可测函数空间的完备性.doc

可测函数空间的完备性

学生姓名：张权 指导老师：宋儒瑛
（太原师范学院数学系14011班 山西·太原 030012）

【内容提要】 是定义在上的 Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间,若,引入距离 ,
则为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列 依测度收敛于某一可测函数，则这样的空间就是完备的。
【关键词】 可测函数 度量空间 完备性

在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很广泛的函数。特别是Lebesgue可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在上的 Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间的完备性做进一步的探讨。

一、可测函数空间与度量空间

设为上实值的可测函数全体，为Lebesgue测度，若。对任意两个可测函数及，由于。故这是X上的可积函数。
令 如果把中两个几乎处处相等的函数视为中同一元；那么按上述距离成为度量空间。下面验证一下：
⑴在中任取及。≥0显然。若，当且仅当，也是显然的。
⑵ 因为，所以。
⑶ 注意函数（求导大于0）是单调上升的，那么，任取有

从而上的实值Lebesgue可测函数有

由前面知，上式两边均可积分。则

即，。所以，按构成度量空间。

二、可测函数空间的完备性

⑴ 定义：Cauchy点列或基本点列：
在度量空间中，是中的点列，如果对于任意正数，在自然数，使得当时，必有。则称是中的Cauchy点列或基本点列。

如果度量空间中每个柯西点列都收敛，那么称是完备的度量空间。

⑵ 的完备性：

设及分别是中的点列和点，则点列收敛于的充要条件是函数列依测度收敛于。
证明：充分性：
若依测度收敛于，则对任何的，
有。对任意给定的正数(不妨设).取，则，对于这个，由依测度收敛于，存在自然数,使时，。
所以，

即
必要性：
若对任何的，由于 故，

且，由此可知。即依测度收敛于。

【结论】可见，可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列 依测度收敛于，则这样的空间就是完备的。

三、一个例子

在这个例子中，将用到一个引理：若柯西列内有收敛子序列，则它本身是收敛序列。

例：可测函数空间是完备的。
证明：设是柯西列，任取，有自然数，使得对每一对，都有。据此，对每一自然数可以找到一个自然数, 使它满足条件：
⑴．
⑵．
由此得，。由Levi定理知级数在 上几乎处处收敛。任取它的一个收敛点，那么对充分大的总有 。因为当时，有。由于是收敛点，故产生矛盾。于是，对充分大的总有。由此得，收敛。
从而便知在几乎处处收敛。
这相当于序列的几乎处处收敛。由于几乎处处收敛蕴含依测度收敛，那么是一依的距离收敛的序列。而它是的子列，故是依测度收敛的。从而证明了的完备性。

【参考资料】

[1] 孙永生等 《 泛函分析讲义》 北京师范大学出版社 北京 1986,5
[2] 侯友良等 《实变函数基础》 武汉大学出版社 武汉 2002,3
[3] 程其襄等 《实变函数与泛函分析基础》 高等教育出版社 北京 2002,1
[4] 许天周等 《应用泛函分析基础》 科学出版社 北京 2003,6

The Completion of Measurable Function Space
Name of the student ,Zhang quan Sponsor,Song ruying
(Mathematics department of Taiyuan teacher’s college,class14011
Shanxi·Taiyuan 030012)

【Abstract】
is a measurable function space which defined on the and is made up of the whole measurable function of Lebesgue . If exists and
we bring into .
We can info is a metric space .
In this thesis ,we can get an important conclusion “in the measurable function space ,only if each Cauchy function sequence , converges at measurable with measurement, the space is complete .”
【Key words】 measurable function , metric space, completion

【指导教师意见】

本文通过对可测函数中，距离收敛等价于测度收敛；利用这一结论，讨论一个例子，文中结构简明扼要，说理清楚，有一定的基本功。但研究的结果和方法都有待创新。

5