数理统计题目.doc

1.已知维尼纶纤维在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048，从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44，问这一天纤度的总体标准差 否（是/否）正常。
解：这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原选择和备择假设分别为
VS
此处n=5，若取显著性水平=0.05，查表知（4）=0.4844,（4）=11.1433，故拒绝域为W={}，由样本数据可计算得到

因此拒绝，认为这一天纤度的总体标准差不正常。
2.设总体X~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y= 服从 分布,参数为 .
【解】i=1,2,…,15. 那么

且与相互独立,
所以

所以Y~F分布，参数为（10,5）

3.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.
【解】因此np=
所以p的矩估计量
4.设^θ(X1,X2,…,Xn)是θ的估计量，若_________，则称^θ为θ的无偏估计量，否则称为θ的有偏估计量。
【解】 对一切θ∈Θ，E(^θ)=θ
5.设总体为均匀分布U(0, θ )，X1 , …, X n是样本，考虑检验问题 H0：θ ≥ 3 vs H1：θ < 3， 拒绝域取为W = { x (n)≤ 2.5}，若要使得该最大值α不超过 0.05，n至少应取____.
答案为17

6． 从一批电子元件中抽取 8 个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）：
1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，
试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计．
解：平均寿命μ 的矩估计μˆ = x =1143.75；标准差σ 的矩估计μˆ = s* = 89.8523．
7.设随机变量X的概率密度为：，其中未知
参数，是来自的样本，求的矩估计；
解： ，
令，得为参数的矩估计量。
8.
设总体，且是样本观察值，样本方差，
求的置信水平为0.95的置信区间；

解：的置信水平为0.95的置信区间为，即为（0.9462，6.6667）；
9. 设为取自总体的样本，对假设检验问题，在显著性水平0.05下求拒绝域
解：
拒绝域为
10.设是来自正态分布的样本，在已知时给出的一个充分统计量；
解：在已知时，样本联合密度函数为
令，取
由因子分解定理，为的充分统计量。

11.设总体，且是样本观察值，样本方差，已知，求的置信水平为0.95的置信区间；（，）。
解：=；
由于是的单调减少函数，置信区间为，
即为（0.3000，2.1137）。
12.以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数
149 156 160 138 149 153 153 169 156 156

则这批数据构造经验分布函数 {

解：此样本容量为10,经排序可得到有序样本

则经验分布函数为
{

13. 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差，则样本所有偏差之和为______.
解：0
14. 若统计量T是充分统计量，统计量S与统计量T一一对应，则_____________________.
解：统计量S也是充分统计量
15. 设是取自总体的一个样本，是未知参数，则_____（是，否）是统计量.
解：统计量不含有未知量
16. 样本均值的相合估计是_______________，样本标准差的相合估计是____________.
解：样本均值的相合估计是总体均值,样本标准差的相合估计是总体标准差.
17. 设总体X的概率密度为

其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。
解：设似然函数
对此式取对数，即：
且
令可得，此即的极大似然估计量。
18.设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. 检验假设（显著性水平为0.05）.
（附注）

解：的拒绝域为.
，
因为 ，所以接受.
19.设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度kg/cm2服从正态分布. 从中选取一个容量为9的样本, 得 kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2 ().
解： H0：u=800.
采用统计量U=
其中σ=40, u0=800, n=9,
，查标准正态分布表得=1.96
|U |=,
| U |<, 应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2.
20. 已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数，样本方差S 2＝0.0169。若总体方差没有变化，即σ2＝0.121，问总体均值μ有无显著变化？（α＝0.05）

解：原假设H0：μ＝4.55
统计量，当H0成立时，U服从N（0，1）
对于α＝0.05，U0.025=1.96

故拒绝原假设，即认为总体均值μ有显著变化