极限与连续教案.doc

医药数理统计教案 第一章 极限与连续
安徽中医药高等专科学校教案
课程题目
§1.1极限的概念
学时（单元）
4
授课时间
2010.3.1-3.14
授课地点
1302
授课班级
09 药品质量检测 专业 09 级 1-3 班
教 学
目标与
要 求
1.掌握并理解函数的概念,能熟练求函数的定义域和值域
2.了解函数的主要性质(4种)及复合函数、基本初等函数

教 学
设 计
教学内容、步骤及时间分配
1.数学与生活、医学的联系举例（50）
1）实际生活应用
2）医学方面应用
2.函数、常量、变量、函数的定义（15）
3.函数的表示方法（15）
4.函数的性质:单调性、奇偶性、有界性、周期性（40）
5.初等函数:基本初等函数、复合函数、分段函数（80）
6.函数极限的概念
教 学
重难点
1.函数的概念、定义域、函数性质
2.复合函数
3.基本初等函数
教 学
方 法
讲授、启示、探讨
教 具
准 备
黑板、多媒体
参 考
资 料
《高等数学》同济出版 《高等数学》合工大版
《医用高等数学》 人民卫生出版社

复习思考题
课本p7-8
课后小结

第一章 极限与连续
§1．1极限的概念
1.1.1函数的概念
1. 函数的定义
圆的面积A与半径r之间的关系A=表示。这里A与r都是变量，当半径r变化时。圆的面积A作相应的变化
定义1.1 设x与y是两个变量，D是非空实数集，如果对于任意x,按照某个对应法则f,变量y有惟一确定的实数与之对应，记作y=f (x) 则称f是定义在D上的函数（映射）,x称为自变量，y称为因变量，D称为函数f的定义域.数集M=f(D)={f(x)｜xD}称为函数f的值域。
2．函数的定义域
1）在分式中，分母不能为零
2）在根式中，负数不能开偶次方根
3）在对数中，真数必须大于零

4）三角函数和反三角函数
三角函数 ：正切
余切

反三角函数：正（余）弦
正（余）切
例 求函数的定义域
解：要使有意义，必须使>0即>0或<0
3.函数几种特性
1)有界性
若存在正数M,使得在区间I上,则称在I上有界.
例如在上有界,因为而在(0,1)内无界.
2)单调性
设函数f(x)的定义域为D,区间ID如果对于区间I任意两点x1及x2.
当x1<x2时恒f(x1)<f(x2) 则称函数f(x)在区间I上是单调增的.
当x1<x2时恒f(x1)>f(x2) 则称函数f(x)在区间I上是单调减的.
利用导数的判别
如果在内则
如果在内则
3)奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即,则必有)
对于恒成立,则称f(x)为偶函数
对于恒成立,则称f(x)为奇函数
例： 的奇偶性

则
则
注:
奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数代数和仍为偶函数
偶数个奇（偶）函数为偶函数，奇则奇
一奇一偶为奇函数（乘积）
4）周期性
若存在不为零的数T，使得对于任意，且f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数。
4、分段函数
已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数。
其中定义域所分成的有限个区间称为分段区间，分段区间的公共端点称为分界点。
5、复合函数
在很多实际问题中，两个变量的联系有时不是直接的。例如，质量为m的物体，以速度向上抛，其动能，即动能E是速度v的函数；而，即速度v又是时间t的函数，于是得
又如函数，如果用M表示2x，那么函数y=sin2x可表示成y=sinM，而M=2x，这也说明了y与x的函数关系是通过变量M来确定的。
定义4 如果y是M的函数y=f（u），而u又是x的函数，通过u将y表示成x的函数，即，那么y就叫做x的复合函数，其中M叫中间变量。
注意：函数的值域应该取在的定义域内，否则函数将失去意义。
例：y=lgu u=x+1 内初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合步骤所构成的函数叫做初等函数。
例如：
二、基本初等函数（见课本）
定义 由五类基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限次复合所构成的，并可用一个解析式表示的函数称为初等函数
幂函数：ｙ＝　（µ是常数） ；
指数函数：ｙ＝　（ａ是常数，且ａ＞０,ａ≠１） ；
对数函数：　（ａ是常数，且ａ＞０，ａ≠１） ；
 三角函数 ：ｙ＝sinｘ，ｙ＝cosｘ，ｙ＝tanｘ，ｙ＝cotｘ，ｙ＝secｘ，ｙ＝cscｘ；
反三角函数：
    正弦函数ｙ＝sinｘ在区间［–］上的反函数称为反正弦函数，记为ｙ＝arcsinｘ.
    余弦函数ｙ＝cosｘ在区间［０,]上的反函数称为反余弦函数，记为ｙ＝arccosｘ．
     正切函数ｙ＝tａnｘ在区间（–）上的反函数称为反正切函数，记为ｙ＝arctanｘ．
     余切函数ｙ＝cotｘ在区间（０,)上的反函数称为反余切函数，记为ｙ＝arccotｘ．
以上这五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所产生的函数，称为初等函数
附：初等函数图像

1.1.2函数极限的概念
1.当时,函数的极限
定义1.4 如果无限增大(即时),函数f(x)的值无限接近一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的极限,记作 或者当时,
2. 当时,函数y=f(x)的极限
定义1.5 如果(不要求),函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的极限,记作 或者
当时,x即可以从点的左侧无限接近于 (记为或).
如果时,函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的左极限,记作 或者
如果时,函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的右极限,记作 或者
显然,当时,有,反之亦然.
例5讨论函数当时的极限
解:因为函数的定义域为,所以 由图1.5可知,当时,f(x)的左、右极限依次为：
因此可见，当时，f（x）的左、右极限存在并且相等，所以
图1.5
例4 讨论函数f（x）= 当时的极限。
解 由图1.4 可知，当时，f（x）的左右极限依次为：

因此可见，当时，f（x）的左、右极限存在但不相等，所以，当时，函数f（x）的极限不存在。

安徽中医药高等专科学校教案
课程题目
§1.2极限的运算
学时（单元）
4
授课时间
2010.3.15-3.28
授课地点
1302
授课班级
09 药品质量检测 专业 09 级 1-3 班
教 学
目标与
要 求
1.掌握极限的四则运算法则
2.掌握求极限的方法(4种)
3.掌握用两个重要极限求一些极限
教 学
设 计
教学内容、步骤及时间分配
1. 极限运算法则 （20）
设，则有以下法则
法则1
法则2
法则3
2．极限的方法(4种)举例（80）
1）直接法 2）约分法 3）分子分母同除最高次幂法 4）因式有理化法

3.两个重要极限(1)(2)（100）
教 学
重难点
1.极限的四则运算法则
2.两个重要极限
教 学
方 法
讲授、启示、探讨
教 具
准 备
黑板、多媒体
参 考
资 料
《高等数学》同济出版 《高等数学》合工大版
《医用高等数学》 人民卫生出版社

复习思考题
课本p12
课后小结

§1.2极限的运算
一、极限的运算法则
设，则有以下法则
法则1
法则2
法则3
特别地 若则
二、极限计算方法
一）直接法
例1．求
解：==3-2+1=2
例2．
解：=
二）约分法
例3．
解：因为，所以不能直接用法则3，在的过程中，由于即，因而在分式中可约去非零因子即
==
练习：
三）分子分母同除最高次幂法
例4．求下列极限

解：当时，分子、分母都趋向于确定地常数，不能直接利用法则3，此时可除以分子、分母的最高次幂，再求极限即
=
练习：
四）因式有理化法
通过对根式的有理化，进行约分，化简
例5．
解：对分子乘以有理化因子则
原式==
练习：（1/2）
1．2．2两个重要极限
1．极限（注意）
该性质只需要记性，掌握起应用即可
例6．求
解：很显然本题利用上面的性质来解题的。
原式=
通式 ：
例7．
解：原式 ==1
例8．
解：原式===
例9．
解：原式=
2．极限
例10．
解：原式=
例11．
解：原式==
通式：
例12．
原式==
=
==
练习：

安徽中医药高等专科学校教案
课程题目
§1.3无穷小与无穷大
学时（单元）
2
授课时间
2010.3.29-4.4
授课地点
1302
授课班级
09 药品质量检测 专业 09 级 1-3 班
教 学
目标与
要 求
1.了解无穷小与无穷大的概念
2.掌握无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系,无穷小量的比较关系

教 学
设 计
1.通过实例引出无穷小的定义（5）
2.无穷小的性质以及与函数的关系（20）
3.无穷小之间的比较(50)
4.无穷大的定义及和无穷小的关系(25)
教 学
重难点
1.无穷小的性质
2.函数与无穷小的关系、无穷小比较、无穷小与无穷大关系
教 学
方 法
讲授、启示、探讨
教 具
准 备
黑板、多媒体
参 考
资 料
《高等数学》同济出版 《高等数学》合工大版
《医用高等数学》 人民卫生出版社

复习思考题
课本P17习题1、（9）
课后小结

§1.3 无穷小与无穷大
在实际问题中,常会遇到以零为极限的变量.例如把石子投入水中,水波的四面传开.她 的振幅随时间增大而逐渐减小并趋向于零,又如电容器放电时,其电压随时间增加而逐渐减小并趋向于零;另外若f(x)=x-1,当x趋向于1时,f(x)无限趋近于零,这样就引出无穷小的定义.
1. 无穷小的定义:
定义1:如果(或)时,函数f(x)的极限为零;那么把f(x)叫做当(或)时的无穷小.
注意:无穷小是个变量,不能将其与很小的常数相混淆,在所有常数中零是惟一可以看作无穷小的数.
例: 与都是当时的无穷小量.
是当时的无穷小量
为时的无穷小量
无穷小量与自变量的变化过程有关.当时,f(x)是无穷小.当时f(x)不一定还是无穷小.
2.无穷小的性质:
(1)两个(相同类型)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量
（2）无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量
如：sinx是当时的有界量, 是当时的有界量
例1 求
解:当时, 是无穷小,sinx极限不存在,但sinx是有界函数,根据无穷小性质可知:
例2 (利用无穷小性质求) 性质2
3.函数极限与无穷小的关系
由表示当时,函数f(x)趋近于常数A .显然f(x)趋近于A,即等同于f(x)-A趋近于零,当时,变量f(x)-A是无穷小.
那么无穷小与极限之间存在如下联系:
定理1:具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小和.反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限,下面就时情形加下注明:
则a=f(x)-A 即
就是说a是当时的无穷小.
4.无穷小的比较
在自变量的同一变化过程中的两个无穷小,虽然同时都趋向于零,但他们趋向于零的快慢程度有时却不一样.
定义:设当(或)时, 都是无穷小.
1)如果则称是比较高价的无穷小.
2)如果则称是比较低价的无穷小.
3)如果 (常数)则称和是同阶无穷小.
例: 当时, 都是无穷小.
所以当时, 是x较高阶的无穷小;由于 所以当,3x与x是同阶的无穷小.
特别的时，称和为等价无穷小
当，常见等价无穷小有：

例
解：由等价无穷小可知
原式==
二、无穷大
1.无穷大的定义
定义3:当 (或)时,如果函数f(x)的绝对值无限增大.那么把f(x)叫做当 (或)时的无穷大.
注意:无穷大是指绝对值无限增大的变量.不能将其与很大的常数混淆(常数不是无穷大)
2.无穷小与无穷大的关系
定理2:在自变量的同义变化过程中,若f(x)为无穷大,则为无穷小.反之,若f(x)为无穷小,则为无穷大.
下面利用无穷小与无穷大的关系来求一些函数的极限
例2: 求
解:分析:当,分母x-1的极限为0,所以不能用法则了,但有=0
即是时的无穷小,则它的导数是时的无穷大,即
例3:求
解:分析当时都不存在,所以不能应用法则1、2但因为即当时, 是无穷小,所以它的倒数是无穷大,即
例4:求
解:分析:当时,分子、分母的极限都不存在,所以不能用法则3
但
归纳

安徽中医药高等专科学校教案
课程题目
§1.4函数的连续性
学时（单元）
2
授课时间
2010.4.5-4.11
授课地点
1302
授课班级
09 药品质量检测 专业 09 级 1-3 班
教 学
目标与
要 求
1.了解函数连续性定义会求连续区间
2.了解函数间断的概念
3.了解闭区间上的连续函数的几个性质,掌握初等函数在其区间内连续的性质,
教 学
设 计
1. 函数连续性的概念
1)函数的增量 (10)
2）函数在点处的连续性（40）
3）函数在区间上的连续性（10）
2.复合函数的连续性(20)
3.区间上的连续函数性质（20）

教 学
重难点
函数连续性的判断
教 学
方 法
讲授
教 具
准 备
黑板
参 考
资 料
《高等数学》同济出版
《高等数学》合工大版
复习思考题
课本练习,复习题
课后小结

1.4函数连续性
在我们日常生活中有许多现象,如气温的变化,植物的增长,空气的流动等都是连续不断地运动和变化的.那么这些现象反映在数学上就是函数的连续性.
下面就学习函数的连续性首先介绍函数增量的概念.
1.函数的增量(或改变量)
设函数y=f(x)在及其左右近旁有定义,当x由(初值)变化到 (终值)时,终值与初值之差叫做自变量的增量(或改变量)
记作:
几何上,函数的增量表示当自变量从到时,曲线上对应点的纵坐标的增量.(如图)
应当注意,增量记号是不可分割的整体,增量可正可负,增量可正可负或为零.
例1:设,求适合下列条件中的增量和
(1)当x由1变化到1.5时
(2)当x由1变化到0.5时
(3)当x由1变化到时
解:(1)

(2)

(3)

2.函数的连续性
定义1.7 设函数y=f(x)在点及其左右近旁有定义,如果当自变量x在处增量趋近于零时,函数y=f(x)相应的增量也趋近于零,即有,那么就称函数y=f(x)在点处连续,点处连续, 点称作函数y=f(x)的连续点.
由定义1.7知,要证明函数y=f(x)在点处连续,只需证明:
(1)函数y=f(x)在点处及其近旁有定义;
(2)当时,有.
例2 证明函数在点x=1处连续.
证明:(1)因为函数的定义域为,所以在x=1时,
因为
所以,由定义1.7知,函数在点x=1处连续.
在定义1.7中,,若令,则,当时,有,亦
时,有.因此,又有如下定义.
定义1.8 设函数y=f(x)在点处连续必须满足的三个条件:
(1)函数y=f(x)在点及其近旁有定义;
(2)函数y=f(x)在时的极限值存在;
(3)函数y=f(x)在时的极限值等于在处的函数值,即有

上述三个条件中只要有一个条件不满足,则函数y=f(x)在点的处不连续,此时,称点为函数y=f(x)的不连续点或间断点.
例3设函数在处连续，则（1/4）

3.函数在区间上的连续性
如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,则称函数f(x)在(a,b)内连续;区间(a,b)叫做函数的连续区间.
如果函数f(x)在(a,b)内连续,且在右端点b处左端点a,处右;连续,即有,则函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.
连续函数的图像在其定义域区间内是一条连绵不间断的曲线.
例4 讨论函数点x=1处的连续性.
解 因为所以存在,且有 因此函数f(x)在x=1处连续.
例5 讨论函数在点x=-1处的连续性
解 因为所以不存在,因此,函数f(x)在x=-1处不连续,x=-1是函数f(x)的间断点.
注：第一类间断点：如果点为间断点，且和都存在，那么称为的第一类间断点
第二类间断点：其余的间断点
可去间断点：对第一类间断点，若=，则称可去间断点
1.4.2 初等函数的连续性
基本初等函数的连续性
基本初等函数在其定义域内都是连续的.
由基本初等函数的图像可直观地看出该结论的正确性.
连续函数的和差积商的连续性
若函数f(x)与g(x)在处连续,则f(x)+g(x),f(x)-g(x),在点 处也连续.
复合函数的连续性
如果函数在点连续,而函数在点连续,且,那么复合函数在点也是连续的.
初等函数的连续性
综上所述,可得:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.由此结论知,今后在求初等函数定义区间内各点的极限时,只需计算该函数在指定点处的函数值即可.
1.4.3闭区间上连续函数的性质
在闭区间上的连续函数具有一些重要的特性,我们不加证明地介绍如下:
1最大值和最小值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么函数f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值.
如果函数在开区间(a,b)内连续,那么函数在区间就不一定有最大值和最小值.
2介值定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,m与M分别为f(x)在该区间上的最小值和最大值,则对于满足的任何实数u,至少存在一点,使得.
例 证明方程在(0,1)内至少有一个根.
证明 :设,因为f(x)为初等函数,在内连续,所以它
[0,1]内是连续的,并且在区间端点的函数值为f(0)=-1<0与f(1)=3>0.根据介值定理可知
在(0,1)内至少有一点,使得,即

这个等式说明方程在(0,1)内至少有一个实根.
练习：复习题

24