结构动力学第三章单自由度体系的振动.doc

如有你有帮助，请购买下载，谢谢！

第 3章 单自由度体系的振动

在结构动力学中，单自由度体系的振动是最简单的振动，但这部分内容又十分重要，因
为从中可得到有关振动理论的一些最基本的概念和分析问题的方法， 同时它也适用于更为复 杂的振动问题，是分析多自由度体系振动问题的基础，因此搞清楚了单自由度体系的振动， 将有助于我们提高分析和解决其他各种振动问题的能力。另外在实际工程中，确实有许多振
动问题，可简化为单自由度问题，或近似地用单自由度理论去分析解决。
本章按有阻尼和无阻尼体系研究自由振动，强迫振动，对弯曲振动做详细讨论，简要陈
述剪切振动和旋转振动。
单自由度体系可按如下情况对振动进行分类：

预备知识

①齐次微分方程： y + w2 y = 0 的通解： y(t) = C1cos wt + C 2 sin wt ，其中 C1, C2 : 分常 微
数，由初始条件确定。
¶y (x,t )

② y(t) =
¶t
= -wC1sin wt + wC2 coswt

③ eix = cos x + i sin x

④单质点体系一般振动形式：
去掉阻尼 cy 和外力 P(t) 影响，即可得到无阻尼体系自由振动。
⑤ y + w2 y = P(t) 的解为 y + w2 y = 0 的通解，加上 y + w2 y = P(t) 的特解组成。

通解： y1 = Asin(wt + j)

特解： y2 =
1
ò
t
F (t )sin [w(t -t )]dt

w
0

解为通解 + 特解：

⑥如果杆件的刚度为
3EI


EI ，则两端刚结的杆的侧移刚度为 12EI ；一端铰结的杆的侧移刚度
l3

为 3。 l

§3.1 无阻尼体系自由振动

图 3.1(a)所示为无阻尼、单自由度的悬臂梁体系，取出质量隔离体，在其上施加惯性力
- my& ，如图 3.1(b)所示，由 å y = 0 得： &

30 页

设：

式中:
w ——质点振动圆频率


my + ky = 0

k
w=
m

(a)
如有你有帮助，请购买下载，谢谢！

（3.1）

（3.2）

(b)

将式（3.2）代入式（3.1） ，得：
整理得：
图 3.1 无阻尼单自由度体系

y + w2 y = 0


（3.3）

式（3.3）为齐次微分方程，其通解为:
y(t) = C1cos wt + C 2 sin wt （3.4a）
式中， C1, C 2 : 任意常数，由初始条件确定。
任一瞬时的速度：

设， t = 0 时：

将式（3.5a）代入式（3.4a）则：

将式（3.5b）代入式（3.4b）则：
y(t) = -c1w sin wt + c2w cos wt

y(0) = y0
y(0) = u0

Þ C1 = y0
（3.4b）

（3.5a）
（3.5b）

（3.6）

将式（3.6）和（3.7）代入（3.4a） ，得

Þ C2 = u0
w


（3.7）

y(t) = y0 cos wt + u0 sin wt （3.8）
w
则本问题的解为:

位移：

速度：

式（3.8）还可以表示为：

y(t) = y0 cos wt + u0 sin wt
w

y(t) = - y0w sin wt +u0 cos wt


（3.8）

（3.9）

31 页

如有你有帮助，请购买下载，谢谢！

é ù

y=
ê
y02 + æ u0 ö ê 2ê

y0


coswt +
u0
w
ú

çw÷
è øê
æ u ö2
æ u0 ö2
sin wt ú
ú
（3.10a）

ê y0 è w ø 2 +ç 0 ÷
y0 2 + ç ÷
ú

令：
ë

y0


= sinj
èwø

u0
w
ûú

= cosj


（3.10b）

y02 + æ u0 ö
2
2

èø çw÷
y02 + æ u0 ö

代入（3.10a）得到一种更为简练表达方式：
çw÷ èø

y = A(sin j cos wt + cos j sin wt) （3.11a）

即：
ì
ï y = Asin(wt + j)
ï

íï A = y 2 + (u0 )2
0
（3.11b）

ï
w

ïïj = tan-1 y0w

î
v0

绘制成图形，得到图 3.2 所示的 y - t 关系正弦曲线。
图 3.2 无阻尼单自由度体系振动位移- 时间曲线

由图 3.2 可要看出，初相位 y0


t =0
= A(sin j cos0 + cos j sin0) = Asin j ，结构振动的

位移是按正弦（或余弦）规律在静力平衡位置附近，上、下变化着，凡是满足这种关系的振
动，称为简谐振动，简称谐振动。
下面简要介绍和谐振动相关的一些物理量
1.周期和频率
结构重复出现同一种运动状态（包括位移、速度等）的最短时间称之为周期。用符号T
表示，单位为（ s ） 。
单位时间振动次数称之为频率。用字母 f 表示，单位为（ Hz ） 它与周期T 的关系为： ，
f=1 （ Hz ） （3.12a）
T
如果时间单位取 2p (s ) 此时的振动次数称为圆频率，常用符号 w 表示，其单位是 ，

rad / s 因为其单位与角速度的单位相同， 因而也称为角频率。 频率w 与频率 f 及周期T 的 角
关系为：

T = 2p
w
f=w
2p

32 页


（3.12b）