现代控制理论 复习资料.doc

复习资料我做了一部分，大家在写试卷的过程中，请不要全部照搬，特别是有多种方法的时候。
一、 设，求谱半径及条件数；

二、设， 已知 ， A的三个特征值分别为： , 求范数、谱半径及条件数；

三、用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组，其中
1），； 2），；
3），； 4），；

四、设四阶方阵,
1）用紧凑格式求单位下三角阵和上三角阵,使；
2）用以上分解求方程组，其中；
3）计算、；

五、如图，如图所示电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压输出为电动机角速度ω，电动机轴上阻尼系数为f，转动惯量J，试列写状态方程和输出方程。

题1图
【解】：
设状态变量为：

其中为流过电感上的电流，电动机轴上的角速度。
电动机电枢回路的电压方程为：

为电动机反电势。
电动机力矩平衡方程为

由电磁力矩和反电势的关系，有
，
式中为电动机反电势系数，为电动机的转矩系数。
为电动机轴上粘性摩擦系数，电动机轴上等效转动惯量。
整理得

(注：解是非唯一的)

六、求四阶方阵的解
设四阶方阵A=
1）用紧凑格式求单位下三角阵和上三角阵,使；
2）用以上分解求方程组，其中；
3）计算、；

七、传递函数与状态空间模型间的转换问题
（1）如何由一个传递函数来给出其对应的状态空间模型，试简述其解决思路？
（2）通过举例，给出一个二阶传递函数的两种状态空间实现。

八、已知 的一组值：
xi
1 2 3
yi
1 -1 2
求二次拉格朗日插值多项式及余项，并求的近似值；

九、已知线性定常系统的状态空间表达式为，已知状态的初始条件为，输入量为，试求系统的输出响应。
【解】：

十、设n阶系统的状态空间表达式为。;试证：
（1）若Cb=0，CAb=0，CA2b=0，……CAn-1b=0，则系统不能同时满足能控性和能观性条件。
（2）如果满足Cb=0，CAb=0，CA2b=0，……CAn-2b=0，CAn-1b≠0则系统总是又能控又能观的。
【解】：
（1）以三阶系统为例：

所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。

（2）以三阶系统为例：

所以该系统既能控又能观。

十一、确定常数，使求积公式

的代数精度尽可能高；

十二、设系统的状态空间表达式为，现引入状态反馈构成闭环系统，为x的估值。试回答下列问题
(1)写出该系统状态变量的全维渐近观测器的状态方程；
(2)写出带状态反馈全维观测器的闭环系统的状态方程，并画出包括状态反馈及全维观测器的闭环系统的结构图。
【解】：
（1）

（2）

闭环系统结构图如图题6图所示：

题6图

十三、给定系统状态空间模型，试回答下列问题
（1） 试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性？
（2） 试通过一个例子说明您给出的方法；
（3） 给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。

十四、为求方程在附近的一个根，设将方程改写为一组等价形式，并建立相应的迭代公式如下：
1），迭代公式 ；
2），迭代公式；
3），迭代公式；

十五、证明：从传递函数是否出现零极点对消的现象出发，证明下图题2图中闭环系统∑的能控性与能观性和开环系统∑0的能控性与能观性是一致的。

题7图
【解】：
设开环系统的传递函数为，则开环系统能控且能观的条件是无零极点对消，即和无公因子。而闭环系统的传递函数为。
①开环系统传递函数有零极点对消时，和有公因子，设为。则闭环系统传递函数也有零极点对消，所以闭环系统∑的能控性与能观性和开环系统∑0的能控性与能观性是一致的。
②开环系统传递函数没有零极点对消时，和没有公因子，则闭环系统传递函数也没有公因子，没有零极点对消，所以闭环系统∑的能控性与能观性和开环系统∑0的能控性与能观性也是一致的。

十六、证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。

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