西安交通大学复变函数与积分变换试卷(B卷)及参考答案.doc

成绩

西安交通大学考试题

课 程 复变函数与积分变换(B卷)
系 别 考 试 日 期 2006 年 1 月 日
专业班号
姓 名 学 号 期中 期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）
1、设是实数，函数在复平面解析，求.
1、 解：Cauchy-Riemann方程，，，解出
，.

2、求，并指出其主值.
解：

；其中；
其主值为.

3、计算，其中，方向为正向.
2、 解：用Cauchy积分公式，
.

4、计算，其中，方向为正向.

解：用高阶导数公式，

5、判别级数的收敛性.
解：，
和的收敛性分别与和的相同，由高等数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以
收敛。
6、求幂级数的收敛半径.
解：记，则（），所以收敛半径为1。

7、求的奇点，并指出奇点类型.
解：的零点为（），显然它们都是孤立零点；
而，所以这些点都是的1级零点；
但其中是分子的2级零点，所以，是函数的可去奇点，
其他的（）都是的1级极点
8、求在孤立奇点处的留数.
解：是的1级极点，所以

9、求积分，其中，方向为正向.
解：在复平面上有两个奇点 ，，且都包含在曲线C内；
由留数定理，

共 2 页 第 1 页
11、求函数的Fourier变换.
解：F []=，F []=，
所以
F= F [] + F []=+
12、求函数的Laplace变换.
解：L[]=，由Laplace变换的微分性质,
L []=，
所以
L []=；
L []=.
二、（10分）将函数分别在圆环域，展开成Laurent级数.
、、解：在圆环域上的Laurent级数为
；
在圆环域上的Laurent级数为

四、（10分）用留数计算广义积分.
解：有理函数的分母次数=分子次数+4，且该函数在在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点，；故

=

五、（10分）用Laplace变换解微分方程的初值问题：
，.

、解：设L[]=，方程两边求Laplace变换，得到
；
将代入，得
；
解出
；
求Laplace逆变换，得到

成绩

西安交通大学考试题

课 程 复变函数与积分变换(B卷)解答
系 别 考 试 日 期 2006 年 1 月 日
专业班号
姓 名 学 号 期中 期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）
3、 解：Cauchy-Riemann方程，，，解出
，.
2、解：

；其中；
其主值为.
4、 解：用Cauchy积分公式，
.
4、解：用高阶导数公式，

5、解：，
和的收敛性分别与和的相同，由高等数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以
收敛。

共 4 页 第 1 页

6、解：记，则（），所以收敛半径为1。
7、解：的零点为（），显然它们都是孤立零点；
而，所以这些点都是的1级零点；
但其中是分子的2级零点，所以，是函数的可去奇点，
其他的（）都是的1级极点.
8、解：是的1级极点，所以
.
9、解：在复平面上有两个奇点 ，，且都包含在曲线C内；
由留数定理，

11、解：F []=，F []=，
所以
F= F [] + F []=+

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12、解：L[]=，由Laplace变换的微分性质,
L []=，
所以
L []=；
L []=.
二、解：在圆环域上的Laurent级数为
；
在圆环域上的Laurent级数为

四、解：有理函数的分母次数=分子次数+4，且该函数在在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点，；故

=

五、解：设L[]=，方程两边求Laplace变换，得到
；
将代入，得
；
解出
；
求Laplace逆变换，得到
.