量子力学微扰理论PPT参考课件.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,2,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,1,量子力学第五章 微扰理论,缪 灵,miaoling,2025/3/8 周六,2,可解析求解模型,I,II,II,x,V(x),x,II I II,V(x),V(x),x,I,II,II,2025/3/8 周六,3,一、近似方法的出发点,近似方法通常是从,简单问题的精确解,（解析解）出发，来求解,复杂问题的近似,（解析）,解,。,二、近似解问题分为两类,1,、体系,Hamilton,量不是时间的显函数,定态问题,（,1,）定态微扰论；（,2,）变分法。,2,、体系,Hamilton,量显含时间,状态之间的,跃迁问题,（,1,）与时间,t,有关的微扰理论；（,2,）常微扰。,2025/3/8 周六,4,1 非简并定态微扰理论,2 简并微扰理论及其应用,3 变分法与氦原子基态,2025/3/8 周六,5,平衡态附近的泰勒展开,2025/3/8 周六,6,1,非简并定态微扰理论,一、微扰体系的,Schrdinger,方程,其中,H,(0),所描写的体系是可以精确求解的，其,本征值,E,n,(0),，,本征矢,n,(0),。则：,2025/3/8 周六,7,当,H,0,时引入微扰，使体系能级发生移动，由,E,n,(0),E,n,，状态由,n,(0),n,。,2025/3/8 周六,8,微扰体系的定态,Schrdinger,方程,为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：,其中,是很小的,实数,，表征,微扰程度,的参量。,因为,E,n,、,n,都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而将其展开成,的,幂级数,：,其中,E,n,(0),E,n,(1),2,E,n,(2),.,分别是能量的,0 级近似,、,1级近似,和,2级近似,等。,而,n,(0),n,(1),2,n,(2),.,分别是状态矢量,0 级近似,、,1级近似,和,2级近似,等。,2025/3/8 周六,9,乘开得：,代入,Schrdinger,方程得：,2025/3/8 周六,10,根据等式两边,同幂次,的,系数,应该,相等,:,整理后得：,体系的,能量和态矢,为,2025/3/8 周六,11,二、非简并定态的微扰近似,1,、态矢和能量的一级近似,(1),能量一级修正,E,n,(1),左乘,n,(0),|,利用本征基矢的,正交归一性,：,其中能量的,一级近似,等于,微扰,Hamilton,量,在,0,级态矢中的平均值,2025/3/8 周六,12,二、非简并定态的微扰近似,左乘,m,(0),|,（2）态矢的一级修正,n,(1),2025/3/8 周六,13,2025/3/8 周六,14,注意,（2）态矢的一级修正,n,(1),2025/3/8 周六,15,能量高阶近似,方程左乘态矢,n,(0),|,2025/3/8 周六,16,低级微扰近似结果,2025/3/8 周六,17,三、微扰理论适用条件,2025/3/8 周六,18,微扰适用条件表明：,（,2,）,|,E,n,(0),E,m,(0),|,要大，即能级间距要宽。,例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数,n,2,成反比，即,E,n,=-Z,2,e,2,/,(2,2,n,2,),(,n=,1,2,3,.,),可见，,n,大时，能级间距变小，因此微扰理论,不适用于,计算高能级（,n,大,）的修正，而只,适用于,计算低能级（,n,小,）的修正。,（,1,）,H,mn,要小，即微扰矩阵元要小；,物理意义,2025/3/8 周六,19,表明,微扰态矢,n,可以看成是,无微扰态矢,m,(0),的线性叠加。,（2）展开系数,H,mn,/(,E,n,(0),-,E,m,(0),),表明第,m,个态矢,m,(0),对第,n,个态矢,n,的贡献有多大。,展开系数反比于,扰动前状态间的,能量间隔,，所以,能量最接近的态影响最大,。因此态矢一阶近似无须计算无限多项，只要算出,最近邻,的有限项即可。,（3）由,E,n,=,E,n,(0),+,H,nn,可知，扰动后体系能量是由扰动前第,n,态能量,E,n,(0),加上微扰Hamilton量,H,在,无,微扰态,n,(0),中的平均值,组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。,（,1,）在一阶近似下：,讨论,2025/3/8 周六,20,例,：已知某表象中,Hamilton,量的矩阵形式,（,1,）设,c,1,，应用微扰论求,H,本征值到二,级近似；,（,2,）求,H,的精确本征值；,（,3,）在怎样条件下，上面二结果一致。,解：,（,1,）,c,1,，可取,0,级和微扰,Hamilton,量分别为：,2025/3/8 周六,21,H,0,是对角矩阵，是,H,0,在自身表象中的形式。所以，,0,级近似的能量和态矢为：,E,1,(0),=1,E,2,(0),=3,E,3,(0),=-2,由,非简并微扰公式,能量一级修正：,2025/3/8 周六,22,能量二级修正为：,2025/3/8 周六,23,准确到二级近似的,能量本征值,为：,设,H,的本征值是,E,，可得,久期方程,：,可得：,(3),将准确解按,c,(1),展开,微扰论二级近似结果，与精确解展开式，,不计,c,4,及以后高阶项,的,结果相同,。,(2),精确解：,2025/3/8 周六,24,例,：一电荷为,e,的线性谐振子，受恒定弱电场,作用。电场沿,x,正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（,1,）带电谐振子的,Hamilton,量,将,Hamilton,量分成,H,0,+,H,两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。,2025/3/8 周六,25,（2）写出,H,0,的本征值和本征函数,E,(0),n,(0),（,3,）计算,E,n,(1),积分等于,0,是因为被积函数为,奇函数,所致。,2025/3/8 周六,26,（,4,）计算能量二级近似,E,n,(2),欲计算能量二级修正，首先应计算,H,mn,矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公式：,金蝉脱壳！,2025/3/8 周六,27,对谐振子有；,E,n,(0),-,E,n-,1,(0),=,E,n,(0),-,E,n+,1,(0),=-,2025/3/8 周六,28,（,5,）态矢量一级近似,对谐振子有；,E,n,(0),-,E,n-,1,(0),=,E,n,(0),-,E,n+,1,(0),=-,2025/3/8 周六,29,2.,电谐振子的精确解,实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系,Hamilton,量作以下整理：,其中,x,=,x,e/(,2,),，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个,能级,都比无电场时的线性谐振子的相应能级,低,e,2,2,/(2,2,),，而,平衡点,向,右移,动了,e/,2,距离。,2025/3/8 周六,30,周世勋量子力学教程,P172，5.3,作 业,2025/3/8 周六,31,2,简并微扰理论及其应用,上节，我们研究了,0,级波函数,为,非简并,情况下的,微扰理论,。那么，如果一微扰体系的,0,级近似为简并态,，如何运用微扰理论对其分析得出各级近似呢？,一、简并定态微扰理论,2025/3/8 周六,32,简并本征态,本征值方程,共轭方程,2025/3/8 周六,33,这里,E,n,(0),是简并的，属于,H,(0),的本征值,E,n,(0),有,k,个归一化本征函数,：,|,n,1,|,n,2,.,|,n,k,;,n,|,n,=,那么，在,k,个,本征函数,中究竟应取哪一个作为微扰波函数的,0,级近似,。所以在,简并,情况下，,首先,要解决的问题是,如何选取,0,级近似波函数,的问题，然后才是求,能量和波函数的各级近似,。,0,级近似波函数,应从这,k,个,|,n,及其线性叠加中挑选，而它应满足上节按,幂次分类得到的方程。,简并本征态,本征值方程,共轭方程,2025/3/8 周六,34,左乘,n,|,得：,2,、,0,级近似波函数和,一级,近似能级,系数,c,由 一级方程定出,2025/3/8 周六,35,上式是以展开系数,c,为未知数的,齐次线性方程组,，它有不全为零解的,充要条件,是系数行列式为零，即,这就是微扰算符,H,的久期方程,，解此方程，可得能量的一级修正,E,n,(1),的,k,个根,：,E,n,(1),=1,2,.,k,，体系能级,E,n,=,E,n,(0),+,E,n,(1),。若这,k,个根,都不相等，那末一级微扰就可以将,k,度简并完全消除；若,E,n,(1),有几个重根,，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。,微扰算符,的,本征值方程,2025/3/8 周六,36,为了确定能量,E,n,所对应的,0,级近似波函数,，可以把,E,n,(1),之值代入线性方程组从而解得一组,c,(,=1,2,.,k,),系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的,0,级近似波函数,。,为了能表示出,c,是对应与第,个能量一级修正,E,n,(1),的一组系数，我们在其上加上角标,而改写成,c,。这样一来，线性方程组就改写成：,2025/3/8 周六,37,例：一粒子,Hamilton,量的矩阵形式为：,H,=,H,0,+,H,，其中,求：能级的一级近似和波函数的,0,级近似。,解,H,0,的本征值是三重简并的，这是一个,简并微扰问题,。,E,(1),(,E,(1),),2,-,2,=0,(1),能量一级近似 由,久期方程,|,H,-,E,(1),I,|=0,得：,实例,2025/3/8 周六,38,解得：,E,(1),=0,E,1,(1),=-,E,2,(1),=0,E,3,(1),=+,能级一级近似：,简并完全消除,(2)0,级近似波函数,将,E,1,(1),=,代入方程，可得对应能级,E,1,的0 级近似波函数,1,(0),归一化,2025/3/8 周六,39,归一化,将,E,2,(1),=0,代入方程，可得对应能级,E,2,的0 级近似波函数,2,(0),将,E,3,(1),=,代入方程，可得对应能级,E,3,的0 级近似波函数,3,(0),同理可得,2025/3/8 周六,40,1,、,Stark,效应,氢原子在外,电场作用,下产生,谱线分裂,的现象，称为,Stark,效应,。,电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，第,n,个能级有,n,2,度简并。加入,外电场,后，,势场对称性受到破坏,，,能级,发生,分裂,，,简并部分被消除,。,Stark,效应可用,简并的微扰理论,予以解释。,2,、外电场下氢原子,Hamilton,量,二、氢原子的一级,Stark,效应,2025/3/8 周六,41,3,、,H,0,的本征值和本征函数,下面我们只讨论,n,=2,的情况，这时简并度,n,2,=4,。,取外电场沿,z,正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多。例如，强电场,10,7,伏,/,米,，而原子内部电场,10,11,伏,/,米,，二者差,4,个量级。所以，可以把外电场的影响作为微扰处理。,2025/3/8 周六,42,条件：,H,中,H(t),定态,H=H,0,+H,HH,0,H,0,的本征态及本征谱已知,微扰的本质是逐步逼近,简并微扰的结果可以消除或部分消除简并对称破缺,定态微扰论一般结论,2025/3/8 周六,43,3,变分法与氦原子基态,微扰法,适用于：,如上述条件不适用，则不能用微扰法求解体系的运动状态。,本节，介绍一种新的求解微观体系运动状态的近似方法,变分法,。变分法主要用于,求解微观体系的基态,。,2025/3/8 周六,44,设体系的,Hamilton,量,H,的,本征值由小到大,顺序排列为：,设,H,本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即,一、变分法原理,1,、能量平均值,能级,E,0,E,1,E,2,.,E,n,|,1,|,2,.,|,n,.,2025/3/8 周六,45,量子力学变分法,2025/3/8 周六,46,基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数,|,(1),|,(2),.,|,(,k,),.,为试探波函数，来计算能量平均值,其中最小的一个最接近基态能量,E,0,，即,如果选取的,试探波函数,接近基态波函数，则,H,的平均值,就接近基态能量,E,0,。这样，我们就找到了一个计算,基态能量和波函数,的,近似方法,变分法,。,使用此方法求基态近似，最主要的问题，就是：,如何寻找试探波函数？,2025/3/8 周六,47,试探波函数的选取直接关系到计算结果。如何选取试探波函数没有固定可循的法则，通常是根据,物理上的直觉去猜测。,（,1,）根据体系,Hamilton,量的形式和,对称性,推测合理的 试探波函数；,（,2,）试探波函数要满足问题的,边界条件,；,（,3,）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个 或多个待调整的参数，这些参数称为,变分参数,；,（,4,）若体系,Hamilton,量可以分成两部分,H,=,H,0,+,H,1,，而,H,0,的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。,2,、试探波函数的选取,2025/3/8 周六,48,有了试探波函数后，我们就可以计算,能量平均值是变分参数,的函数，欲使,取最小值，则要求：,上式就可定出试探波函数中的变分参量,取何值时,有最小值，而此时的,就可作为,基态近似能量,，试探波函数可作为,基态近似波函数,。,3,、变分方法,2025/3/8 周六,49,例：一维简谐振子的基态,一维简谐振子,Hamilton,量：,其本征函数是：,下面我们利用变分法求谐振子基态。首先构造试探波函数。,2025/3/8 周六,50,A,归一化常数，,是变分参量。因为,1.,(,x,),是光滑连续的函数，,关于,x,=0,点对称,；,2.满足边界条件即当,|,x,|,时，,0,；,3.,(,x,),是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作,解析积分,，且有积分表可查。,2025/3/8 周六,51,1.,对试探波函数定归一化系数：,2.,能量平均值,2025/3/8 周六,52,3.,变分求极值,得,基态能量近似,值为：,这正是精确的一维谐振子基态能量。若将,代入试探波函数，得：,正是一维谐振子,基态波函数,。此例得到了精确的结果，是因为，我们在选取试探波函数时，对体系的物理特性（,Hamilton,量）进行了全面的分析，构造出了非常合理的试探波函数。,2025/3/8 周六,53,氦原子由带,正,电,2e,的原子核与核外,2,个,电子,组成。核的质量比电子质量大得多，可认为核固定不动。氦原子,Hamilton,算符：,用,变分法,求氦原子基态能量。,氦原子,Hamilton,量,其中,其中,H,0,是两个电子独立在核电场中运动的,Hamilton,量，所以,H,0,基态本征函数,可以用,分离变量法解出,。,二、氦原子基态（变分法）,1,、氦原子的,Hamilton,算符,将,H,分成两部分,2025/3/8 周六,54,试探波函数,令：,由于,H,1,H,2,是类氢原子的,Hamilton,量，其本征函数已知为：,当二核外电子有相互作用时，它们相互起屏蔽作用，使得,核有效电荷不是,2e,，因此可选,Z,为变分参数,。,2,、试探波函数的选取,H,0,的本征函数,将其作为氦原子基态,试探波函数,。,变分参数的选取,2025/3/8 周六,55,原子物理与量子力学,哈尔滨理工大学,应用科学学院应用物理系,教案来源,2025/3/8 周六,56,Thank you!,ccmshust,miaoling,2025/3/8 周六,