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第一讲 直线方程
知识归纳：
一、 直线的倾斜角与斜率
1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件
注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）、直线的方向向量、直线的法向量
2、直线的倾斜角：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；
②规定：直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为
③直线倾斜角α的取值范围是：
④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。
3、直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。
注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当时，；当时，；当时，不存在，当时，。 即：斜率的取值范围为
例1、给出下列命题：①若直线倾斜角为，则直线斜率为；②若直线倾斜角为，则直线的倾斜角为；
③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为
例2、已知直线的倾斜角为，且，求直线的斜率

4、直线斜率的坐标公式
经过两点的直线的斜率公式：
注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即
②特别地：当时，；此时直线平行于轴或与轴重合；当时，不存在，此时直线的倾斜角为，直线与轴平行或重合。
例3、已知点，求直线的斜率并判断倾斜角的范围。

例4、（三点共线问题）已知三点，证明这三点在同一条直线上

例5、（最值问题）已知实数，满足，当时，求的最大值和最小值

5、直线的方向向量：已知是直线上的两点，直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。直线与轴不垂直时，，此时，向量也是直线的方向向量，且它的坐标是，即（1，k），其中k为直线的斜率
6、直线的法向量：如果向量与直线垂直，则称向量为直线的法向量。
二、直线的方程
1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
2、直线方程的几种形式
（1）点斜式：
问题：若直线经过点，且斜率为k，求直线的方程。
解析：设点是直线上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得，可化为，即为过点、斜率为k的直线的方程。
方程是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。
注意：①与是不同的，前者表示直线上缺少一个点，后者才是整条直线；
②当直线的倾斜角为时，，即，这时直线的方程为
③当直线的倾斜角为时，直线斜率不存在，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是。即：局限性是不能表示垂直于轴的直线。
④经过点的直线有无数条，可分为两类情况：
ⅰ、斜率为k的直线，方程为 ⅱ、斜率不存在的直线，方程为或写为
例6、根据条件写出下列各题中的直线的方程
①经过点，倾斜角，②经过点，斜率为2 ③经过点，且与轴平行
④经过点，且与轴垂直

（2）斜截式：
问题：已知直线的斜率是k，与轴的交点是，代入直线方程的点斜式，得直线的方程，也就是，我们称是直线在轴上的截距。
这个方程是由直线的斜率k和它在轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
注意：① ②局限性：不表示垂直于轴的直线
③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是，但有区别：当斜率不为0时，是一次函数，当时，不是一次函数；一次函数（）
必是一条直线的斜截式方程。

例7、求倾斜角是直线的倾斜角的，且在轴上的截距为的直线的方程。

（3）两点式：
问题：已知直线经过两点，求直线的方程
解析：因为直线经过两点，所以它的斜率，代入点斜式，得，当时，方程可以写成
这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。
注意：①方程与方程比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。
②两点式方程与这两个点的顺序无关。
例8、已知点，，求直线的方程

例9、一条光线从点出发，经轴反射，通过点，求入射光线和反射光线所在直线的方程

（4）截距式：
问题：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，求直线的方程。
解析：因为直线经过和两点，将这两点的坐标代入两点式，得，即为
如果直线与轴的交点为，则称为直线在轴上的截距。
以上直线方程是由直线在轴和轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式
注意：方程中，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直线。
例10、过两点，的直线在轴上的截距为

（5）一般式方程：
以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；
而关于的二元一次方程，它都表示一条直线。因此我们把的二元一次方程(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式。
注意：①直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程所不具备的。
②直线的一般式方程成立的条件是A,B不同时为0。
③虽然直线的一般式有三个系数，但是只需两个独立的条件即可求直线的方程，
若,则方程可化为; 若，则方程可化为，即;
若，时，方程化为,它表示与轴平行或重合的直线；
若，时，方程化为，它表示一条与轴平行或重合的直线；
若时，则方程可化为 因此只需要两个条件即可。
④直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊说明，应把最后结果互为直线的一般式
例11、设直线的方程为，根据下列条件分别确定m的值
（1）在轴上的截距为 -3 （2）的斜率是 -1

（6）点向式：
问题：设直线经过点，是它的一个方向向量，求直线的方程
解析:设是直线上的任意一点，则向量与共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数，使，即，所以 ①，方程组①称为直线的参数式方程。
如果直线与坐标轴不平行，则，于是可得，消去参数，得到直线的普通方程
这个方程称为直线的点向式方程，叫做直线的方向数。
思考：若给出直线的一般式方程，如何确定直线的方向向量？

（7）点法式：
问题：设直线有法向量，且经过点，求直线的方程
解析：设是直线上的任意一点，则有，即
因为，，所以有
这个方向是由直线上一点及直线的法向量确定的，称为直线的点法式。
思考：若给出直线的一般式方程，如何确定直线的法向量？

三、直线的位置关系（同一平面上的直线）
1、平行与垂直
（1）两条直线平行的判定
①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定
设两条直线分别为，： ： 若，则的倾斜角相等，即由，可得，也即，此时；反之也成立。 所以有且
②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为，若不重合，则它们也是平行直线
注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：
设两条直线分别为：，： 可得（其中分母不为0）
或（可用直线的方向向量或法向量解释）
例12、已知点和直线：，求过点A和直线平行的直线。（引出平行直线系方程）

（2）两条直线垂直的判定
①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定
设两条直线分别为，： ： 则得直线的方向向量为： 的方向向量为：，所以有
即
注意： 或用两条直线的倾斜角推倒：即，得到
②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。
由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。
注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：
设两条直线分别为：，： 可得

例13、求与直线垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程）

例14、已知两直线：，： ，当为何值时，直线与：①平行 ②重合 ③垂直

例15、已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标

例16、求证：不论为取什么实数，直线总通过某一定点

例17、已知直线，（1）若时，恒成立，求的取值范围；（2）若时，恒有，求的取值范围

四、到角、夹角
（1）到角公式
定义：两条直线和相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线绕交点按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，叫做到的角，
如图，直线到的角是， 到的角是
推倒：设已知直线方程分别是： ：.到的角是
① 若，即，那么
② 若，设、的倾斜角分别为，则
由图1）的，所以
由图2）的，
所以
于是
即 就是到的角的正切值，简称为到角公式
（2）夹角公式
定义：由（1）得，到的角是，所以当与相交但不垂直时，在和中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为，则，即为夹角公式
当直线时，直线与的夹角为
例18、等腰三角形一腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程

五、两条直线的交点坐标：
1、设两条直线分别为：，： 则与是否有交点，只需看方程组是否有唯一解
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
若方程组有无穷多解，则两直线重合

例19、求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程。

经过两直线与交点的直线系方程为，其中是待定系数，在这个方程中，无论取什么实数，都得到，因此，它不能表示直线。
2、对称问题
（1）点关于点的对称，点A(a，b)关于的对称点B（m，n），则由中点坐标公式，即B（） 。
（2）点关于直线的对称，点关于直线（A、B不同时为0）的对称点，则有AA’的中点在上且直线AA’与已知直线垂直。
（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出上任意不同于交点的已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点
的直线就是；若直线与对称轴平行，则在上任取两不同点、，求其关于对称轴的对称点、，过、的直线就是。
例题20、已知直线，试求①点P(4,5)关于的对称坐标；②直线关于直线的对称的直线方程。

例题21、求函数的最小值。

六、两点间的距离，点到直线间的距离
（1）两点间的距离：已知则
（2）点到直线的距离:
已知点，直线（A、B不同时为0），求点到直线的距离。
解法一：如图，作于点，设，
若A,BO,则由,得，
从而直线的方程为，解方程组得

容易验证当A=0或B=0时，上式仍然成立。
解法二：如图，设A0,B0，则直线与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线于R和S，则直线的方程为，R的坐标为（-）；
直线的方程为，S的坐标为（-），
于是有,
,。
设，由三角形面积公式可得.于是得
因此，点到直线的距离容易验证，当A=0或B=0时，上式仍成立。
注意:
①若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离；
②点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；
③若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时。
（3）两平行线间的距离。
定义；两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的距离。
两条平行直线与的距离公式
推导过程：设为直线上任意一点，则到的距离为，又因为在上，所以，即,所以。
注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x、y的系数分别相等。
例题22、求经过点A(-1,2)与B()的直线上一点C（5，n）到直线的距离。

例题23、求经过点A（1，2）且到原点的距离等于1 的直线方程。

例题24、已知三角形ABC中，点A（1，1），B（m，）（1<m<4），C（4，2）,求m为何值时三角形面积最大。

例题25、求过点P（1，2）且与A（2，3），B(4,-5)两点距离相等的直线方程。

作业：
1、设，则直线的倾斜角为（ ）

2、设P（x，y）是曲线C：上任意一点，则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
3、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点A(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是
A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤ C.≤k≤4D.－≤k≤4
4．过点P（6，－2）且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线的方程是
A． B．
C． D．
5、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
6、如图所示，直线l1：ax－y＋b=0与l2：bx－y＋a=0(ab≠0,a≠b)的图象只可能是( )

7、若三点A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一条直线上,则有 ( )
(A)a=3,b=5 (B)b=a+1 (C)2a－b=3 (D)a－2b=3

8、直线经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是 a
A. B. C.或 D.－

9.已知直线：A1x+B1y+C1＝0与直线：A2x+B2y+C2＝0相交，则方程λ1（A1x＋B1y＋C1）＋λ2（A2x+B2y+C2）=0,(≠0)表示 （ ）
A.过与交点的一切直线 B.过与的交点，但不包括可包括的一切直线
C.过与的交点，但包括不包括的一切直线 D.过与的交点，但既不包括又不包括的一切直线

10.方程(a－1)x－y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线 ( )
A.恒过定点(－2,3) B.恒过定点(2，3) C.恒过点(－2,3)和点(2，3) D.都是平行

11、过点(-1，)且与直线的夹角为的直线方程是（ ）
A、 B、
C、x+1=0或 D、
12、直线的倾斜角的取值范围是_________。
13、直线l的方向向量为（-1，2），直线l的倾斜角为
14、已知直线L过P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），则直线L的方程为 。
15、已知点在直线上，则的最小值为
16、△ABC的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：
（1）BC所在直线的方程; （2）BC边上中线AD所在直线的方程; （3）BC边的垂直平分线DE的方程.

17、求到两直线： 和 ：距离相等的点满足的方程
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