计算方法试题.doc

《计算方法》答案
一、 判断题(下列各题，你认为正确的，请在括号内打“√”，错的打“×”,每题2分，共12分)
1、任何近似值的绝对误差总是大于其相对误差 （×）
2、3步Adams隐式法比4步Adams显式法的绝对稳定性要好。 （√）
3、在任何情况下，求解线性方程组时，Sidel迭代法总是优于Jacobi迭代法。 （×）
4、设，若，，则，其中
， （√）
5、给定个数据点，则至多构照次最小二乘多项式 （√）
6、数值求积公式的代数精确度越高，计算结果越可靠。 （×）

二、 填空题(1、2、3小题每空1分，其他题每空2分,共20分)
1、设是一个的矩阵，是一个的矩阵，是一个的矩阵，是
一个的矩阵,根据矩阵乘法结合率，可按如下公式计算
（1） （2）
则公式（1）效率更高，其计算量为1240flops。
2、设数据的相对误差限分别为和，那么两数之商的相对误差限为 0.055。
3、 设，则4，5，，4，4。
4、计算的割线法迭代公式为
5、求解初值问题的改进后的Euler公式为 。
6、将正定矩阵作分解，则
7、解线性方程组的Seidel迭代格式是
。
8、用HouseHold矩阵H将矩阵化为上三角阵R,则

H=, R=
三、(14分)设线性方程组的矩阵,证明对此矩阵Jacobi迭代法发散而Seidel迭代法收敛。
解：（1）

所以Jacobi迭代法发散
（2）
解得，
所以Seidel迭代法收敛

四、（12分）为次多项式，已知，，且的所有三阶向前差分均为1。
（1） 以为节点建立的阶Newton向前差分插值多项式，并求
（2） 求和的系数。
解：因为的所有三阶向前差分均为1，所以其四阶以上向前差分均为0，可知
向前差分表为
x 0 1 2 3
y 2 -1 4 ？
一阶差分 -3 5 ？
二阶差分 8 ？
三阶差分 1
由于所有三阶向前差分均为1，所以所有四阶向前差分均为0，因此

由
因为，所以，所以
，所以,的系数为。

五、（8分）用复合梯形求积公式计算的近似值和，并使用外推法外推一次，得到更精确的近似值。
解：

外推

六、（6分）迭代公式收敛于，计算出此公式的阶。
解：

此公式的阶为4

七、（8分）已知一组数据表如下：

-2
-1
0
1
2

2
1
0
1
2
试用最小二乘法求形如的四次拟合曲线。
解：，，

解得，，
四次拟合曲线为

平方误差为
八、（8分）求、、和使得数值积分公式

的代数精确度尽可能高，并给出其最大代数精确度。（8分）
解 ：时
（1）
时
（2）
时
（3）
时
（4）

由（1）（2）（3）（4）解得

即
当时

此公式代数精确度为3

九、（10分）证明初值问题

的计算公式

是三阶方法。

证明：将所有公式在处展开

局部截断误差为

局部截断误差为的同阶无穷小，所以此方法是3阶的。
误差主项为