南昌大学 2009～2010学年第二学期数学物理方法期末考试试卷B卷答案.doc

南昌大学2009～2010学年第二学期期末考试试卷

试卷编号： 6032 ( B )卷
课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷
适用班级： 物理系08级 姓名： 学号： 班级：
学院： 专业： 考试日期：
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
累分人 签名
题分
36
40
24

100
得分

考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每小题 3 分，共 36 分)
得分
评阅人

说明：两个空的小题，第一个空2分，第二个空1分。

1.复数，。
2.若解析函数的实部，则虚部 ，若，则实部为。
3. 已知，为任一回路，n为任一整数，α不在l上，则 2πi ( n = -1 且 l 包含α) 或者0 (其它情况)　　。
4. 在的环域上，函数的洛朗级数展开为______________ ____ 。
5. 0 。
6. 函数在的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 １ 。
7. 孤立奇点可分为三类，分别为 可去奇点、极点、本性奇点 。
8. 函数 的傅里叶变换为。
9. 的拉普拉斯变换为。
10. 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为
。
11. 数学物理方程定解问题的适定性是指解的存在性，唯一性，稳定性。
12. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。
（1）若函数在点解析，则函数在点可导。 （√）
（2）是二阶线性齐次偏微分方程。 （×）
（3）若函数在某区域上解析，则对该区域上的任一分段光滑曲线，
都有。　　 （×）

二、求解题(每小题 10 分，共 40 分)
得分
评阅人

说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。
1. 用留数定理计算复积分。
解： 回路内有一个二阶极点 和一个单极点（2分）其留数为
和　 （6分）
（2分）。

2. 用留数定理计算实积分。
解：根据留数定理有：
在上半平面所有奇点留数之和｝(2分)
所以
(3分)
(3分)
(2分)
3. 用拉普拉斯变换求解

已知，。
解：对方程拉普拉斯变换得
---(3分)
化简得
---(2分)
解之得
---(2分)
由拉普拉斯逆变换得
---(3分)

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4. 试给出偏微分方程的特征方程，并判断其类型，然后求解特征方程，最后给出能使方程化为标准形的自变量变换（注意：不必写出标准形）。（注意：不必写出标准形）。
解：特征方程（2分），判别式故方程为双曲型（3分）。特征方程的解为 （和为任意常数）（3分）。
所以，可化为标准形的自变量函数变换为
（2分）

三、偏微分方程求解题 (共24 分)
1. 试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程，初始条件为。 (本小题 10 分)
解：若方程的初始条件为，则其解为
，此即达朗贝尔公式。(4分)
本题中，，，，则

2. (1) 已知矩形区域上的拉普拉斯方程

分离变量，导出和满足的方程，以及的边界条件，由此得到的本征值问题并求解，然后利用所求得的本征值求解，最后证明
，
其中和是只与有关的待定系数(9分)
(2) 利用(1)的结果求解泊松方程

提示：寻找泛定方程的一个特解使得经变换后所得的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分)

(1) 证明： 设有试探解，(1分) 代入泛定方程和齐次边界条件

(1分)
求解本征值问题，得本征值
本征函数 (4分)
再解的微分方程得 (2分)
所以，一般解为
(1分)

（2）解：特解 (1分) 变换使
(1分)
由（1）得满足的齐次泛定方程和第一组齐次边值的解为
(1分)
因为上述解还满足第二组边界条件，于是

即 (1分)
最后，得解
(1分)