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简谐振动中的能量分析法

物理二班 刘少承 PB04203210
简谐振动是最简单的振动形式，我们可以用简明而完备的公式表示它的运动。
如图，物体系在弹性系数为 k 的弹簧一端；弹簧的另一段及在固定的物体上，
选取 x 轴，以平衡位置 o 为原点，则振子的运动方程为
mx(2)=-kx

令 w2=k/m

则解为 x=Acos (w t+j ) 。。。 1） 。。（
其中 A, j 为待定常数，可由初始条件确定。这种运动就是简谐振动。
(1) 式为简谐振动的方程，则 t 时刻振子的状态量为
x=Acos(w t+j )
v=dx/dt=-Awsin((w t+j )

则 动能 Ek=mv2/2=m(Aw sin(w t+j ))2/2=k(Asin(w t+j ))2/2

t 弹性势能 Ep=kx2/2=k(A cos(w t+j ))2/2= k(Asin(w t+j ))2/2
总能量为 E=Ek+Ep=kA2/2
所以，简谐振动中系统能量是守恒量。
分析简谐振动中物体的运动状态是，能量守恒常常是一种有效的方法。
例 1：
质量为 m，半径为 r 的均匀实心球体，可以在以半径为 R 的球形碗底部作纯滚动，求圆
球在平衡位置附近微小振动的周期。
分析：首先分析的是小球在碗底做运动的性质和受力情况。小球受到如图的重力 mg,碗底
对球的弹力 N，摩擦力 f，f 的作用使角速度减小，mg 在切向的分量逐渐增大，回复力增大，
使小球最后达到最高点时质心速度为零，同时角速度为零。

解 1：此题可用动力学方程来解。

设小球离开平衡位置的距离为 x,
则 x=(R-r)q (2)
小球作纯滚动：

f=I b (3)

a=r b （4）

I=2mr2/5 (5) 例 1 图：
小球受到的外力为 f-mgsinq =ma (6)
由 q 很小 sinq » q (7)
由 （2）（3）（4）（5）（6）（7） 得 ，，，，，，
ma= -5mgx/7(R-r)= -kx
\k=5mg/7(R-r)
\T=2p m / k =2p 7(R - r) / 5g

解 2：小球在运动中能量守恒，此题可用能量法来解。

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由于小球作纯滚动，摩擦力不做功，故机械能守恒。
E=mv2/2+Iw 2/2+mg(R-r)(1-cos mg(R-r)(1-cosq ))=常量
小球的质心速度 vc 和转动角速度w 分别为
dq

vc=(R-r) dt
dq

w =((R-r)/r) dt
代入 E 的表达式得

E=m((R-r)
dq )2+mr2( dq (R-r)/r)2+ mg(R-r)(1-cosq ) =常量

Q
q 很小，cosq » 1- qdt/2

\E=7(R-r)2
dt
2
q (2)/5+g(R-r) q 2 =常量
（其中的代表二阶导数）

对 t 求导，得
7(R-r)2 dq q (2)/5+g(R-r) q dq =0

即 q (2)dt q /7(R-r) =0 +5g
dt

T=2p /w =2p / 7(R - r) / 5g

小结:用能量法也可方便的接出简谐振动的全过程。

例 2：在横截面为 s 的 U 形管中有适量液体，总长度为 L,质量为 m，密度为 d,求液面上下

起伏的振动频率？

分析：此题的液体是分散的，可用能量法来解决。

如图，选两液面相平处的平衡位置为坐标原点，令平衡位置处的液体势能为零。
在 t 时刻，左边液面为一升高为 y，此时右边液面为一降低为 y，液体的势能可以看成是把
右边的液体提升到左边增加的势能。 液体的质量为 yds,提升为 y,所以液体的势能为 dy2sg, 这段
因液体的体积不变，液体的动能为

Ek =my(2)/2
由于液体振动过程无能量损失，
有 my（2）/2+dy2sg=常量
上是对 t 求导，得
y（2） +2dsgy/m=0
\液体作简谐振动

\ w = 2dsg / m ，

T =2p /w =2

Q m=dLs


p


m / 2dsg

\ T=2p L / 2g

\ f=1/T= 2g / L /2 p

结论：使用能量法从整体上分析物理过程的变化，从而省去与结论不相关的繁琐过程量，

简化解题过程，往往能大大化简解题过程。

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