为，因此上式给出了信号基波与各次谐波幅度随频率变化的规律。
三角形式的傅里叶级数表明，一个周期信号x(t) 如果满足狄里克莱条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量，其幅度为Ak。反过来理解三角傅里叶级数：用无穷多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。
（二）吉布斯（Gibbs）现象
当利用(1)式对一个周期函数作实际展开运算时，对k的求和过程不可能进行到无穷，只能到某一有限值K，即相当于在频域用一个矩形窗函数WK(k)与FS的求和式相乘，得到一个频域有限长序列X(k)×WK(k)，因此实际FS展开式为

(4)
K越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。截断引起信号失真，这是由于高频部分信号的损失。这就导致在构成有跃变的连续时间周期函数时，在跃变点的附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这种现象称为Gibbs现象，或称为震铃(ringing)效应。
若在计算机上编程对周期函数x(t)进行FS展开，必须对函数x(t)作等间距抽样。若抽样周期为Ts，且令，则，（1）式离散化为
　　　 (5)
时间抽样后，（4）式离散化为
(6)
将上式与(4)式比较可见，实际的FS展开式x(n)与x(nTs)之间的误差为
　 (7)
上式表明，实际展开后的误差是时间n（t = nTs）和截断频率K（）的函数。
图3-1给出了一个方波信号展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生的Gibbs现象，而且不连续的跃变点也扩展成了有一定上升时间的连续函数。

图3-1 方波展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生Gibbs现象
为了消除这种频域截断形成的Gibbs现象，通常不采用矩形窗作截断处理，而是采用汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗或三角窗等进行加权计算。
1、以0点为中心的Hanning窗（也称为升余弦窗）定义为
　 　　　 　(8)
2、以0点为中心的Hamming窗定义为
　　　　 　(9)
3、以0点为中心的三角窗（Bartlett窗）定义为
　 　 　(10)
图3-2中列出了矩形窗、三角窗、Hanning窗和Hamming窗的图像，可以比较它们的差异和类同之处。

w(k) w(k)
1 1

-K/2 0 K/2 -K/2 0 K/2
(a) 矩形窗 (b) 三角窗

w(k) w(k)
1 1

-K/2 0 K/2 -K/2 0 K/2
(c) Hanning窗 (d) Hamming窗

图 3-2 几种加权窗函数的比较

图 3-3 用Hanning窗加权后方波FS的跃变点附近的Gibbs现象的消除
例如图3-1中的方波信号展开式用Hanning窗加权截断后，图像如图3-3所示，显然Gibbs现象已经基本消除。
采用频域Hanning窗加权或Hamming窗加权的方法进行截断，与矩形截断相比，可以减弱或消除Gibbs现象，但不会减小由于频域截断产生的误差，反而因加权导致所截取区域内频谱发生变化，增大了误差。
三、实验内容：
1、将如图3-4所示的奇谐周期方波信号展开成Fourier级数并分别采用频域矩形窗和Hanning窗加权，绘制两种窗函数加权后的方波合成图像。该方波信号的周期为T1=1，振动幅度为A=1。抽样周期选为。
提示：由于该信号是奇谐对称周期函数，展开式中将只有正弦函数的奇次谐波，即

其中，系数bk由(2)式得

　　　　　　　　　x(t)
1

-2 -1 0 1 2 t

图 3-4 奇谐方波
采用Hanning窗加权，则展开式变为

程序如下：

运行结果如下：

2、将图3-5中的锯齿波展开为Fourier级数，按(2)式求出Fourier级数的系数，并在频域分别采用矩形窗、Hanning窗和三角窗加权，观察其Gibbs效应及其消除情况。
x(t)
1

-3 -2 -1 0 1 2 3 t

图 3-5 锯齿波

程序如下：

运行结果如下：

3、选做：编程计算连续时间周期信号的三角形式傅里叶级数展开的系数。