高数重点知识.docx

第一讲 极限、无穷小与连续性
一、知识网络图

二、重点考核点
这部分的重点是：
①掌握求极限的各种方法．
②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．
③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）．
④复合函数、分段函数及函数记号的运算．
§1 极限的重要性质
1．不等式性质
设，且A＞B，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞yn．
设，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥yn，则A≥B．
作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设，且A＞0，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞0．设，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥0，则A≥0．
对各种函数极限有类似的性质．例如：设，且A＞B，则存在δ＞0，使得当＜δ有f（x）＞g（x）．设，且存在δ＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）≥g（x），则A≥B．
2．有界或局部有界性性质
设，则数列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M（n = 1，2，3，…）．
设则函数f（x）在x = x0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时有｜f（x）｜≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论．
§2 求极限的方法
1．极限的四则运算法则及其推广 设，则

只要设存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“”，“”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设，则.（）又B≠0，则．2°设，当x→x0时局部有界，（即，使得时），则 ．
设，当x→x0时｜g（x）｜局部有正下界，（即$δ＞0，b＞0使得0＜｜x － x0｜＜δ时｜g（x）｜≥b＞0），则 ．
3°设，，则，又$δ＞0使得0＜｜x － x0｜＜δ时f（x）g（x）＞0，则 ．
4°设，x→x0时g（x）局部有界，则（无穷小量与有界变量之积为无穷小．）
2．幂指函数的极限及其推广
设

只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下是“0·∞”型未定式．
1°设 = 0（0＜｜x－｜＜δ时f（x）＞0），，则

2°设 = A＞0，A≠1， = + ∞，则
3°设 = + ∞，，则
用相消法求或型极限
利用洛必达法则求极限
分别求左、右极限的情形，分别求的情形
利用函数极限求数列极限
§3 无穷小和它的阶
1．无穷小、极限、无穷大及其联系
（1）无穷小与无穷大的定义
（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系

其中
o（1）表示无穷小量．
在同一个极限过程中，u是无穷小量（u≠0）Þ是无穷大量．反之若u是无穷大量，则是无穷小量．
2．无穷小阶的概念
（1）定义 同一极限过程中，a（x），b（x）为无穷小，
设
定义 设在同一极限过程中a（x），b（x）均为无穷小，a（x）为基本无穷小，若存在正数k与常数使得 称b（x）是a（x）的k阶无穷小，特别有，称x→x0时b（x）是（x－x0）的k阶无穷小．
（2）重要的等价无穷小
x→0时 sinx ~ x，tanx ~ x，㏑（1 + x） ~ x，ex－1 ~ x； ax－1 ~ xlna，arcsinx ~ x，
arctanx ~ x；（1 + x）a―1 ~ ax，1―cosx ~ ．
（3）等价无穷小的重要性质
在同一个极限过程中
1°若a ~ b，b ~ gÞa ~ g．
2° a ~ bÛa = b + o（b）
3°在求“”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换
§4 连续性及其判断
1．连续性概念
（1）连续的定义：
函数f（x）满足，则称f（x）在点x = x0处连续；f（x）满足（或，则称f（x）在x = x0处右（或左）连续．
若f（x）在（a，b）内每一点连续，则称f（x）在（a，b）内连续；若f（x）在（a，b）内连续，且在x = a处右连续，在点x = b处左连续，则称f（x）在[a，b]上连续．
（2）单双侧连续性
f（x）在x = x0处连续 Û f（x）在x = x0处既左连续，又右连续．
（3）间断点的分类：
设f（x）在点x = x0的某一空心邻域内有定义，且x0是f（x）的间断点．
若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0 + 0）存在并相等，但不等于函数值f（x0）或f（x）在x0无定义，则称点x0是可去间断点；若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0 + 0）存在但不等，则称点x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点．
若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0 + 0）至少有一个不存在，则称点x0为第二类间断点．
2．函数连续性与间断点类型的判断：
若f（x）为初等函数，则f（x）在其定义域区间D上连续，即当开区间（a，b）Ì D，则f（x）在（a，b）内连续；当闭区间[c，d] Ì D，则f（x）在[c，d]上连续．若f（x）是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算，反函数运算与复合运算）来判断．当f（x）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性．
判断f（x）的间断点的类型，就是求极限．
3．有界闭区间[a，b]上连续函数的性质：
最大值和最小值定理：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，则存在ξ和ηÎ[a，b]，使得
f（ξ）≤f（x）≤f（η），（a≤x≤b）
有界性定理：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，则存在M＞0，使得
｜f（x）｜≤M，（a≤x≤b）
介值定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），则对f（a）与f（b）之间的任意一个数c，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f（ξ） = c
推论1（零值定理）：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f（ξ） = 0
推论2：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，且m和M分别是f（x）在[a，b]上最小值和最大值，若m＜M，则f（x）在[a，b]上的值域为[m，M]．
第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用
一、知识网络图

二、重点考核点
这部分的重点是
①导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系．
②按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，幂指数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求n阶导数表达式．
③求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率．
④导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）．
§1 一元函数微分学中的基本概念及其联系
1．可导与可微的定义及其联系

2．几何意义与力学意义
是曲线y = f（x）在点（x0，f(x0））处切线的斜率．
是相应于Dx该切线上纵坐标的增量．
质点作直线运动，t时刻质点的坐标为x = x(t），是t = t0时刻的速度．
3．单侧导数与双侧导数
f（x）在x = x0可导均存在且相等．
此时

§2 一元函数求导法
反函数求导法：
设f（x）在区间Ix可导，，值域区间为Iy，则它的反函数x =j（y）在Iy可导且

变限积分求导法：
设函数f（x）在[a，b]上连续，则在[a，b]上可导，且
，（a≤x≤b）
设在[c，d]上连续，当x Î [a，b]时函数u（x），v（x）可导，且的值域不超出[c，d]，则在[a，b]上可导，且
，（a≤x≤b）
隐函数求导法：
分段函数求导法
1°没说明对常数a，b，x≠3时f（x）均可导．
2°先由x = 3处可导求出a值，再由连续性求出b值．请看以下错误表达：
“因
由得a = 6．再由连续性 f（3 + 0） = f（3－0）
即 9 = 3a + b，b=－9”
错误在于①当3a + b≠9时不存在，也不可能有．
②f（3 + 0）= f（3－0）不能保证f（x）在x = 3连续．仅当f（3 + 0） = f（3－0）= f（3）时才能保证x = 3连续．
必须先由连续性定出3a + b = 9，在此条件下就可得
高阶导数与n阶导数的求法
常见的五个函数的n阶导数公式：

第三讲 一元函数积分学
一、知识网络图

二、重点考核点
这部分的重点是：
①不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质．
②两个基本公式：牛顿—莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式．
③熟记基本积分表，掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分．
④反常积分敛散性概念与计算．
⑤定积分的应用．
§1 一元函数积分学的基本概念与基本定理
1．原函数与不定积分的概念及性质：
（1）定义．
若F（x）的导函数在某区间上成立，则称F（x）是f（x）在该区间上的一个原函数：f（x）的全体原函数称为f（x）的不定积分，记为．
（2）原函数与不定积分的关系．
若已知F（x）是f（x）的一个原函数，则 其中C是任意常数．
（3）求不定积分与求导是互为逆运算的关系，即

其中C也是任意常数．
（4）不定积分的基本性质：

2．定积分的概念与性质：
（1）定义．
设，若对任何
存在，则称f（x）在[a，b]上可积，并称此极限值为f（x）在
[a，b]上的定积分，记为

定积分的值与积分变量的名称无关，即把积分变量x换为t或u等其他字母时，有

另外，约定 ．
（2）可积性条件．
可积的必要条件：若f（x）在[a，b]上可积，则f（x）在[a，b]上有界．
可积函数类（可积的充分但非必要的条件）：
1°f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积；
2°f（x）在[a，b]上有界且仅有有限个间断点，则f（x）在[a，b]上可积．
（3）定积分的几何意义：
设f（x）在[a，b]上连续，则表示界于x轴、曲线y = f（x）以及直线x = a，x =b 之间的平面图形面积的代数和，其中在x轴上方部分取正号，在x轴下方部分取负号．
特别，若f（x）在[a，b]上连续且非负，则表示x轴，曲线y=f（x）以及直线x = a，x = b围成的曲边梯形的面积．
（4）定积分有以下性质：
1°线性性质：若f（x），g（x）在[a，b]上可积，且A、B为两个常数，则Af（x）+ Bg（x）也在[a，b]上可积，且
2°对积分区间的可加性：若f（x）在由a、b、c三数构成的最大区间上可积，则

3°改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值．
4°比较性质：若f（x），g（x）在[a，b]上可积，且f（x）≤g（x）在[a，b]上成立，则

进一步又有：若f（x），g（x）在[a，b]上连续，且f（x）≤g（x），f（x）g（x）在[a，b]上成立，则
若f（x）在[a，b]可积，则｜f（x）|在[a，b]可积且
5°积分中值定理：若f（x）在[a，b]上连续，则存在ξ∈（a，b），使得
3．变限积分，原函数存在定理，牛顿—莱布尼兹公式：
（1）变限积分的连续性：若函数f（x）在[a，b]上可积，则函数在[a，b]上连续．
（2）变限积分的可导性，原函数存在定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，则函数就是f（x）在[a，b]上的一个原函数，即"xÎ[a，b]．
（3）不定积分与变限积分的关系．由原函数存在定理可得．若f（x）在［a，b］上连续，则不定积分 ，其中x0Î[a，b]为一个定值，C为任意常数．
（4）牛顿—莱布尼兹公式：设在上连续，是在上的任一原函数，则．这个公式又称微积分基本公式．
推广形式：设函数f（x）在[a，b]上连续，F（x）是f（x）在（a，b）内的一个原函数，又极限F（a + 0）和F（b－0）存在，则 ．
（5）初等函数的原函数
4．周期函数与奇偶函数的积分性质：
（1）周期函数的积分性质：
设f（x）在（－∞，+ ∞）连续，以T为周期，则1°（a为任意实数） 2°
3°（即f（x）的全体原函数）为T周期的
5．利用定积分求某些n项和式的极限
§4 反常(广义)积分
1．基本概念
（1）若，称收敛，并记
否则称发散．
若，称收敛，并记
否则称发散．
若，均收敛，称收敛
且 =+．否则称发散．
（2）设f（x）在（a，b］内闭子区间可积，在a点右邻域无界，若极限，称收敛，并记
= 否则称发散．这里x=a称为瑕点．
若b为瑕点，类似定义．
设f（x）在[a，c）（c，b]内闭子区间可积，在x = c邻域无界．
若，均收敛，称收敛．且
=+． 否则称发散．
（3）几个重要的反常积分．
1°a＞0，
2°a＞1，
3°
4°
5°，，，均发散

§5 一元函数积分学的应用
1．一元函数积分学的几何应用
2.一元函数积分学的物理应用（数一，数二）
§6 积分等式与不等式的证明
第四讲 一元函数微分学中的基本定理及其应用
一、知识网络图
拐点

二、重点考核点
这部分的重点是：
①罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其应用．
②利用导数研究函数的性态（函数为常数，单调性与极值点，凹凸性与拐点，渐近线）．
③最值问题及应用题．
④利用微分学方法证明函数或导函数零点的存在性并确定个数，证明函数不等式等．
§1 一元函数微分学中的基本定理——中值定理
费马定理：设f（x）在x = x0取极值，存在

罗尔定理：设f（x）在［a，b］连续，在（a，b）可导，且．

§2 微分中值定理的应用——利用导数研究函数的变化
1．函数为常数的条件与函数恒等式的证明

2．函数的单调性与极值点
（1）函数的单调性的充要判别法．
设f（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，则
f（x）在[a，b]单调不减（单调不增）．
f（x）在[a，b]单调增加（单调减少），
2°在（a，b）的子区间上 0．
（2）函数取极值的充分判别法．
设f（x）在x = x0连续，在可导，当时＞0（＜0）．

时＜0（＞0），则x = x0是f（x）的极大（小）值点．
设=0，＞0（＜0），则x=x0是f（x）的极小（大）值点．
3．函数的凹凸性与拐点
（1）函数的凹凸性的充要判别法．
设f（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，f（x）在[a，b]是凸（凹）的：
（＞）
（曲线y = f（x）（a＜x＜b）在点处的切线除该点外总在曲线的上方（下方））．在（a，b）是单调减（增）函数．
设f（x）在[a，b]连续，在（a，b）二阶可导，则f（x）在[a，b]是凸（凹）的≤0（≥0），，又在（a，b）的子区间上 0．
（2）拐点的充分判别法与必要条件．
设f（x）在x0邻域连续，在x = x0两侧凹凸性相反，称（x0，f（x0））是曲线y = f（x）的拐点．
充分判别法
1°设f（x）在x = x0邻域连续，在x = x0空心邻域二阶可导，且在x = x0两侧变号，则（x0，f（x0））为y = f（x）的拐点．
2°=0，，则（x0，f（x0））为y = f（x）的拐点．
必要条件
设（x0，f（x0））为y = f（x）的拐点，则 = 0或不存在．
§3 一元函数的最值问题
§4 微分中值定理的应用——证明不等式
§5 微分中值定理的应用——讨论函数的零点
§6用微分中值定理证明函数成导数存在某种特征点
第五讲 泰勒公式及其应用
一、知识网络图

二、重点考核点
会用泰勒公式求某些 型板限，并确定无穷小的阶，会用泰勒公式证明某些不等式并会用适当阶数的泰勒公式解决与某阶导数中间值有关的命题．
§1 泰勒公式及其余项
1、带皮亚诺余项的泰勒公式：
设f（x）在x = x0处有n阶导数，则
f（x）=Tn（x）+ Rn（x），
其中 ，

2．带拉格朗日余项的泰勒公式：
设f（x）在含x = x0的区间（a，b）内有n + 1阶导数，在[a，b]有连续的n阶导数，则对， ，
其中 ，

，
ξ在x与x0之间，ξ也可表示为ξ= x0 +θ（x－x0），0＜θ＜1．
x0 = 0时的泰勒公式称为麦克劳林公式．

3．五个基本初等函数的麦克劳林公式：

Rn（x）= o（xn）（），．

， ．
cosx=
R2n +1（x）= o（x2n+1）（x），
R2n+1（x）=．
ln（1+x）= x
Rn（x）= o（xn）（x）

．
Rn（x）= o（xn）（x），

这五个公式是求其他初等函数泰勒公式的基础，应当牢记并会写出它们的余项．
§2 泰勒公式的求法
1、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法
2．带拉格朗日余项的泰勒公式的求法
§3 泰勒公式的应用
1．带皮亚诺余项的泰勒公式的应用
2．带拉格朗日余项的泰勒公式的应用
第七讲 常微分方程
一、知识网络图

二、重点考核点
①掌握方程类型的判别，根据类型选择合适的方法求解方程，会利用初值条件定出任意常数。

②掌握列方程的常用方法．根据题意，分析条件，搞清问题所涉及的物理或几何意义，结合其他相关的知识和掌握的方法列出方程和初条件．
③一、二阶线性方程解的性质．
④对数三还要求差分方程，其重点是求解一阶线性差分方程与简单的经济应用．
（注意，全微分方程的求解放在多元积分学部分介绍）
§1 微分方程的有关基本概念
微分方程：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的函数方程，称为微分方程．当方程中的未知函数是一元函数时，称为常微分方程．
微分方程的阶：出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶．
设x为自变量,为未知函数，则n阶微分方程的一般形式为
F（x，y，）= 0，
且在方程中一定要出现．
微分方程的解：若把已知函数及其导数或微分代入微分方程后能使其成为恒等式，则称该函数为这个微分方程的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解；不含任意常数的解称为微分方程的特解．
为了确定微分方程的特解，需要给出方程中未知函数应满足的附加条件，这种条件称为定解条件，通常给出的是未知函数及其若干阶导数在某点处的值，称为初始条件．
例如：对方程F（x，y，）= 0，初始条件可设为

其中x0，y0，y1，y2，…，yn－1都是给定的常数．
求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题．
§2 一阶微分方程的解法
（1）变量可分离方程
变量可分离方程的常见形式是，
若，方程可改写为， 求积分即得通解．
若存在y0使g（y0）=0，直接验算可知常值函数y = y0也是原方程的一个解．
更一般的变量可分离方程是．
当时，经分离变量，方程可改写成
，于是，积分可得通解．

若是函数的一个零点，则也是方程的一个解．如果不限定自变量是x，未知函数是y，且x0是函数的一个零点，则常值函数也是方程的一个解．在求解变量可分离的方程时，注意不要遗漏了这类常值函数解．如果在积分所得的通解表达式里，未知函数包含在对数中，应尽可能通过恒等变形把未知函数从对数中“解脱”出来．
（2）齐次微分方程
齐次微分方程的标准形式是， 作变换由于dy = udx+xdu，代入方程可得，这是关于u与x的可分离变量方程．当时，分离变量并积分可得. 把换回，即得原方程的通解.同样,若存在是的根，则也是原方程的一个解．
（3）一阶线性微分方程
一阶线性方程的标准形式是，其中与是已知函数．当时，称为一阶齐次线性方程，否则称为一阶非齐次线性方程．一阶线性方程的通解为．
注意，通解公式中的第一项是对应齐次线性方程的通解，通解公式中的第二项是非齐次线性方程的一个特解．一阶线性方程通解的这种结构是所有线性微分方程通解的共同特点．
除了直接用上述通解公式求解外，还可用积分因子法求解．即用函数（称为方程的积分因子）同乘方程两端，按乘积的导数公式有 ，两端再积分一次，移项后就得出了通解公式．
§3 二阶常系数线性微分方程及其解法
二阶常系数线性微分方程的标准形式为，其中a，b是已知常数，右端项是已知函数．当时，方程称为齐次的，否则，方程称为非齐次的．
引入记号，则方程．
二阶常系数线性微分方程的解满足叠加原理：若y1是方程的一个解，y2是方程的一个解，A，B是两个常数，则Ay1 + By2就是方程的一个解．
二阶常系数线性微分方程通解结构定理：方程的通解是
y = C1 y1 + C2y2 + y*．
其中y1和y2是对应齐次方程L[y] = 0两个线性无关的解，即L[y1]0和L[y2]0，且不存在常数k使得y1ky2，y*是非齐次方程的一个解，即，而C1，C2是两个任意常数．
（1）齐次方程两个线性无关解的求法：二次方程称为二阶常数系线性微分方

程的特征方程，它的两个根称为特征根．按照特征根的不同情况，可得齐次方程两个线性无关的解，如下表．
特征根
线性无关二解
实根

实根

复根

（2）非齐次方程一个特解的求法：当是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与乘积时，可根据的形式选取适当形式的特解，然后代入非齐次方程并确定特解中的待定系数，即可求得所需的一个特解．若，其中是一个x的m次多项式，r是一个实数，则可按照下表选取特解：(其中是系数待定的m次多项式)

r与特征根，的关系
特解y*的形式

r≠，r≠

r=，r≠

r=，r=

若非齐次项，只需把它看成，且r = 0的特殊情形即可．若，其中Ｍ，Ｎ，r，ω都是实数，且ω＞0．特解的取法如下表：（其中A，B是两个待定的常数）

与特征值的关系
特解y*的形式

不是特征根

是特征根

若非齐次项，只需把它看成是，且r = 0的特殊情形即可．另外，无论系数Ｍ与Ｎ中是否有等于零的，在特解y*中仍应当假设包含两个待定系数A与B．
§4 某些高阶微分方程
§5 应用问题
一、利用定积分的几何意义列方程
二、利用导数的几何意义列方程
五、利用牛顿第二定律列方程（数一，数二）
六、利用微元法列方程（数一，数二）
第八讲 多元函数微分学

一、知识网络图

二、重点考核点
这部分的重点是：
①偏导数、全微分的计算，尤其是求复合函数的二阶偏导数（包括带函数记号的复合函数，隐函数，变量替换下方程的变形及初等函数等）．
②多元函数的简单极值与条件极值问题特别是有关的应用题（几何、物理与经济上的应用题）．
③几何应用（求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面）（只对数一）
④求方向导数和梯度（只对数一）．
⑤可微性概念．
§1 多元函数微分学中的基本概念及其联系

由于多元初等函数的偏导数仍然是多元初等函数，从而这些偏导数还可以继续求偏导数，这样就能够逐阶求得多元初等函数的高阶偏导数．
这样的对不同变量求得的高阶偏导数称为混合偏导数．可以证明：若偏导函数和都在点（x0，y0）处连续，则必有．这种性质称为混合偏导数与求导的次序无关，它成立的条件是这些混合偏导数连续．对一般的n（n≥2）元函数的m（m≥2）阶连续混合偏导数相应的结果也成立．
§2 多元函数的微分法
必须熟练掌握多元复合函数求导的链锁法则和一阶全微分的形式不变性．
设可微,与偏导数存在，则复合函数的偏导数存在，且，
上述公式称为链锁法则（或链式法则），对各种其它形式的多元复合函数也可得到类似的公式．利用链式法则不难证明一阶全微分的形式不变性，即若可微，也可微，则有全微分公式
利用一阶全微分的形式不变性以及全微分的四则运算法则
，
，
，
可直接计算多元复合函数与隐函数的全微分，再由全微分得到其偏导数，而不必用链式法则逐个求偏导数．
§3 多元函数的最值问题

第九讲 二重积分
一、知识网络图

二、重点考核点
这部分的重点是：
①掌握二重积分对直角坐标与极坐标的计算及分块积分法和简化计算机的若干方法．
②计算无界区域上简单的二重积分．（只对数三，数四）．
§1 二重积分的概念与性质
二重积分的定义：
设D是平面Oxy上的有界闭区域，f（x，y）是定义在D上的有界函数，f（x，y）在D上的二重积分
这里被分割为个小区域它们的面积也分别记为
,而是在小块中任取的点．
可积函数类：
当二重积分存在时，称f（x，y）在D上可积．若f（x，y）在D上连续，或f（x，y）在D上分块连续且有界，则f（x，y）在D上可积．
二重积分的几何意义：
当f（x，y）≥0时，表示上顶面方程为z = f（x，y），底面区域为平面Oxy上的有界闭区域D的曲顶柱形的体积．
二重积分的物理意义：
当f（x，y）≥0时，表示质量面密度为f（x，y）的薄板D的质量．
二重积分的重要性质：
二重积分与定积分有类似的性质，即线性性质，对积分区域的可加性，比较性质以及被积函数连续时的积分中值定理．
（1）线性性质；
若函数f（x，y）与g（x，y）在区域D上可积，A与B是两个常数，则函数Af（x，y） + Bg（x，y）也在区域D上可积，且

（2）对区域的可加性；
若函数f（x，y）在区域D上可积，D被曲线分为两个区域D1与D2之和，则函数f（x，y）也分别在区域D1与D2上可积，且．
（3）比较性质；
Ⅰ．若函数f（x，y）与g（x，y）在区域D上可积，且f（x，y）≤g（x，y）在区域D上成立，则 ．
Ⅱ．若函数f（x，y）与g（x，y）在区域D上连续，且f（x，y）≤g（x，y），但f（x，y）不恒等于g（x，y），则．
（4）积分中值定理．
若函数f（x，y）在区域D上连续，则存在，使得．
其中是区域D的面积．
§2 在直角坐标系中化二重积分为累次积分
D为平面上有界闭区域，f（x，y）在D连续．先后y后x型：

先x后y型：

其中在[a，b]连续，在连续．
特例：D为矩形：a≤x≤b，≤y≤

交换累次积分次序与累次积分计算
§3 二重积分的变量替换
1．平移变换：
u = x－a，v = y－b

2．极坐标变换：

其中
进一步化为累次积分．
（1）先r后
极点在D外部：

极点在D内：

极点在D的边界上：

（2）先后r型

极坐标系下累次积分与直角坐标系下累次积的转换
§4 怎样应用二重积分的计算公式并简化计算
在二重积分的计算中，要注意应用一些技巧：如：把积分区域适当分块，选择适当的坐标系，选择适当的累次积分的次序，平移直角坐标系，等．
还要注意应用以下二重积分的简化计算方法：
（1）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性简化二重积分的计算
若积分区域D关于y轴对称，被积函数f（x，y）对于变量x有奇偶对称性，则

若积分区域D关于x轴对称，被积函数f（x，y）对于变量y有奇偶对称性，则

（2）利用二重积分的几何意义简化二重积分的计算
若已知积分区域D的面积，则的面积．