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向量在轴上的射影的辨析

上海市宜山路655弄4号121室　陈振宣

向量在轴上的射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础.对此各种版本的书上存在两种完全不同的定义，因而产生了一些混乱，造成了广大师生的困惑.
一、问题呈现
下面以人教社的两种教材为例做些讨论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广大师生讨论指正.
《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学4必修（以下简称课标本）P115：
3.向量在轴上的正射影
已知向量和轴(图1).作过点分别作轴的垂线，垂足分别为则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称做在轴上的数量或在轴的方向上的数量.
    在轴上正射影的坐标记作向量的方向与轴的正向所成的角为则由三角中的余弦定义有

图1                                 图2
例1 已知轴（图2）：
(1)向量，在上的正射影；
(2)向量在上的正射影.
解：(1).
(2).
上述向量在轴上的正射影的定义是向量，但例1中求在上的射影，无论写法还是结果却都是数量，这样是否自相矛盾？
《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）》（以下简称大纲本）P136页:
如图3，，，过点B作垂直于直线，垂足为，则

叫做向量在方向上的投影，当为锐角时（图3（1）），它是正值；当为钝角时（图3（2）），它是负值；当时（图3（3）），它是0.当时，它是；当时，它是.

图3
该书虽未给向量在轴上的射影下定义，但上述“叫做向量在方向上的投影”,已隐含向量在轴上的投影是数量.可见课标本与大纲本的定义是完全不同的.
高里德凡著《矢算概论》P17-P18对此的表述如下：
10.矢量的分量及射影  可以区别正负方向的无限直线称为轴.例如在解析几何中，直线及是轴,因为在它们上面具有正负方向.
A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线的垂足(图4).如果A点位于射影轴上，那么，它的射影与其本身重合.
矢量在S轴上的分量是矢量，它由矢量的两端A及B在S轴上的射影所构成（图5a）.用表示矢量的分量：
.
矢量在S轴的射影是带有正号或负号的分量的模.究为正号或负号，那就决定于矢量的分量的方向与S轴的方向一致或者不一致.为与矢量的分量区别，矢量的射影用表示：
或.
如果在射影轴上，取自左至右为正方向，那么在图5a中，矢量的射影是正：
.
而在图5b中，矢量的射影是负：
.
由射影的定义可知，它们是数量.

补助定理设是轴的正方向的单位矢量，那么任意矢量在S轴上的分量等于这矢量的射影乘轴的单位矢量.
这本书明确提出：“矢量在S轴的射影是带有正号或者负号的分量的模”，并断言“由射影的定义可知它们是数量”.这与向量在轴上的射影是向量之说是完全不同的.
华罗庚的《高等数学引论》第一卷第一分册对向量在坐标上的射影并未下过定义，但有一段如下的说明(P40)：
以下所讨论的矢量仅指自由矢量，一个自由矢量的长度是.方向由决定.
显然各是矢量在轴上的投影的长度，而是矢量与轴所成的角度，称（）为矢量的方向余弦.”
由“各是矢量在轴上的投影的长度”，可知正是在轴上的射影的数量，是在轴上的分向量的数量，它们是数量不是向量.
其他国外教材的翻译之作更加混乱，这里不再一一列举了.
二、问题辨析
造成这样混乱的原因，窃以为是忽视轴上的向量（即一维向量）的数量这一核心概念所致。要澄清其中的是非，应从直线坐标系的理论谈起.
数轴上原点为，单位向量，数轴上任意一点与以原点为始点，为终点的向量成一一对应.向量的数量记作

说穿了，的数量即||加上正号或负号即得，当与同向，取正号；与反向，取负号.点P与原点O重合即为零.
有了这一核心概念，可以建立直线坐标系如下：
在轴上取一点为原点，并取一点E得单位向量，上任意一点与向量成一一对应，向量的数量称为点的坐标，即=.
1.从点到数
    已知点在上的位置，如的数量=（∈R），则点的坐标记为（），而=.
2.从数到点
已知点的坐标为P（），则以原点为圆心，||为半径，在上截取一点，当＞0时，在原点右侧截取一点；当＜0时，在原点左侧截取一点；当=0时，点与原点O重合.
根据实数的连续性，知直线坐标系上的点与实数一一对应.
定理1  设直线坐标系上任意两点，的坐标分别为()，（），则的数量.
[证明]  ∵  ，，
又，
∴.
∴ .
定理2  设直线坐标系上任意三点A，B，C，则
.
[证明]  设A，B，C三点的坐标分别为A，B，C，则

，
.
这一定理称为夏尔定理(Chasles)，是解析几何的奠基定理，与向量射影定理相结合可以推出平面直角坐标系基本定理，从而方便地推出两点间的距离公式、斜率公式、分点公式、三角形面积公式等直至解析几何的所有公式.
为了给出向量在轴上的射影的定义，先从平面向量的直交分解谈起：
如图6，平面向量的始点A，终点B在轴上的射影分别为，，在轴上的射影分别为，，在轴上的分向量称为在轴上的射影，记作

的数量记作
 （为轴上的单位向量）.
同理，
 （为轴上的单位向量）.
如果应用数量积概念，易见
，  .
设与的夹角为，与的夹角为，则，由余弦函数的定义，有
而.
若记A，B两点的坐标分别，则由向量射影定理（合向量在轴上的射影等于其各分向量在同一轴上的射影之和），得
，

同理，

这就是平面直角坐标系的基本定理.
通过类比推理，易得空间直角坐标系的基本定理

其中是向量的方向余弦，而，，分别是在轴上射影的数量，在轴上射影的数量，在轴上射影的数量，这为空间向量的加减运算化归为实数运算提供了理论基础，也为空间解析几何的发展奠定了基础，还为维空间提供了直观模型.
可见澄清关于向量在轴上的射影的有关概念及其符号体系对于教材建设的意义是重大的.以上的改革方案是粗略的，限于水平也是不完善的，请大家讨论指正.
本文在成文过程中曾与张奠宙教授、华宣积教授、杨象富特级老师通过电话、书信讨论，在此向他们深致谢意.

参考文献：
[1]普通高中课程标准实验教科书（数学4必修B版）.人民教育出版社，2004年9月第一版.
[2]全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）.人民教育出版社，1997年4月第一版.
[3]高里德凡著.矢算概论.高等教育出版社，1959年12月上海版第8次印刷.
[4]华罗庚.高等数学引论(第一卷第一分册).科学出版社，1974年6月第一版.

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