数分II知识点分析.doc

求不定积分

求不定积分方法：
（1）两类换元法；
（2）分部积分法(重点)；
排序：与dx凑的依次为指数和三角， 多项式
适用类型：被积函数含有两种不同函数类型，或含有对数或或反三角函数

求极限
三种类型
（I）变上限积分函数类型求极限
（II）定积分的定义（数项级数转化为定积分求解）
III）利用级数收敛性求极限（级数收敛则通项为0）

变上限积分函数极限的解题思路：
0比0型或无穷比无穷采用洛必达法则（一般是用两次）；
注意（1）
（2） 变上限积分函数不能用变量替换或等价量替换； 其它正常函数可以采用等价量替换可减少计算量

典型例题：p208例2 p209ex2 和课堂练习
p225 例1 ex4

求在处的幂级数展开式.

又级数的收敛域为，故

求函数在处的幂级数展开式.
解题思路： 适当变型，凑成含有；
常数归一后用等比数列求和；
求出相应的收敛域；
典型例题：求在处的幂级数展开式.
P61 例8
P63-63 ex2 （2,6） ex3（2）
基本结论： 基本初等函数的的幂级数展开式

求曲线 从到那一段的弧长.
解：由于，则弧长

解题思路： 熟记求弧长的三个公式，小心计算；
记住若干函数的原函数；
记住求旋转体的体积公式。
典型例题：

三．讨论敛散性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）

1.
解：，
（I）对，
（1）当， 为定积分.
当时，是瑕点，
由于，则
（注：和有相同的收敛性。）

（2）当，即时，绝对收敛.
（3）当，即时，发散.
（II）对，
由于，
（4）当，即时，绝对收敛.
（5）当，即时，发散.
综上，当时绝对收敛，当或时发散.
解题思路：
若积分区间为【0，】且只有0和是仅有的两个瑕点，将积分分为瑕积分和无穷限反常积分分别讨论：熟记几个常见的p积分；应用等价量关系；对数函数与幂函数的关系（课堂结论）。

典型例题1：

2.
解：由于，即部分和有界，
又单调递减趋于0，根据D-判别法，收敛.
由于，
同理可证收敛，又发散，则发散，
故条件收敛.
解题思路：D-A 判别法
基本结论：

练习题：

四．（12分）叙述函数列在数集上一致收敛的定义，讨论函数列在所示区间的一致收敛性.
(i) (ii)
证：函数列在数集上一致收敛：
对任意，存在，当时，对任意，有
.
(i)
对任意，，
则，
则，故在上一致收敛.
(ii)
对任意，，
又，
则，故在上不一致收敛.
典型题目：p45 ex9 和ex1

五. 求出幂级数的和函数，并指出其收敛域.
解：由于，则收敛半径.
当时，显然发散，故收敛域.
设 ，
， 则
由于 ，又

则 ，
，
故
典型题目，

六．（12分）证明：函数在上连续，且有连续的导函数.
证：对任意，任意，，又收敛，
由M-判别法，在上一致收敛.
又由各项在上连续，
则在上连续.
显然各项在上有连续的导函数且
，
对任意，任意，，又收敛，
由M-判别法，在上一致收敛.
又由各项在上连续，则在上连续，
即在上有连续的导函数.
注 上述题目分母中3次方，改为两次方依然成立。
典型例题：P43 例3 P45 ex5,， ex6 和ex7
知识的重难点（级数部分）：
函数列、函数项级数（包括幂级数）的解析性定理定理重点掌握， 即三个交换图成立的条件及意义；明确极限符号与求和符号、 积分符号、求导符号交换顺利的条件（交换顺序需要验证的条件：连续和可积需要验证两个条件， 可微分需要验证三个条件），并灵活应用（往年至少有两大题）
级数和反常积分得基本判别法：
（I）一般判别分： D-A 判别法；M-判别分， 莱布尼茨判别法（交错级数）
（II） 正项级数， 非负函数的无穷限反常积分：比较判别法（一般式子，极限形式更方便）、
比值判别法和比式判别法（级数）；
注意：比较对象： p级数和p积分 ； 等比数列（记住基本结论）
关于一致收敛：
（III）一致收敛判定：M判别法（不用知道极限函数）；
函数与极限函数距离的极限为0
（IV）一致收敛判定： 函数列的通项不一致收敛于0；
连续函数列的极限函数不连续；
函数与极限函数距离不以0为极限极限。
知识点掌握（基本要求）：
（1）基本公式：求导公式，定积分公式，泰勒展开式，p级数和p积分结论
（2）重要定理；
（3）典型例题（包括作业）:掌握解题思路；
（4）基本结论：三角函数部分和公式；

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