第四讲导数的定义及其计算.doc

第四讲 导数、微分、高阶导的计算
有关知识：
（1）导数、微分的概念，性质。基本导数公式表．
（2）求导法则．
（3）在处可导在处左、右导数都存在且相导。可导连续（反之不然）．
（4）高阶导数的计算 ，记住几个简单函数的高阶导数：（特别或）及菜布尼兹公式。
例1：（1）设，则。
（2）设在处可导，且，则。
（3）设严格单调函数有二阶连续导数，其反函数为，且，则。
分析：（1）易见 可直接由导数定义求出结果：
（2）已知，那么

另解：由题设知 ，则

（3），，又 时

例２：设为多项式，且对
试证 。
分析：初一看与导数没有关系。且由题设可以看出，但如何说明？这是问题的关键。这里用到：多项式总是可导的。
证明：由题设知
若，
则当时
，令，可得
当时
，令，可得
从而 这与多项式可导矛盾，故
所以
例３（1）设，则
（2）设，则
解：（1）

（2）

注：求髙阶导的方法很多，主要有
（1） 将函数恒等变形，尤其是分拆成几个简单函数的和差，然后利用简单函数的高阶导求出结果；
（2） 用菜布尼兹公式；
（3） 利用幂级数展开；
（4） 归纳，递推等．
当求髙阶导函数时，（1）是常用的方法。当求在某一点的髙阶导数时，（3）是常用的方法。
例4：（1）设，则
（2） 设，则
解：（1）用菜布尼兹公式

或利用幂级数展开

由展开式中的系数可得
（2）利用幂级数展开很容易得结果：，而菜布尼兹公式不方便。
例5：设求。
分析：本题用前面提到的方法（1），（2），（3）都不方便。试一试方法（4）。
解：，得，再求导得
，整理得
两端求次导得

令 得

又由 ，可得
当时，
当时，
例2.7.设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是 ( )
(A)若存在,则f(0)=0 . (B)若存在,则f(0)=0 .
(C)若存在 . (D)若存在 . (2007研招一)
解.A、B、C都正确 .应选：D .
分段函数在分段点处的连续性与导数.
命题2.1.设其中g(x)在(c,a)内可导, h(x)在(a,b)内可导, 若f(x)在a点连续,且存在极限
例2.8.函数f(x)=不可导点的个数是 ( )
(A)3 . (B)2 . (C)1 . (D)0 . 解.用根轴法作图, 应选: B .
例2.9.设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对任意x都有f(x+1)=2f(x),且当0≤x≤1时, f(x)= x(1-).试判断在x=0处函数f(x)是否可导 .
解. f ’(0+)=1,当-1≤x<0时,0≤x+1<1, f(x)=因此在x=0处函数f(x)不可导 .
例2.10.设函数f(x)=其中g(x)有连续二阶导函数, g(0)=1 . (1)求a使f(x)在点x=0处可导及f ’(x)；(2)讨论f ’(x)在点x=0处的连续性. (2003天津竞赛理工)
解.(1)a=g’(0) . f ’(x)=
(2)f ’(x)在点x=0处连续.
6.复合函数、参数方程表示的函数与隐函数的导数计算,一阶微分形式的不变性.
例3.11.求下列函数y=f(x)的不可导点及其左右导数:
(1) y=|ln|x||. (2) y=|tan x|. (3)y=
解. (1)不可导点有x=0及±1. y在x=0无定义,在x≠0处均连续,由此根据命题3.1可计算出

(2)不可导点有x= kπ及kπ+π∕2, k∈Z . y在x= kπ+π∕2无定义, 在x≠kπ+π∕2处均连续,由此根据命题3.1可计算出
(3)x≠±1时, y’=x=±1时, y’ 不存在 .
例2.12.设f(u, v)为二元可微函数, z== .(2007研招一)
解.应填:
例2.13.已知函数y=y(x)由方程(0)= .(2002招一)
解.应填: -2 .
例2.14.设z=f(x, y)== . (2004北京竞赛) 解.应填: -1 .
例2.15.设z=z(x, y)满足
证.用全微分证明 .由解得
于是结论成立.
例2.16.u=在点M处的外法线方向n的方向导数= . 解. 应填: 1∕3 .
7.极坐标方程确定的函数的微分法.
对于极坐标方程确定的函数r=r(θ),应该先通过公式x=r(θ)cosθ,
y=r(θ)sinθ,转换为参数q的参数方程,然后求导.
命题2.2. (1)极坐标方程r=r(θ)确定的光滑曲线上一点M(r,θ)处的切线
与M的向径所成的角等于 (图3.1) 图3.1
(2)极坐标方程r= f(θ)与r= g(θ)确定的两光滑曲线在交点M=(r,θ)处的
夹角为
例2.17.求极坐标方程的曲线r=3cos2θ与r=3sin2θ在交点M()处的夹角 .
解.按命题2.2 , 所求夹角等于
8. 一般n阶导数的计算.
(ⅰ)直接法. 连续计算若干次导数后发现其规律,然后用归纳法证明之.
例2.18.设
解. n=1时下面用归纳法证明之:

注.此题作归纳时不能计算
(ⅱ)公式法.
(ⅲ)对复杂函数可先将其分解(包括有理分式的部分分式分解与三角函数的积化和差等)为简单函数之和后再计算.
例2.19.求下列函数y=y(x)的n阶导数:
(1)y=
解. (1)
(2)
(3) y=
=

(ⅳ)利用函数满足的某个关系,借助莱布尼兹公式计算,得到导数的递推式,此处的某个关系,有时
可通过去分母得到.
例2.20.求下列函数y=y(x)的n(>3)阶导数:
(1)y=
解. (1)方法1. y=(x+1)
方法2. y满足关系(x-1)y=
若n=4,
由此推出
(2)在方程两边求导后得
运用莱布尼兹公式,可得

因y’(0)=0, y’’(0)=2, 因此有
(ⅴ)借助虚数单位i降幂后计算.
例2.21.求y=sin的n阶导数.
解.设z=cos x+i sin x , 则sin x=是z的共轭复数,且
y=
于是可得

9.方向导数与梯度、二元函数的泰勒公式.
例2.22.函数f(x, y)=arctan(x∕y)在点(0,1)处的梯度等于 ( )
(A) i . (B) - i . (C) j . (D) –j . (08研招一)
解. (0,1)=0. 应选: A .
例2.23.设r== .(2001研招一) 解. 应填:2∕3 .
例2.24.若= ( )
(A)(B)(C)(D)(2002天津竞赛理工) 解. 应选: A.
10.导数与微分的几何意义.
例2.25.曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)处的切线方程是 . (08研招一)
解.方程两端对x求导后代入x=0, y=1可得, y’(0)=1. 应填: y=x+1 .
例2.26.摆线处的法线方程为 . 解. 应填:
例2.27.曲面在点(1,-2,2)的法线为 . 解. 应填:
例2.28.设u=F(x, y, z)有连续偏导数. 证明: 曲面的切平面过一个定点.
证.过给定曲面上任意点M(X,Y ,Z)的切平面方程是

显然过原点.
（二）习题
2.1.填空题:
(1)设函数y=y(x)由参数方程所确定,其中f可导,且f ’ (0)≠0,则= .
(2)由方程xyz+所确定的函数z=z(x, y)在点(1,0,-1)处的全微分dz= .
(3)设z=,其中f、g具有二阶连续导数,则= . (1998研招一)
(4)设u=3i-4j,v=4i+3j ,且可微分函数f(x, y)在点P处有则df(P)= .
(5)设函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=+α,且当Δx→0时,α是Δx的高阶无穷小, y(0)=π,则y(1)= .
(6)对数螺线处的切线的直角坐标方程为 .
(7)设函数u(x, y, z)== . (2005研招一)
(8)若可微函数f(x, y)对任意x, y, t满足f(tx, ty)=则曲面在点P(1,-2,2)的切平面方程是 .
(9)函数u=在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数为 .
2.2.单项选择题:
(1)设函数f(x)在a的一个邻域内有定义,则在点a处存在连续函数g(x)使f(x)- f(a)= (x-a) g(x)是f(x)在a点可导的 ( )
(A) 充分而非必要条件. (B)必要而非充分条件. (C)充分必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
(2)设f(x)=其中g(x)是有界函数, 则f(x)在x=0处 ( )
(A)极限不存在. (B)极限存在,不连续. (C)连续,不可导. (D)可导.
(3)设函数f(x)=则f(x)在R内 ( )
(A)处处可导. (B)恰有一个不可导点. (C)恰有两个不可导点. (D)至少有三个不可导点.
(4)设函数f(x, y)在点(0,0)附近有定义,且则
(A) (B)曲面z= f(x, y)在点(0,0, f(0,0))的法向量为[3,1,1].
(C)曲线在点(0,0, f(0,0))的切向量为[1,0,3].
(D)曲线在点(0,0, f(0,0))的切向量为[3,0,1]. (2001研招一)
2.3.设n>1, 证明方程至少有两个实根. (2004天津竞赛理工)
2.4.设上定义的函数f(x)在x=3连续,且对任意x≥0 ,.则f(x)为常数 .
2.5.若f(x)在连续,对任意x>0 ,0≤f(x)<x .令
2.6.对于任何正整数n ,设.
(1)求证:方程中仅有一根 .(2)设
2.7.设函数z=z(x, y)由方程所确定,其中f为可微分函数,试计算
并化成最简形式.
2.8.设变换
2.9.设u(x, y)有二阶连续偏导数,且

2.10.设u=f(x, y, z), y=sinx,
2.11.设z=
2.12.已知函数f(x)连续,g(x)=(2002天津竞赛理工)
2.13.设u=f(x, y, z)为可微函数,若证明:u是r的一元函数 .
2.14.设函数z=f(x, y)具有二阶连续偏导数,且≠0, 证明:对任意常数C , f(x, y)=C为一直线当且仅当

（三）习题解答或提示
2.1. (1)3 . (2)dx-dy . (3) (4)10dx+15dy . (5)
(6)x+y=e. (7) (8)4x–z–2=0 . (9)1∕2 .
2.2. (1)C DCC.
2.3.证.f(x)=因此有a<0<b使得f(a)>0, f(b)>0 ,又f(0)<0 ,根据零点定理,分别在(a,0)与(0,b)上存在f(x)的零点,于是命题成立.
2.4.证.令.因
由此.f(x)≡.f(3) ,x≥0 .
2.5.证.因又因f(x)连续,得

2.6.证.(1)据介值定理,存在单减,因此满足方程是唯一的.
(2)由
2.7. 2.8. a= -2 . 2.9.
2.10.
2.11.
2.12.解.换元u=t-x后计算得
2.13.证.用球坐标,令 2.15.关键是证明
练习题
1．（1）设 与在原点相切，则．(答案:)
（2）设在内连续，在的某个邻域内满足

且在处可导，则曲线在点（1，处的切线方程为。
(由条件求出：)
（3） 设在处可导，且，则。
(答案:０，０)
２．（1）设由方程确定，求．
（2）设由参数方程确定，求。
(答案:，)
３．设，若在处可导，求。(答案:3，)
４．设满足存在，函数

求并证明在处连续．
（答案：。下面做法中哪一步不正确
）
５．（1）设，则。
（2）设，则.
(3) 设，则．
６．设,则．
７．设,则．（答案：）
８．设,证明：．（提示：用归纳法）
９．设,证明：（提示：用归纳法）
１０．设，证明：．（提示：用归纳法）
１１．设，求．
（先求等，通过观察得结果，再用归纳法证明结论．如利用　复数，则更方便）
１２．求，
（先求，，可用欧拉公式　，先求，再取实部和虚部便可得，．然后求导可得结果）

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