平面截圆锥曲线b.doc

平面与圆锥面的截线

一、教学目标：
1. 知识与内容：
（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2
（2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1）
（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解
2. 过程与方法：
利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。
3. 情感态度价值观：
通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。
二、教学重点难点
重点：（1）定理2的证明
（2）椭圆准线和离心率的探究
难点：椭圆准线和离心率的探究
三、教学过程
椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法有许多，例如：
（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；
（2）椭圆的定义
（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0<e<1)的点的轨迹
（4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；
x
y
P
D
O
（5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2

图1
如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。

思考：
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？

归纳提升：
定理 在空间中，取直线为轴，直线与相交于O点，其夹角为α，围绕旋转得到以O为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β（π与平行，记住β＝0），则：
（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

问题：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆.
讨论：点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1）.
证明1：利用椭圆第一定义，证明 FA+AE=BA+AC=定值，详见课本.
证明2：①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π/；
②如果平面π与平面π/的交线为m，在图中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是（小于1）.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e.）
点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.

拓展：1. 请证明定理2中的结论（2）
2. 探究双曲线的准线和离心率
3. 探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果
四、自我检测练习
1.平面截球面和圆柱面所产生的截线形状是         .
分析：联想立体几何及上节所学，可得结论，要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况.
答案：平面截球面所得的截线为圆；平面截圆柱面所得的截线为圆或椭圆；
2.判断椭圆、双曲线、抛物线内一点到焦点距离与到准线距离之比与1的关系？
分析：首先通过画图寻找规律，然后加以证明.
答案：略.
五、课外研究材料
材料1. 阅读，和你的同学一起探讨文后的问题：
运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运行的速度不同，它所获得的合力也不同，这样就导致形成不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或大于7.9km/s（第一宇宙速度即环绕速度）时，它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当发射的速度等于或大于11.2 km/s（第二宇宙速度即脱离速度）时，物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于或大于16.7 km/s（第三宇宙速度即逃逸速度）时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。例如：人造卫星、行星、慧星等由于运动的速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线。
（1）从天体运行的轨迹看，圆锥曲线也存在着统一，难道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使天体运行也遵循着一种统一的规律吗？
（2）邀请你们的物理老师、地理老师，请他们上一节天体运行课，更深入的理解圆锥曲线

材料2. 圆锥截线，是一个平面截正圆锥面而得到的曲线．
设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α，截面和圆锥的轴的夹角为．
当截面不过顶点时，
（1）当＝α时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线；
（2）当α＜＜时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时，交线是椭圆．特别地，当＝，即截面和圆锥面的轴垂直时，交线是圆．
（3）当0≤＜α时，即截面不与母线平行，且和圆锥面的两叶都相交时，交线是双曲线．
当截面过顶点时，
（1）当＝α时，截面和圆锥面相切，交线退化为两条重合直线．
（2）当α＜≤时，截面和圆锥面只相交于顶点，交线退化为一个点．
（3）当0≤＜α时，截面和圆锥面相交于两条母线，交线退化为两条相交直线．
前一类情况中，抛物线、椭圆（包含圆）和双曲线这三种曲线叫做非退化的圆锥曲线．有时，也把抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线．后一类情况，交线是一个点或两条直线（包括相交与重合），把它们叫做退化的圆锥曲线．
由于椭圆（包含圆）和双曲线都具有对称中心，所以椭圆（包含圆）和双曲线是有心圆锥曲线．而抛物线不具有对称中心，抛物线是无心圆锥曲线．
在直角坐标系中，圆锥曲线的方程都是二元二次方程，因此，圆锥曲线又叫二次曲线．