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两种群间的相互竞争

摘要
本文针对两种群间的竞争问题作了详细的论述，主体分为两部分，第一部分主要通过理论分析的方法来阐述模型，第二部分主要利用MATLAB通过数值分析的方法从另一个角度来阐述模型，两个部分相辅相成，从不同的角度对同一个模型进行分析，并在最后得到一致的结果。另外本文在第一部分主要以理论的方式对模型进行数学上的描述，在第二部分主要以生物间的角度对模型进行描述，与此同时对第一部分作一个总结。

关键词： 稳定性 平面动力系统 增广相空间 轨线

一、问题提出
两种群竞争模型很好的描述了种群间的各种关系，而如果从发展的眼光来看待问题，我们不禁对两种群在未来很长一段时间内的状态产生兴趣，换句话说，我们要研究的是在无穷远的将来，两个种群的数量变化关系，这对我们进一步研究生物学的各种问题是有意义的。
二、基本假设
假设1： 有甲乙两个种群，它们独自生存时的数量变化服从Logistic规律。
假设2： 两种群一起生存时，乙种群对甲种群增长的阻滞作用与乙种群的数
量成正比，甲种群对乙种群增长的阻滞作用与甲种群的数量也成正比。

三、问题分析
根据“假设1”，我们容易得到方程组如下
（1）
其中，分别为甲乙两种群随时间变化的数量；，为它们的固有增长率；和为环境允许条件下，甲乙两种群的最大数量。
再由“假设2”，对方程组（1）变形，我们得到方程组如下
（2）
其中的含义是，对于供养甲种群的资源而言，单位数量乙（相对于）的消耗为单位数量甲（相对于）消耗的倍；的含义是，对于供养乙种群的资源而言，单位数量甲（相对于）的消耗为单位数量乙（相对于）消耗的倍。
我们所要研究的问题是当时，与的极限状态，即稳定性，这是本文的第一步，即通过理论方法予以研究。由于方程组（2）不存在解析解，因此我们只能求出它的数值解，并利用MATLAB中先画出增广相空间中的积分曲线，然后画出相空间中的轨线（即积分曲线沿轴在相空间中的投影），进一步支持上述的理论研究，这是本文的第二步。
四、模型的建立与求解
第一部分：理论分析
现在我们回过头来看方程组（2）

可以看到，常微分方程组不显含自变量，因此方程组是自治的，现在我们令
（3）
易知，和在平面上连续，并且

也在平面内连续，因此与满足Lipschitz条件，这就保证了柯西问题解的存在唯一性。因此易见，方程组（2）描绘的是一个平面上的动力系统。
方程组（2）作为一个平面上的动力系统，它不具有解析解，造成这个现象的主要原因是方程组（2）的右端非常系数且非线性。为了使分析得以进行下去，我们有必要对方程组（2）的右端做一些改变，其中一个想法就是将非线性的函数近似线性化，因为平面线性动力系统的理论已经比较完善，并且较易于判断稳定性。接下来我们将这一过程用数学语言描述出来。
首先，对方程组（2）的右端在奇点处进行二元函数的泰勒展开（取一阶），将右端近似线性化，如下

（4）
其中

方程组（4）是去掉高阶项后近似线性化得到的。现在可以将方程组（2）写成如下向量矩阵的形式
（5）
其中

经过简单的计算，我们将（5）写成如下形式
（6）
现在令
（7）
（8）
根据常微分方程的理论知，当且时，奇点是稳定的，当时奇点是不稳定的。现在我们来求出方程组（2）的所有奇点，具体如下
令
得到四个奇点以并利用（7）和（8）算得相应的值和值如下
<1>.奇点

<2>.奇点

<3>.奇点

<4>. 奇点

首先由模型可知，参数、、和都是大于的。
现在我们开始来逐个分析四个奇点，先来讨论<1>.根据常微分方程稳定性理论，，因此奇点是不稳定的。换句话说，两种群是不可能同时灭绝的。
其次来讨论<2>.
令

这说明在的条件下，奇点是稳定的。换句话说，在的条件下，甲种群达到环境所允许的最大数量，乙种群最终会灭亡。
接下来讨论<3>.
令

这说明在的条件下，奇点是稳定的。换句话说，在的条件下，乙种群达到环境所允许的最大数量，甲种群最终会灭亡
最后来讨论<4>.
令

这说明在的条件下，奇点是稳定的。换句话说，在的条件下，甲乙两种群都会存活下来，它们是以相互依存的方式生存下去的。
现在理论分析告一段落，我们接下来进行下一步：数值解法。

第二部分：数值解法
根据第一部分的理论分析，我们在这里根据第一部分的结果，分别给出不同、条件下的数值解。在分情况之前，需对模型中的其他参数给定一个初值，这样更有利于我们接下来的分析，现作如下规定：，，初值，接下来我们开始分情况讨论。
情况（一）：
利用MATLAB，编写M文件如下
function aaa=bbb(t,x)
r1=1;r2=1;n1=1000;n2=1000;s1=0.5;s2=2;
aaa=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-x(2)/n2-s2*x(1)/n1)])*x;
然后在命令窗口输入如下命令（这里用5级4阶Runge-Kutta-Fehberg公式，并描绘从第0年到第50年的变化趋势）
>> ts=0:0.1:50;
>> x0=[50,50];
>> [t,x]=ode45(@bbb,ts,x0);
>> plot(t,x),grid,
>> gtext('\fontsize{20}x(t)'),gtext('\fontsize{20}y(t)')
得到增广相空间中的积分曲线如下（蓝色是，绿色是）

继续在命令窗口中输入如下命令
>> pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
>> xlabel('x'),ylabel('y')
>> gtext('\fontsize{20}y=y(x)')
得到相空间中的轨线如下

可以看到，对应于理论分析中的<2>. 这很好的验证了之前的理论分析，并且可以看出，在第10年左右的时候甲种群趋于环境所允许的最大数量，而乙种群趋于灭亡。

情况（二）：
修改M文件如下
function aaa=bbb(t,x)
r1=1;r2=1;n1=1000;n2=1000;s1=1.9;s2=0.4;
aaa=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-x(2)/n2-s2*x(1)/n1)])*x;
保存后直接执行如下命令
>> [t,x]=ode45(@bbb,ts,x0);
>> plot(t,x),grid,
>> gtext('\fontsize{20}x(t)'),gtext('\fontsize{20}y(t)')
得到增广相空间中的积分曲线如下（蓝色是，绿色是）

继续在命令窗口中输入如下命令
>> pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
>> xlabel('x'),ylabel('y')
>> gtext('\fontsize{20}y=y(x)')
得到相空间中的轨线如下

可以看到，对应于理论分析中的<3>. 这很好的验证了之前的理论分析，并且可以看出，在第10年左右的时候乙种群趋于环境所允许的最大数量，而甲种群趋于灭亡。

情况（三）：
修改M文件如下
function aaa=bbb(t,x)
r1=1;r2=1;n1=1000;n2=1000;s1=0.8;s2=0.7;
aaa=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-x(2)/n2-s2*x(1)/n1)])*x;
保存后直接执行如下命令
>> [t,x]=ode45(@bbb,ts,x0);
>> plot(t,x),grid,
>> gtext('\fontsize{20}x(t)'),gtext('\fontsize{20}y(t)')
得到增广相空间中的积分曲线如下（蓝色是，绿色是）

继续在命令窗口中输入如下命令
>> pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
>> xlabel('x'),ylabel('y')
>> gtext('\fontsize{20}y=y(x)')
得到相空间中的轨线如下

可以看到，对应于理论分析中的<4>. 这很好的验证了之前的理论分析，并且可以看出，两个种群一直保持相互依存的关系，由于，所以乙种群的数量一直大于甲种群的数量。

情况（四）：
修改M文件如下
function aaa=bbb(t,x)
r1=1;r2=1;n1=1000;n2=1000;s1=1.28;s2=1.3;
aaa=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-x(2)/n2-s2*x(1)/n1)])*x;
保存后直接执行如下命令
>> [t,x]=ode45(@bbb,ts,x0);
>> plot(t,x),grid,
>> gtext('\fontsize{20}x(t)'),gtext('\fontsize{20}y(t)')
得到增广相空间中的积分曲线如下（蓝色是，绿色是）

继续在命令窗口中输入如下命令
>> pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
>> xlabel('x'),ylabel('y')
>> gtext('\fontsize{20}y=y(x)')
得到相空间中的轨线如下

可以看到，在条件下，甲乙两种群先相互竞争，但是由于，因此甲的竞争力大于乙，从图中可以看到，在第45年左右时，甲种群最终会获胜并趋于环境所允许的最大容量，而乙种群会趋于灭亡。同时，另一方面，这种结果是在理论分析中无法得到的，这也是我们进行数值分析方法的另外一个原因。

情况（五）：
修改M文件如下
function aaa=bbb(t,x)
r1=1;r2=1;n1=1000;n2=1000;s1=1.33;s2=1.25;
aaa=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-x(2)/n2-s2*x(1)/n1)])*x;
保存后直接执行如下命令
>> [t,x]=ode45(@bbb,ts,x0);
>> plot(t,x),grid,
>> gtext('\fontsize{20}x(t)'),gtext('\fontsize{20}y(t)')
得到增广相空间中的积分曲线如下（蓝色是，绿色是）

继续在命令窗口中输入如下命令
>> pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
>> xlabel('x'),ylabel('y')
>> gtext('\fontsize{20}y=y(x)')
得到相空间中的轨线如下

可以看到，在的条件下，甲乙两种群先相互竞争，但是由于，因此乙的竞争力大于甲，从图中可以看到，在第35年左右时，乙种群最终会获胜并趋于环境所允许的最大容量，而甲种群会趋于灭亡。同时，另一方面，这种结果是在理论分析中无法得到的，这也是我们进行数值分析方法的另外一个原因。
五、参考文献
[1]姜启源等 《大学数学实验》（第2版） 清华大学出版社 2010年12月
[2]丁同仁等 《常微分方程教程》（第2版）高等教育出版社 2004年07月