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回旋线坐标计算
摘要：利用回旋线的直角坐标方程、改进的坐标转换公式，从解析
法的角度推导出回旋线上桥的桩位坐标计算公式。并用Qbasic语言编程
计算。
关键词：解析法；回旋线；桩位坐标；编程计算
　　随着物质、文化生活的提高，人们对自身周围生活环境提出了愈来
愈高的要求，桥梁设计也愈来愈多地考虑人们对审美观的需求，于是，
近几年曲线桥纷涌出现。位于圆曲线上的桥，其桥轴线各点及桩位坐标
，利用图解法比较容易得到；而位于回旋线上的桥，要精确地解出各桩
位坐标，利用图解法相当困难。本文就解析法精确求解该类桩位坐标的
一系列公式进行推导。
1　回旋线的数学公式
      以回旋线的原点为坐标原点建立如图1所示的直角坐标系。
设：O为回旋线的原点；τ为P点的切线角；X、Y为P点的X、Y坐标；R为
P点的回旋曲线半径；L为从回旋线原点到P点的曲线长。
则回旋线在直角坐标系下的数学公式为
X＝L×［1－L2/（40R2）＋L4/（3456R4）－L6/（599040R6）＋…］
Y＝L2/（6R）×［1－L2/（56R2）＋L4/（7040R4）－L6/（1612800R6）＋…］          （1）
2　采用方位角β后的坐标转换公式
        建立如图2所示大地坐标系XOY，和一局部直角坐标系X′O′Y′。
P点为局部坐标系X′O′Y′中的任意一点，设坐标系X′O′Y′的X′轴
在大地坐标系X0Y中所成的方位角为β，如图2所示，则用解析法很容易
得到P点的局部坐标和大地坐标之间的关系式：
XP＝X0′＋XP′cosβ＋YP′sinβ
YP＝Y0′＋XP′sinβ－YP′cosβ                                          （2）
式中　XO′———为坐标系X′O′Y′的坐标原点O′在大地坐标XOY中的X轴坐标；
            YO′———为坐标系X′O′Y′的坐标原点O′在大地坐标系XOY中的Y轴坐标；
            β———为坐标系X′O′Y′的X′轴在大地坐标系XOY中的方位角。
图1　回旋线的直角坐标系示意
图2　坐标转换示意以上是在第一象限推得，在其余三个象限同样适用。
3　回旋线上桥的各桩位坐标计算步骤
   3．1　局部坐标系下回旋线上桥中线各点坐标计算
      求回旋线上桥中线各点Pi0至回旋线起点O′的长度LiLi＝桥中线各点P
i0的桩号－回旋线起点桩号
        对于桥所在的回旋线的各参数：A、Ry、Ls均为已知。这里的Ry为回旋
线终点的曲率半径。由回旋线的性质可知：A2＝RL＝RYLs，则R＝Ry　Ls/L
代入式（1）可得回旋线上曲线桥中线各点局部坐标：Xi0′＝L×［1－L4/（40Ry2Ls2）＋L8/（3456Ry4Ls4）－L12/（599040Ry6Ls
6）＋…］
Yi0′＝L3/（6RyLs）×［1－L4/（56Ry2Ls2）＋L8/（7040Ry4Ls4）－L12/（1612800Ry6Ls6）＋…］                    （3）
    3．2　局部坐标系下回旋线上桥各桩位坐标计算
          设：桥各桩位Pij距路线中心的距离为Di，Pi0（Xi0′，Yi0′）到回旋
线起点的长度为Li。过Pi0点的切线方程为：
Y′＝K×（X′－Xi0′）＋Yi0′其中：K＝tanτ；
τ＝Li2／（2A2）＝Li2?（2RLs）。
其法线方程为：
Y′＝－1/K×（X′－Xi0′）＋Yi0′即：Y′＝－1/tanτ×（X′－
Xio′）＋Yi0′由以下联立方程：
Y′＝－1/TANτ×（X′－Xi0′）＋Yi0′Di2＝（X′－Xi0′）2＋（
Y′－Yi0′）2                                                （4）
可求得各桩位坐标：
X′i1＝Xi0′＋Di×sinτ
Y′i1＝Yi0′－Di×cosτ
X′i2＝Xi0′－Di×sinτ
Y′i2＝Yi0′＋Di×cosτ                                                    （5）
        τ  为锐角。
        桥桩位通常对称分布于桥中线两侧，所以求出两组方程解。
当桩位不对称时，可根据其相对于Pi0的坐标（Xi0′，Yi0′）的大小，判断解的取舍。
 3．3　将所求回旋线上曲线桥各桩位局部坐标转换为大地坐标
   3．3．1　求局部坐标系X′0′Y′的X′轴在大地坐标系X0Y中的方位角
        设P1、P2为局部坐标系X′轴上任意两点（X1′＜X2′），在大地坐标
系下的坐标为（X1、Y1）、（X2、Y2）。令⑽Y＝Y2－Y1、⑽X＝X2－X1　则tanβ＝⑽Y?⑽X，求得α＝tan－1（⑽Y?⑽X）。
由⑽Y、⑽X的正、负号判断方位角β所在的象限，来确定β值：
⑽Y＝0、⑽X＞0时，β在X轴正向，β＝0
⑽Y＝0、⑽X＜0时，β在X轴负向，β＝π
⑽Y＞0、⑽X＝0时，β在Y轴正向，β＝0．5π
⑽Y＜0、⑽X＝0时，β在Y轴负向，β＝1．5π
⑽Y＞0、⑽X＞0时，β在第一象限，β＝α
⑽Y＞0、⑽X＜0时，β在第二象限，β＝α＋π
⑽Y＜0、⑽X＜0时，β在第三象限，β＝α＋π
⑽Y＜0、⑽X＞0时，β在第四象限，β＝α＋2π
   3．3．2　局部坐标值代入坐标转换公式求大地坐标
          将求得的各局部坐标值分别代入式（2）求得的各大地坐标值：
Xi＝X0′＋Xi′cosβ＋Yi′sinβ
Yi＝Y0′＋Xi′sinβ－Yi′cosβ                                              （6）
图3　桥横断面示意　单位：mm
图4　桥位平面示意
4　具体应用实例
          G104泗县绕城公路改建工程，全长4．45984km。其k0＋887处3孔16m预
应力钢盘混凝土空心板梁桥，桥面宽度：净2×12．5m，全宽26．50m；下部结构为并排双柱式墩、台，位于交点1所设弯道的缓和曲
线上。如图3、图4所示。
        圆曲线半径RY＝430．253m，缓和曲线长Ls＝150m；缓和曲线起点（ZH）桩号：k0＋776．47坐标（706796．8968，510756．7813），终点（HY）桩号：k0＋926．47，桥中心桩号：k0＋887坐标（706770．4647，510649．514），交点JD1的坐标（706695．577，510281．546）。
      0＃台桩、1＃墩桩、2＃墩桩、3＃台桩中心桩号分别为：k0＋863．33、k0＋879、k0＋895、k0＋910．67；各排有四根桩，对称分布于桥中心两侧，距桥中线的距离为：D1＝2．98m，D2＝10．4m。下面就用解析法精确解出各桩位坐标，以备施工放样使用。
第一步　求各排桩中心到缓和曲线起点的长度及切线角
L0＝|（k0＋863．33）－（k0＋776．47）|
    ＝86．86m
L1＝|（k0＋879．00）－（k0＋776．47）|
    ＝102．53m
L2＝|（k0＋895．00）－（k0＋776．47）|
    ＝118．53m
L3＝|（k0＋910．67）－（k0＋776．47）|
    ＝134．20m
τ0＝L20/（2A2）＝L20／（2RLs）
    ＝86．862／（2×430．253×150）
    ＝0．058451弧度
    ＝3°20′56．45″
τ1＝4°39′58．94″
τ2＝6°14′11．04″
τ3＝7°59′39．62″
第二步　求各排桩中心局部坐标
X00′＝L0［1－L40／（40Ry2L2s）＋L80／（3456Ry4Ls4）－L012／（599040Ry6Ls6）＋…］＝86．830
Y00′＝L03/（6RyLs）［1－L04／（56Ry2Ls2）＋L08／（7040Ry4Ls4）－L012／（1612800RY6Ls6）＋…］
          ＝1．692
同理求得：
X10′＝102．462　　X20′＝118．390
X30′＝133．939
Y10′＝2．782　　Y20′＝4．297　　Y30′＝6．233
第三步　求各排桩桩位局部坐标
由公式（5）得0＃台桩各桩位局部坐标：
X01′＝X00′＋D1×sinτ0＝87．00442，
X02′＝X00′－D1×sinτ0＝86．65624
Y01′＝Y00′－D1×cosτ0＝－1．28296，
Y02′＝Y00′＋D1×cosτ0＝4．66686
X03′＝X00′＋D2×sinτ0＝87．43788，
X04′＝X00′－D2×sinτ0＝86．22278
Y03′＝Y00′－D2×cosτ0＝－8．69029，
Y04′＝Y00′＋D2×cosτ0＝12．07419
同理求得：
X11′、X12′、X13′、X14′、Y11′、Y12′、Y13′、Y14′X21′、X22′、X23′、X24′、Y21′、Y22′、Y23′、Y24′X31′
、X32′、X33′、X34′、Y31′、Y32′、Y33′、Y34′
第四步　桩位局部坐标转换为大地坐标
      取局部坐标系X′O′Y′的X′轴上的任意两点，P1取缓和线起点ZH（7
06796．8968，510756．7813），P2取JD1（706695．577，510281．546）。
⑽Y＝510281．546－510756．781＝－475．235
⑽X＝706695．577－706796．8968＝－101．3198
α＝tan－1（⑽Y/⑽X）
  ＝tan－1（－475．235/－101．3198）
  ＝77°57′53．10″
⑽Y、⑽X均小于0，方位角β在第三象限；
β＝α＋180°＝257°57′53．10″
将求得的桩位局部坐标代入坐标转换公式：
X01＝X0′＋X01′cosβ＋Y01′sinβ
    ＝706796．8968＋87．00442×cos（257°57′53．10″）＋（－1．28296）×sin（257°57′53．10″）
    ＝706780．010
Y01＝Y0′＋X01′sinβ－Y01′cosβ
    ＝510756．7813＋87．00442×sin（257°57′53．10″）－（－1．28296）cos（257°57′53．10″）
    ＝510671．422
同理求得：
X02＝706774．264　X03＝706787．164
X04＝706767．109    
Y02＝510673．003　Y03＝510669．453
Y04＝510674．971
X11＝706775．665　X12＝706769．957
X13＝706782．772
X14＝706762．850
Y11＝510656．295　Y12＝510658．008
Y13＝510654．163
Y14＝510660．140
X21＝706770．838　X22＝706765．179
X23＝706777．884
X24＝706758．133
Y21＝510640．956　Y22＝510642．824
Y23＝510638．629
Y24＝510645．150
X31＝706765．673　X32＝706760．073
X33＝706772．643
X34＝706753．103
Y31＝510626．065　Y32＝510628．107
Y33＝510623．524
Y34＝510630．648

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