有线电视平台竞争从模式到付费模式.docx

电视平台竞争：从免费模式到付费模式

卢远瞩（Yuanzhu Lu）（通迅作者）

中央财经大学中国经济与管理研究院（China Economics and Management Academy, Central University of Finance and Economics），北京市海淀区学院南路39号中央财经大学中国经济与管理研究院，100081，x：010-62288397， Email: yuanzhuluxcufe.edux

张旭（Xu Zhang）

Department of Economics, University of California, San Diego, Email: xuz039xucsd.edu

通讯作者卢远瞩感谢教育部新世纪优秀人才支持计划（(No. NCET-11–0751)）的资助。我们感谢两位审稿人以及主编有价值的意见和建议，这些意见和建议对论文的修改和完善有很大的帮助，提升了论文的质量。感谢在第十届中国青年经济学者论坛（2010）以及山东大学经济学院高级经济学系列讲座（2012）报告本论文时与会人员对本文早期版本所提出的建议，感谢中央财经大学中国公共财政与政策研究院尹训东在论文修改过程中与通讯作者进行的讨论。当然文责自负。

电视平台竞争：从免费模式到付费模式

摘要：本文建立了一个电视台平台竞争的理论模型。电视台、厂商和观众之间通过一个三阶段博弈决定了电视台的广告数量、收视费用（付费模式下）和节目质量。本文对比了社会最优、免费模式以及付费模式的广告数量、节目质量和社会福利。研究表明：虽然付费模式下电视台向观众收取费用，但是节目质量仍可能低于免费模式并且总是低于社会最优水平。当广告给观众带来的干扰成本和电视平台之间差异程度都充分小或者都较大时，付费模式下的社会福利比免费模式下更高。

关键词：平台竞争 数字付费电视 节目质量

Platform Competition between Cable TV Stations: From Free-to-air to Pay-TV

Abstract：This paper presents a model of platform competition between two cable TV stations. TV stations, producers and viewers play a three-stage game, in which the equilibrium amount of advertising, subscription fees (in the pay-TV regime) and program quality are determined. This paper compares the amount of advertising, subscription fees and program quality between social optima, the free-to-air TV regime and the pay-TV regime. We find that although in the pay-TV regime cable TV stations charge subscription fees, equilibrium program quality in this regime may be lower than in the free-to-air TV regime and is always lower than the social optimum. When both nuisance cost and transport cost are small enough or big enough, the pay-TV regime is better than the free-to-air TV regime in terms of social welfare.

Keywords：Platform Competition, Digital Pay-TV, Program Quality

JEL Classification D43, L一三, M37

一． 引言
观看电视节目是人们普遍喜欢的娱乐方式。中央电视台2009年的一项研究表明，中国人平均每天花费2小时38分钟看电视；详见xchina.usc.edu/ShowArticle.aspx?articleID=2446&AspxAutoDetectCookieSupport=1。
索尼委托市场研究机构Harris Interactive实施的调查结果发现，2011年大约62%的美国人每天看3小时电视。详见xnews.xinhuanetx/tech/2011-12/02/c_122369797.htm。
电视作为人们充实自己、了解世界的重要渠道，已然成为当今世界最强有力的传媒之一，在人们的生活扮演着不可或缺的角色。
电视台有三个特点使得它成为我们感兴趣的研究对象。
首先，电视台的融资方式多样，这很有可能造成电视台选择不同的发展策略。按照收费渠道分类，电视台可以分为免费电视台和付费电视台。按照信号分类，电视又可以分为模拟信号电视和数字电视。数字电视从技术特征讲是指电视节目的采集、制作、编辑、播出、传输、接收的全过程都采用数字技术。与使用模拟信号的传统有线电视相比，有线数字电视具有画面清晰度高、音频效果好、节目容量大、抗干扰能力强的特点。有线数字电视除了可以向用户收取有线电视维护费外，还可以提供一系列的增值业务，比如付费电视频道、视频点播（VOD）、互联网接入、信息接入业务等（杨玉龙，2009）。在很多发达国家，在模拟信号电视时代就有了付费电视频道。随着数字技术的使用，很多模拟的付费电视改用数字播出，就成了数字付费电视（高岩，2004）。我国付费电视起步较晚，它是随着数字电视的发展而产生的。因此提到付费电视，指的都是数字付费电视。
免费电视台是指经营完全依赖广告收入的电视台。付费电视是一种与免费电视相对应的经营方式，电视台不仅有广告收入，而且还可以直接向观众收取一定的收视费用。
在我国，近年来电视广告收入不断上升，例如2008年电视广告经营额大约为900亿人民币，为传统媒体广告经营总额的53%(黄升民等，2010)。另一方面，2003年起广电总局开始推行有线电视从免费的模拟信号模式向数字付费模式进行整体转换，既给我国的广播电视行业带来了技术上的创新，又推动着传媒行业从模拟向数字、从免费到付费、从事业向企业的变革(龚海燕，2005)。本文研究的重点正是电视平台收费模式变化带来的影响。
其次，电视台处在两个市场的交汇处。在第一个市场，它向做广告的厂商出售观众的收视时间（广告市场）。在第二个市场，电视台相互竞争观众，通过向电视观众提供有吸引力的节目提高收视率（观众市场）。
在现实经济活动中也存在着一些类似的平台企业，这些平台企业向两边用户提供产品或服务，这些产品或服务促使了两边用户在该平台上达成交易。用户由买方和卖方组成，平台企业向它们制定不同的价格以使它们到平台上来交易（程贵孙等，2006）。我们把具有这种市场结构形态的市场称为双边市场( two-sided markets) ，运营平台则被称为“平台”(platform)。平台企业业务上面临着两边的竞争，不同的平台之间的竞争称为“平台竞争”(platform competition)。银行卡、购物中心、房屋中介、移动数据业务平台、软件操作系统、互联网、游戏平台、媒体（包括电视）等等产业都具有双边市场的特征。
双边市场具有交叉网络效应（cross network effects） 交叉网络效应是指两边用户之间的网络效应，并不是一边用户内部的网络效应。比如说操作系统用户内部的正的网络外部性，不属于交叉网络效应。Weyl (2010)给出了详细的解释。
。这种网络外部性主要取决于参与到平台上的另一边用户的规模。例如，支付卡系统要有足够多的持卡人和签约商家；游戏平台要有足够多的平台用户和游戏开发商。对于电视平台，厂商对电视广告的需求取决于有多少潜在的消费者收看节目，而观众对该电视节目的需求受到该电视台播放的广告规模的影响。这两个方向都存在交叉网络外部性（Anderson and Gabzewicz，2006）。
最后，与大多数双边市场不同，电视平台面临的网络外部性是不对称的。一方面，电视平台的观众越多，厂商在该电视平台做广告的激励越大；另一方面，与很多文献一样（比如Anderson and Gabzewicz，2006，Gabszewicz et al.，2004），本文假设观众厌恶广告，电视平台播出的广告越多，观众越感到难受。免费电视平台可以通过提高播放的广告数量来增加广告收入，然而这会损失一部分观众，潜在消费者数量的减少，反过来会促使厂商减少广告的投入从而降低平台的收入。对于付费电视平台来说，观众的流失还会进一步造成收视费用的损失。
我们基于有线电视台的盈利模式和双边市场的市场结构建立了电视平台竞争的理论模型。电视台的决策变量是广告数量、电视节目质量以及收视费用，厂商决定是否在平台上播放广告，观众选择收看哪个电视台的节目。本文分别在免费电视台框架下和付费电视台框架下分析电视平台竞争，主要回答了如下的问题：付费数字电视与传统的模拟信号电视相比，广告数量下降还是上升，节目质量改善还是恶化；付费电视的均衡收视费用如何决定；社会最优的广告数量和节目质量是多少；付费电视能否实现社会最优。

二． 文献回顾
存在很多研究广告的文献。Bagwell (2007)提供了一个全面的总结。
早先的文献，比如Steiner (1952)，Besen and Soligo (1973)，Beebe (1977)，Spence and Owen (1977)以及Doyle (1998)假定广告收入是固定的，并且没有进行福利分析。本文假设广告的收入是随着广告数量而变化的，并且考虑到了交叉的网络外部性对社会福利的影响。由于我们设定了双头的市场结构，所以无论是免费平台竞争还是付费平台竞争，都没有实现社会最优。我们比较了免费模式与付费模式下的广告数量和节目质量以及社会福利，并将两种模式下的广告数量和节目质量与社会最优水平进行了比较。
另外，我们的研究也与双边市场的文献密切相关。双边市场理论是近年来产业组织研究的热点问题之一，Armstrong (2006)， Caillaud and Jullien (2003)和Rochet and Tirole (2003，2006)对双边市场的研究具有开创性意义。Armstrong (2006)提出，一些运营平台将产品或服务供应商和消费者联系在一起，供应商和消费者都是平台的终端客户，平台只提供中介服务，而不生产或提供所交易的产品或服务。这些平台将供应商和消费者联系在一起，相对于双方直接交易大大降低了交易成本。供应商形成了平台的一条“边”，而消费者则构成了平台的另一条“边”。平台的拥有者既要解决著名的“鸡生蛋还是蛋生鸡”的问题(Caillaud and Jullien, 2003)，又要充当做市商的角色将供应商和消费者汇聚在一起。电视传媒市场与一般的双边市场（如信用卡市场）不同，做广告的厂商施加的外部性是负的；观众们被吸引到电视台并不是由于做广告的厂商，而是由于电视台提供的节目。这点使得电视市场具有一些独特的性质，比如不存在多重均衡（Anderson and Coate, 2005）。
Anderson and Coate (2005)是研究电视平台竞争的经典文献。本文的模型正是建立在Anderson and Coate (2005)的基础上。Anderson and Coate (2005)在节目类型固定的情况下将广告数量和收视费用内生化，重点讨论了社会最优、市场竞争和垄断三种情形下电视台对广告数量的选择。结论表明，市场竞争和垄断情况下的广告数量可能小于或大于社会最优，即使垄断的电视台也无法完全内生化广告带来的干扰成本。
我们在Anderson and Coate (2005)的基础上将节目质量引入电视台的决策范畴。内容丰富、画面清晰是付费电视与免费电视的重要区别。付费电视通过提高节目质量与免费电视竞争观众（从而竞争做广告的厂商），在研究免费模式到付费模式的转换时，需要把节目质量纳入考虑范围。我们假定厂商之间以生产产品的质量相区分，观众以偏好相区分，两个平台获得的均衡的广告数量取决于厂商产品质量的分布函数，也取决于观众偏好的分布。本文中平台既要决定广告数量、收视费用，又要选择节目质量。本文发现：虽然付费电视台向观众收取费用，但是节目质量仍有可能低于免费电视台并且总是低于社会最优水平。当广告给观众带来的干扰成本和电视平台之间的转换成本（差异程度）充分小或者都较大时，付费模式下的社会福利更高。
以Anderson and Coate (2005)的框架为基础的文章还有Peitz and Valletti (2008)，Crampes et al. (2005)以及Choi (2004)等。Anderson and Coate (2005)假设电视提供的节目类型固定，Peitz and Valletti (2008) 将模型扩展为内生决定广告水平和节目类型。Crampes et al. (2005) 比较了传媒市场的价格竞争和数量竞争。Choi (2004) 讨论了监管电视台的数量或者广告总量对社会福利的影响。另外，Wilbur (2008) 对广告需求价格弹性进行了经验分析，为Anderson and Coate (2005)的理论研究提供了证据支持。
考虑了电视节目质量的研究还不多见。Viecens (2006) 假设商品有高质量和低质量两种类型，消费者根据供应商的定价推测产品的质量从而选择是否购买。Stennek (2006)建立了一个鲁宾斯坦讨价还价模型，解释了高质量的节目往往伴随着排他性电视转播权的原因。Armstrong and Weeds (2007)同样将节目质量引入Anderson and Coate (2005)的模型，并在第二部分对于免费模式的处理上假定了市场份额固定。而我们的模型考虑了一个三阶段三个参与方（双头电视台、观众和厂商）的博弈，市场份额是由节目质量、广告数量、收视费用等共同决定的。
本文接下来的部分组织如下：第三部分建立了电视台平台竞争的基本框架，第四部分求解出社会最优的选择，第五部分求解出免费电视台竞争的均衡结果，第六部分求解出付费电视台竞争的均衡结果，第七部分比较了不同情形下平台选择的广告数量、节目质量和社会福利，第八部分给出了一个简短的结论。

三． 模型
(一) 平台
有线电视主要分为有线模拟信号电视和有线数字电视。我们假定所有用户都有收看电视节目的设备（如电视机、电视机顶盒等）。在传统的免费电视情况下，观众不能被排他性地收看节目，电视台不能直接向电视节目的观众收取费用（有线电视维护费为零）。免费电视平台唯一的盈利途径，是通过愿意在节目中插播广告的厂商提供广告费用。在数字付费电视情况下，电视台向观众收取一定的收视费用。电视台利用广告费用和收视费用（如果有的话）制作节目，吸引观众。观众在观看节目的同时，通过节目中插播的广告了解到产品，增加了购买产品的可能性，这正是厂商投放广告的动力。
在本文中，我们假设观众厌恶广告，这是一个合乎实际的假设。广告给观众造成的干扰，可以看作观众观看电视节目的部分价格（Gabszewicz et al, 2008）。
我们考察存在两家有线电视台的模型。平台，，只播放单一类型的节目。现实生活中存在许多只播放一类节目的数字电视台，如中央地理，中央戏剧，中央体育（付费），中央音乐，等等。或者，我们也可以视“节目”本身为一个“（子）平台”，只要一个电视台上节目之间的关联性不是太大。与其说观众在选择电视台，还不如说在选择节目。比如江苏卫视“非诚勿扰”，浙江卫视“中国好声音”，湖南卫视“我是歌手”，电视台或许只是一个节目的背书而已。
运用经典的Hotelling模型(Hotelling, 1929)，我们假定两个平台播放的节目类型分布在一条长度为1的线段的两端（平台1位于左端的0处，平台2位于右端的1处），每个平台只播放单一类型的节目，比如说平台1只播放体育类节目，平台2只播放音乐类节目。电视台允许厂商在节目中播放广告，平台的广告数量为，我们假设这个广告是同质的，每个广告对观众和平台产生的影响相同。电视台日常运营的成本假定为0，制作一个带有个广告且质量为（）的节目的成本为。考虑一个小时电视的制作成本。广告数量为n，每个广告的时长为t，假定每分钟广告的制作成本为；节目的制作成本为节目时长和节目质量的函数，为。为了分析的简单起见，假定，即节目制作成本是节目时间和质量的可分函数，其中单位时间的节目制作成本为。因此一小时带有广告的电视节目制作成本为。现实中的广告制作成本非常高昂但一般都是厂商支付，无需电视台承担，故。本文中我们另外假设。
平台对广告的供给和厂商对广告的需求共同决定了广告价格，付费平台向观众收取费用。因此，平台的利润可以表示为：
，其中表示平台的观众人数。
(二) 观众
有个潜在的观众，每个观众可以自主选择收看两个电视台的节目，但至多收看一个节目。短时间内，观众不可能收看一个电视台的同时收看另一个电视台的节目。
每个观众通过他们对节目类型的偏好相互区分，观众被一个描述偏好的参数刻画，它服从在区间上的均匀分布。表示观众最偏好的是位于左边的平台1的节目，表示观众最偏好的是位于右边的平台2的节目。
观众在观看节目期间一定会收看到广告。收看电视的观众以概率（关于的设定详见3.3节）愿意支付，以概率愿意支付0。由于观众会支付或者0，所以每个垄断厂商会以的价格出售产品（更低的价格不会诱发更多的消费）。厂商从交易中攫取了全部的剩余，因此观众没有获得信息收益，而只是获得了净观看收益。这里我们假定不收看电视的消费者不会购买广告所宣传的产品。或者，我们也可以把σ解释为收看电视的观众比不收看电视的消费者愿意以ω的价格购买广告所宣传的产品的概率多出的部分。
本文参考Anderson and Coate (2005)对观众效用函数的设定。如果观众不观看节目，则获得的收益为0。一个类型为的观众收看平台1的净观看收益为，收看平台2的净观看收益为，其中是描述人们收看不带广告的质量为的节目获得的收益；描述的是广告带来的干扰成本，是广告产生的负效用；描述的是转换成本，代表了两个平台的差异程度，越小，说明两个平台的差异度越小，平台对观众的竞争越激烈。
观众的效用函数总结为：
，如果选择平台1
，如果选择平台2
，如果不观看

观众通过决定是否观看节目以及观看哪个平台的节目最大化自己的效用。我们假设充分大，使得所有潜在的观众都选择观看节目。 本文假设每次插播的广告的时长较短，观众不存在换台的行为。

对选择两个平台无差异的边际观众的偏好参数为：
（1）
的观众选择平台1，的观众选择平台2。因此平台1的观众人数为，平台2的观众人数为。
(三) 厂商
有个垄断厂商，每个厂商至多生产一种新产品。厂商通过在平台中播放广告宣传新产品的价格和质量。我们假设厂商生产一单位产品的成本为0。
厂商可以不做广告，也可以只在一个平台上或在两个平台上都做广告，一个厂商在平台上至多播放一个广告。Reisinger (2004)考察了平台对厂商和观众的竞争。他发现广告水平与平台之间差异呈正相关，平台之间差异越小，竞争越激烈，均衡时的广告水平越低。Reisinger (2004)假设厂商只能在一个平台做广告，然而在现实生活中经常可以看到厂商会将广告投放到不同的电视台（只要这么做有利可图）。本文假定厂商可以选择不做广告，在一个平台做广告或者在两个平台做广告。
如果不播放广告，厂商的利润为0。厂商之间通过产品的质量加以区分，分布在区间（）上，累积分布函数为，概率密度函数为。产品质量越高，越有可能吸引观众购买。我们沿用Anderson and Coate (2005)的设定，假定观众以概率愿意支付，以概率愿意支付0。厂商预计到自己从一个观众那里得到的收益是，产品质量为的厂商通过在平台上播出广告而获得的利润是：
，其中表示平台的观众人数。
厂商如果不在平台上播放广告，它从平台上获得的利润就是0。对于是否在平台上做广告无差异的边际厂商是：。当时，在平台做广告的厂商数为。因此平台的广告数量为：
（2）
从而，当时，平台向厂商收取的单位广告费用可以表示为。令表示单位观众带给平台的广告收入，则：
（3）
我们假设是严格凹的，即，并且。很多常见的分布满足这个假设，比如说均匀分布，指数分布等。

四． 社会最优选择
社会总福利包括观众、厂商以及平台的福利。在所有观众收看节目的情况下，社会总福利可以表示为：

（4）
注意到两个平台的广告数量和节目质量可以影响社会福利，两个平台的收视费用差额通过影响来影响观众在两个平台之间的分布，因此也会影响社会福利的大小。接下来，我们求解社会最优的广告数量和、节目质量和以及收视费用的差额，上标s表示社会最优的情形。将（4）式分别对、、、和求导，得到社会福利最大化的一阶条件为：求导时应注意到（1）和（2）式所示的关系。

（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
其中等号在内点解时严格成立。

运用（5）式，（6）和（7）可以化简为：
（10）
（11）
（8）和（9）可以化简为：
（12）
（一三）
显然，如果，，故（10）和（11）式必须取等号，社会最优的节目质量为正。类似地，可以证明，如果，（12）和（一三）式必须取等号，社会最优的广告水平；如果，社会最优的广告水平为。
由于在社会最优时，，（5）式可以写为，并且满足，所以社会最优要求两个平台收取相同的收视费用，即。两个平台是对称的，所以收视费用一定相同，以减少观众的总转换成本。
因为，，所以。从（10）和（11）式（取等号）可以解出，经验证二阶条件成立，所以社会最优的节目质量为。我们将社会最优的广告数量、节目质量和收视费用总结成下面的命题。

命题1：当时，社会最优的广告数量为；当时，社会最优的广告数量为。社会最优的节目质量为，收视费用满足。

注意到社会最优的节目质量只与观众总数N以及节目制作成本参数μ有关，且与前者正相关，与后者负相关。这是因为，在我们的模型中，节目质量的边际成本为，它只与节目质量本身和节目制作成本参数有关，而社会最优时收视费用差额为零，两个平台提供的广告数量相等，每个平台的观众数量为N/2，节目质量提高给一个观众带来的边际收益为1，所以节目质量的边际收益（为N/2）只与观众总数有关。
社会最优的广告数量由广告数量的变动给社会带来的边际成本和边际收益相等决定。考虑广告数量增加的效应。此时观众收看广告的干扰成本增加了，这是广告数量增加的边际成本。更多的厂商做广告诱发了观众购买更多的产品，从而增加了厂商的总利润（不考虑广告费用，因为广告费用不影响社会福利），这是广告数量增加的边际收益。显然，越大，边际成本越大；和越大，边际收益越大。从而，最优广告数量与呈负相关，与和呈正相关。注意到边际成本与边际收益都与观众总数成比例，因此最优广告数量与观众总数无关。另外，因为社会最优时两个平台的观众人数相等，观众的总转换成本与广告数量的多少无关，因此社会最优的广告数量与转换成本参数无关。
社会最优的收视费差额为零。基于平台的对称性，在社会最优时，两个平台的节目质量和广告数量都相等，为了减少观众的转换成本，最优收视费差额必然为零。
五． 免费平台竞争
本部分我们讨论传统的免费电视台之间的平台竞争。因为免费平台不能向消费者收取收视费（），平台唯一的收入来源就是广告收入。
两个电视平台之间相互竞争观众，形成平台竞争。这个竞争过程可以用一个三阶段的博弈来描述。平台1和平台2、厂商和观众是参与人。第一个阶段，两个平台同时决定节目的质量。第二个阶段，两个平台同时决定广告数量。第三个阶段，厂商根据平台确定的广告水平以及平台吸引的观众人数决定是否在平台上投放广告；同时观众根据平台的节目质量以及广告数量决定收看哪个平台的节目：这样也就内生地决定了均衡的广告费用。广告对观众强加了一个负的外部性，观众对所在的平台具有正的外部性。我们需要求出均衡的广告数量和节目质量（），上标f表示免费平台竞争的情形。
我们用逆向归纳法求解这个博弈。
第三阶段，在广告数量和节目质量给定的情况下，（1）式（令）和（2）式是第三阶段均衡的结果。
第二阶段，平台选择广告数量最大化利润。
平台的利润函数为，其中表示平台的观众人数，。利润最大化的一阶条件为：
，， （14）
其中等号在内点解时成立。
当时，。由（3）式，，，因此，只要平台i的收视观众人数为正，就有，从而平台i选择的广告数量必为正，也就是说（14）式必须取等号。
取等号的（14）式可以等价地写为：
（一五）
（16）
注意到是的函数，从（一五）和（16）中，我们可以解出和，并且，。如果，从（一五）和（16）中可以求得，其中由决定。并且容易验证二阶条件成立。定义，则，所以可以由唯一地确定。
我们上面的分析假设了。下面我们证明在均衡时的确有。为此考虑博弈的第一阶段。
第一阶段，平台决定节目的质量使利润最大化，一阶条件为：
（17）
（一八）
（一五）和（16）式两端分别对求导并注意到和，得到
（19）
（20）
因为，，所以从（19）和（20）中我们可以得到。又因为成立，所以。
现在重新考察（17）和（一八）：
（17）
（一八）
因为，，结合（17）和（一八）的形式，均衡时一定有，即均衡的节目质量为
， （21）
平台收取的广告费用为。

我们把免费电视平台选择的均衡广告数量和节目质量分别总结在下面的命题2和命题3中。

命题2：均衡时免费电视平台一定会播放广告，每个平台的广告数量相同，，由决定。它与广告给观众的干扰程度负相关，与平台之间的转换成本正相关。

证明：我们只需证明命题的后半部分。这可以从函数的凹性直接得到。
□
直观地，当单位广告带给观众过多的负效用时，为了吸引观众留在平台上，平台会通过减少广告的数量来减少对观众的负外部性，广告数量的减少引起了广告费用的上升。如果转换成本减少，均衡的广告数量也会减少，导致广告费用上升。转换成本描述了两个平台的差异程度。减少，差异度降低，平台对观众的竞争更加激烈。平台通过降低广告数量吸引观众，因此均衡的广告数量下降，广告费用上升。

命题3：免费平台的节目质量与干扰成本负相关，与观众总数N正相关，并且当趋于无穷时，节目质量趋于零。
证明：从（21）式很容易看出，观众人数越多，免费平台的节目质量越高。为了得到免费平台的节目质量与干扰成本之间的关系，利用，将（21）式改写为，从而有，由于我们已经假设，所以，而，所以，节目质量与干扰成本负相关。
因为，我们有。
□
从电视台角度来看，如果（衡量广告负效用的参数）越大，为吸引观众留在平台上，电视台会降低广告数量（由命题2），这会降低总的广告收入。以利润最大化为目标的电视台同时也会通过降低节目质量的方式减少成本。
六． 付费平台竞争
我们接下来分析数字付费电视台之间的平台竞争。付费平台既可以向厂商收取广告费用，也可以向观众收取收视费用。我们需要求出均衡的广告数量，收视费用和节目质量（），上标p表示付费平台竞争的情形。
付费平台的竞争过程同样可以用三个阶段的博弈来描述。平台1和平台2、厂商和观众是参与人。我们把这个博弈归纳如下：
第一阶段：两个平台同时决定节目的质量。
第二阶段：两个平台同时决定广告数量和收视费用。
第三阶段：厂商和观众同时决定他们的行动：厂商决定是否投放广告，观众决定收看哪个平台的节目，由此决定均衡的广告费用。
我们用逆向归纳法求解这个博弈。
第三阶段，在广告数量，收视费用和节目质量给定的情况下，（1）式和（2）式的解是第三阶段均衡的结果。
第二阶段，在节目质量给定的情况下，平台选择广告数量和收视费用使利润最大化。
平台的利润函数为，其中表示平台的观众人数。利润最大化的一阶条件是：
， （22）
， （23）
注意，我们将（23）式写成等式，这是因为我们允许为负值。s为负表示电视台对观众给予一定的补贴。现实生活中存在这样的情形。山东大学经济学院的李长英教授给我们提供了一个例子。济南电视台都市频道开展了“敲门送惊喜”活动，电视台的工作人员走进小区，对正在收看都市频道的家庭送奖。

由于，，从而。利用这一关系以及（23）式，（22）式可以改写为：
（24）
若平台的广告数量大于零，上式中等号严格成立。
注意到，从而，当时，（24）式的左边为。因此，当时，均衡的广告数量为内点解，由决定；当时，均衡的广告数量为零。
从（23）式可以求出：
，。 （25）
从而有，。这说明，如果平台2的节目质量高于平台1的节目质量，平台2就会收取更高的收视费用。
第一阶段，平台选择节目的质量使利润最大化。将和代入（1）式，得到，从而，。从（25）式我们看到，，从而平台1和2的利润分别为
，。
平台1和2所选择的质量需要满足的一阶条件分别为
， （26）
。 （27）
从（26）和（27）求得，，应满足的二阶条件是，本文假设，所以二阶条件成立。数字付费电视提供的节目质量总是小于社会最优水平。在付费的情况下，平台在做出选择的时候不仅会考虑到观众对厂商的正外部性，也会考虑到广告对观众产生的负外部性，我们发现即使将这部分负外部性内部化，市场仍然失灵。
我们把付费平台竞争的均衡结果总结成如下的命题。
命题4：在付费模式下，如果，平台播放广告，均衡的广告数量为，由决定；如果时，平台不播放广告。付费电视平台选择的节目质量为，它总是低于社会最优水平。
最后，我们给出均衡时平台的广告费用和收视费用。如果，广告费用为，收视费用为。如果，广告数量为零，收视费。

七． 从免费电视到付费电视
我们现在来分析两个电视平台都从免费模式转变为付费模式时电视台提供的广告数量、节目质量以及社会福利会如何变化，并与社会最优水平进行比较。 当然，无需拿这两种模式下的社会福利与社会最优的社会福利进行比较。

(一) 广告数量
当时，无论是免费模式还是付费模式，电视台都提供相同数量的广告，记为（它满足）。因为，，所以，在免费模式下，随着干扰成本的增加，广告数量单调减少，当干扰成本非常大时广告数量趋于零；在付费模式下，当时，广告数量（由决定）与干扰成本负相关；当时，广告数量为零。注意到当时，，。因此，（1）当两个平台的差异较小时（），当很小时，免费模式下电视台的广告数量随着的增加而下降的速度快于付费模式下，而当很大时，免费模式下电视台的广告数量大于付费模式下。因此，免费模式下电视台的广告数量可能大于付费模式下也可能小于付费模式下；根据连续性，在取某一特定值时两种模式下电视台选择的广告数量相等。（2）当两个平台差异较大时（），当很小时，免费模式下电视台的广告数量随着的增加而下降的速度慢于付费模式下，而当很大时，免费模式下电视台的广告数量大于付费模式下。可以证明，当时，免费模式下电视台的广告数量总是大于付费模式下。用反证法来证明：假定。我们有，，：第一个不等式是因为的增加会导致广告数量的减少，第二个不等式是因为的严格凹性，第三个不等式是因为说明还处于单调增加的阶段。从而， ，这与矛盾。

如果，社会最优的广告数量；如果，免费电视台的广告数量。由于和是的单调减函数，所以我们得出社会最优的广告数量和免费电视台广告数量之间存在如下关系：当干扰成本很小时，免费平台的广告数量低于社会最优；当干扰成本较大时，免费平台的广告数量高于社会最优。
接下来比较付费平台均衡的广告数量和社会最优的广告数量。当时，社会最优的广告数量为，从而。又因为，所以。在我们假设为严格凹函数的条件下，有。我们得到如下结论：如果，付费平台的广告数量和社会最优数量都为零；如果，付费平台的广告数量和社会最优的数量都为正，前者小于后者。
我们将以上讨论的结果用图1表示出来，并总结在命题5中。

[此处插入图1]

命题5：付费模式下电视台提供的广告数量可能高于也可能低于免费模式下。免费模式下的广告数量总是为正，可能高于也可能低于社会最优水平；而付费模式下的广告数量总是低于社会最优水平，除非均衡广告数量和社会最优水平均为0。

付费模式与免费模式的区别在于电视台在付费模式下除了有广告收益外还有收视费收入（或补贴，如果收视费为负）。在付费模式下，当两个电视台的差异较小（即转换成本较小）且广告的干扰成本较小时，电视台为了争夺观众会向电视观众提供补贴（收视费为负），在此种情况下，电视台所选择的广告数量高于免费模式；在其他情况下，电视台向电视观众收取的收视费为正，广告数量低于免费模式。
免费模式下的广告数量在广告的干扰成本较小时低于社会最优水平，这是因为社会最优要求大多数厂商都做广告（此时，生产较高质量产品的厂商做广告的社会收益超过社会成本），而免费模式下广告费的存在限制了愿意做广告的厂商数量；相反，免费模式下的广告数量在广告的干扰成本较大时高于社会最优水平，这是因为社会最优要求少数厂商都做广告甚至要求所有厂商都不做广告，而免费模式下电视平台总会提供一定数量的广告以收回节目制作成本并赚取一定的利润。
付费模式下的广告数量低于社会最优水平，其原因可分两种情况讨论。在收视费为负时（注意此时广告的干扰成本小），其原因与上一段讨论中提到的在广告的干扰成本较小时免费模式下的广告数量低于社会最优水平的原因相同；而在收视费为正时，付费模式下电视台提供的广告数量低于免费模式，收视费的存在使得电视台提供广告的激励减弱。而且，当社会最优的广告数量为零时，付费模式下电视台也不会提供广告，这是因为广告的社会收益超过社会成本，电视台通过收取更高的收视费比既收取收视费又收取广告费能获得更多的利润。（与此相反，免费模式下电视台会提供广告的原因是它不能收取收视费。）

(二) 节目质量
社会最优的节目质量为，免费模式下电视平台均衡的节目质量为，付费模式下节目质量为。因此，付费模式下电视平台的节目质量总是低于社会最优。当时，免费模式下电视台的节目质量为。随着的增加，付费模式下电视台的节目质量降低，并且当非常大时，节目质量接近零。因此，当两个平台之间的转换成本较小时（），随着转换成本的增加，免费模式下平台的节目质量一开始高于社会最优和付费模式下，然后下降到介于两者之间，最后下降到低于付费模式下；当两个平台之间的转换成本居中时（），免费模式下平台的节目质量一直低于社会最优，随着转成成本的增加，免费模式下平台的节目质量首先高于付费模式下，后来低于付费模式下；当两个平台之间的转换成本很大时（），免费模式下平台的节目质量低于社会最优，也低于付费模式下。
我们将以上讨论的结果用图2表示出来，并总结在命题6中。
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命题6：付费模式下电视台的节目质量可