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海伦积分方程的矩量法求解

一、课题研究内容
利用矩量法求解表述对称天线上电流分布的海伦积分方程。
本课题研究的是半波天线上的电流分布，并采用点选配法对海伦积分方程求解，最后得到天线上的电流分布图。
海伦积分方程为： 。 （1）
二、解决方案
图1所示是对称天线，根据矩量法原理，待求电流可表示为：
（2）
这里为简单起见，只取到N=2.选取这样的基函数是考虑到它可以满足细导体末端电流为零的边界条件，式中为天线的一般长度，为待定系数，在轴线上，为源的坐标。

图1
检验函数选择狄拉克函数，即。
将（2）式代入（1）式，并整理，可得
（3）
式中
， ，
式中为导体半径，z为导体表面上场点的坐标，（3）式中有三个未知量，，C，因此应选三个加权函数作为三个方程式。课题中我们求解的是=λ/4，λ为波长，并采用点选配法中，可以选择的值为=0，=λ/8，=λ/4。并以每一对（3）式两边求内积，这样可以将（3）式转变成矩阵的形式
(4)
并根据函数的特性，上式可化简为
(5)
式中

并且选择,。
其中除了，，三个未知量，其余各个元素都可以通过计算机编程来求解，然后再求解出，，，这样根据公式（2）就可以求得天线上的电流分布。

三、源程序及计算结果
源程序：
clear;clc;tic
x=sym('x'); %x=z/λ，其中取z为源点坐标
h=7.022e-03; %h=a/λ
digits(8);

for n=1:3
r1=(((n-1)/(8*h)-x)^2+1)^0.5;
r2=(((n-1)/(8*h)-x)^2+1)^0.5;
f1(n)=cos(2*pi*h*x)*exp(-j*2*pi*h*r1)/r1;
f2(n)=sin(4*pi*h*abs(x))*exp(-j*2*pi*h*r1)/r1;
end
for n=1:3
A(n)=int(f1(n),'x',-1/(4*h),1/(4*h));
B(n)=int(f2(n),'x',-1/(4*h),1/(4*h));
A(n)=vpa(A(n));
B(n)=vpa(B(n));
end

H1=[A(1),B(1),1;A(2),B(2),1/sqrt(2);A(3),B(3),0];
H2=[0;-j/(60*sqrt(2));-j/60];
H3=inv(H1)*H2; %对应系数值
H3=double(H3)

z=[0:0.01:1/4]; %源点坐标变化
I1=real(H3(1)*sin(2*pi*(1/4-abs(z))))+real(H3(2)*sin(4*pi*(1/4-abs(z)))); %实部
plot(I1,z)
hold on
I2=imag(H3(1)*sin(2*pi*(1/4-abs(z))))+imag(H3(2)*sin(4*pi*(1/4-abs(z)))); %虚部
plot(I2,z,'r')
hold off
grid on

legend('实部电流','虚部电流')
title('电流分布图')
xlabel('I(z'')(mA)')
ylabel('z''源点')
toc

计算机计算结果：
H3 =

0.0094 - 0.0036i
0.0005 - 0.0020i
-0.0558 + 0.0485i
电流分布图如下：

四、计算结果分析
1.在用矩量法求解问题时，加权函数选取δ函数作为加权函数，可以使计算简化。
2.由计算结果并对比Mack试验曲线可以看出，用矩量法求解表述对称天线上电流分布的海伦积分方程是可行的，精度也较高。

五、参考文献
[1] R.F.哈林顿. 计算电磁学的矩量法.北京：国防工业出版社,1981.
[2] 谢处方. 近代天线理论.成都：成都电讯工程学院出版社,1987.
[3] 谢处方,吴先良. 电磁散射理论与计算.合肥：安徽大学出版社,2002.
[4] 李世智. 电磁辐射与散射问题的矩量法.北京：电子工业出版社,1985.