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专题：空间角与距离
一、选择题
1.边长为a的正方形ABCD沿对角线AC将△ADC折起，若∠DAB＝60°，则二面角D—AC—B的大小为(　　)
A. 60° B. 90° C. 45° D. 30°
2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C的中点，则EF与平面ABCD所成的角的正切值为(　　)
A. 2 B. C. D.
3.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4..如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2， E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长为 （ ）
A． B. 3 C. 2 D
5.空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别为AB,CD中点，,则所成角为( )
． ． C． D．
6.如图所示，点在平面外，分别是和的中点，则的长是（ ）
A． B．1 C． D．
7.正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8.已知，O是坐标原点，则等于
A. B. C. D.

9.如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，
AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）
A．60°　B．45° C．0° D．120°
10.如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角
C1—BD—C的大小为（ ）
Ａ．30° B．45°　C．60° D．90°

11.如图所示，棱长皆相等的四面体S­ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是(　　)

A. B. C. D.
12.如图，正方体中，分别为BC, CC1中点，则异面直线与所成角的大小为

13.如图所示，已知正四棱锥侧棱长为，底面边长为，是的中点，则异面直线与所成角的大小为 （ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
14.在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为( )
A. B. C. D.
15.四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，则异面直线与所成的角等于（ ）
A. B. C. D.

16.如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（　　）
Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°

17.在正方体中，是底面的中心，为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于( )
A. B． C． D．
18.已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点到棱的距离为4，那么的值等于( )
A． B． C． D．
19.已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点到棱的距离为4，那么的值等于　　 　　　　　( )
A． B． C． D．
20.四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为，为中点，则异面直线与所成的角是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°

二、填空题
21.若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与AD所成角的余弦值是________.
22.正四面体S—ABC中，E为SA的中点，F为的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的正切值是 。
23.如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与AD所成角的余弦值为______________
24.已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为________.
25.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是_______.
26.如图，正方体中，直线与平面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.

27.正方体中，异面直线与所成的角的大小为 .

28.已知A（4,1,9），B（10，-1,6），则A,B两点间距离为 .

29.如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离 ．
O

B

A

D

C

30.二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，，则长为 。
31.正方体中，是中点，则与平面所成角的正弦为

32.如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已知
，若分别是线段上的动点，则的最小值为

33.如右图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离 ．

34.正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－D的平面角大小等于 ．

35.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为_　　　.
36.已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则 与的夹角为 ▲
37.正四面体S—ABC中，E为SA的中点，F为的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的正切值是 。
38.在ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=1350，若AC=AB，则BD= .
39.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记。当为钝角时，则的取值范围是 。
三、解答题
40.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，

41.（本小题满分13分）如图，已知点P在正方体的对角线上，．
（Ⅰ）求DP与所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面所成角的大小．

42.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．
（Ⅰ）求PD与BC所成角的大小；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．

43.如图，在四棱锥中，底面是矩形．
已知．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积；
（Ⅲ）设二面角的大小为，求的值．
44.（本小题满分13分）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.(Ⅰ)求与底面所成角的大小；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.

45.如图，在棱长为3的正方体中，.
⑴求两条异面直线与所成角的余弦值；
⑵求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

46.(12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.

(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A­A1C1­B1的正弦值；
(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．

47.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中点，PC与平面ABCD的夹角为30°.（1）求平面PCE与平面CED夹角的大小；（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2.

48.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，底面为菱形，，,且，平面，底面.
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由.

49.（本小题满分12分）如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.
（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为.
C
D
D1
C1
B
E
B1
A
A1

50.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，底面为菱形，，,且，平面，底面.
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由.

试卷答案
1.B2.D 3.D4.D5.B6.A7.D8.A9.A 10.A11.C12.D13.B14.C15.A16.B17.C 18.D 19.D 20.C
21.22.23.24.25.26. 27. 28.29.30.2a
31.32.33.
因为AB、AC、AD两两互相垂直，所以分别以AB、AC、AD为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径，所以球半径为,在正三角形中，，所以A、D两点间的球面距离为.
34.35.36.37. 38.
作AH⊥BC于H,则 则.
又,所以 ，即, ，
，所以，
即，整理得，即，解得或（舍去）.
39.
由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有，，，，则，得，所以，

显然不是平角，所以为钝角等价于，即，即，解得，因此的取值范围是。
40.（1）
（2） ，
（3）
41.解析：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系A
B
C
D
P

x
y
z
H

则，．连结，．
在平面中，延长交于．
设，由已知，
由
可得．解得，
所以．（Ⅰ）因为，
所以．即与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．
因为， 所以．
可得与平面所成的角为．
42.（Ⅰ）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD=CD …………………1分
所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH
所以∠PDH为PD与BC所成角………………………………………………2分
因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o， 所以⊥DA⊥AB
又因为AB=2DC=2，所以AD=1， 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60o ………………………4分
（Ⅰ）连接CH，则四边形ADCH为矩形， ∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1
在Rt△BHC中，∠ABC=45o ， ∴CH=BH=1，CB= ∴AD=CH=1，AC=
∴AC2+BC2=AB2 ∴BC⊥AC……6分 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……7分
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC ………………………………………8分
（Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，则由题设可知：
A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，
∴=(0，0，1)，=(1，1，-1) ………………………………………… 9分
设m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量， 则，即
设，则，∴m=(1，-1，0) ………………………………………10分
同理设n=(x，y，z) 为平面PCD的一个法向量，求得n=(1，1，1) ………11分
∴
所以二面角A-PC-D为60o ………………………………………………… 12分
43.(1)略 (2) (3)
44.解：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．……4分
(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC． ks5u
建立空间直角坐标系如图，……5分

则, ．由M为PB中点，
∴．∴
．∴，
．
∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC．……………8分
(III)．令平面BMC的法向量，
则，从而x+z=0； ……①, ，从而． ……②
由①、②，取x=−1，则． ∴可取．……ks5u…10分
由(II)知平面CDM的法向量可取，……ks5u……………11分
∴．∴所求二面角的余弦值为－．…13分
45.（1）以为原点，建立空间直角坐标系，
如图所示,则,

所以
即两条异面直线与所成角的余弦值为
(2)
设平面的一个法向量为
由得，
所以，则不妨取则
46.　解析　如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，

C1(，，)．
(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，于是cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.（理科4分；文科普通法6分）
(2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)．
设平面AA1C1的法向量为m＝(x，y，z)，则即
不妨令x＝，可得m＝(，0，)．同样地，设平面A1B1C1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则有即不妨令y1＝，可得n＝(0，，)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，从而sin〈m，n〉＝.
所以二面角AA1C1B1的正弦值为.（理科8分；文科普通法12分）
(3)由N为棱B1C1的中点，得N，设M(a，b,0)，则＝，由MN⊥平面A1B1C1，得
解得故M.因此＝，所以线段BM的长||＝.（理科12分）
47.解：取AD的中点O，连接PO.∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，又面PAD⊥面ABCD.
∴PO⊥面ABCD，以O为原点，OD为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，

连结OC，则∠PCO为PC与面ABCD的夹角，…2分
∴∠PCO=30°.设AD=a，则PO=a,OC=a,CD=a.
∴P(0,0,a),D(a,0,0),C(a,a,0),E(-,a,0) …4分.
（1）∵,，
设平面PCE的一个法向量为=(1,y,z).
则=(1,-,-)
…6分.又平面DEC的一个法向量为,
∴.∴平面PCE与平面CED夹角的大小为45°. …8分
（2）,D到平面PCE的距离，由=2得a=.
即AD长为时，点D到平面PCE的距离为2. …13分
48..解：（I）设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，设，则，设则，
……2分

解得，……4分
，设平面的法向量为，
则，令，
……6分
又平面的法向量为
所以所求二面角的大小为…………………………………8分
（Ⅱ）设得
……10分
，，解得，
存在点使面此时…………12分
49.解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则…………2分
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E

（1）………………4分
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为
………………………………………………8分
（3）设平面的法向量，
∴
由 令，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴时，二面角的大小为. …………………………12分
50.解：（I）设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，设，则，设则，
……2分

解得，……4分
，设平面的法向量为，
则，令，
……6分
又平面的法向量为
所以所求二面角的大小为…………………………………8分

（Ⅱ）设得
……10分
，，解得，
存在点使面此时…………12分

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