资源描述
或
典题精讲
例1方程y-ax-=0表示的直线可能是图3-2-1中的( )
图3-2-1
思路解析:注意题设中的隐含条件:斜率为a、截距为中都含同一个字母a,且a≠0.抓住这一点,通过等价转化将方程化为我们熟悉的一元一次函数,再运用分类讨论思想使问题获得解决.将方程变形为y=ax+,则a为直线的斜率,为直线在y轴上的截距.因为a≠0,所以a>0或a<0.
当a>0时,四个图形都不可能是方程的直线;
当a<0时,图形B是方程的直线.
答案:B
绿色通道:根据直线的方程判断直线的形状,通常把直线转化成斜截式的形式,利用斜率和截距的几何意义作出判断.
变式训练1
两条直线=1与=1的图像是图3-2-2中的( )
图3-2-2
思路解析:两直线的方程分别化为y=x-n,y=-m,易知两直线的斜率符号相同.
答案:B
例2经过点A(-2,2)并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程是( )
A.x+2y-2=0或x+2y+2=0
B.x+2y-2=0或2x+y+2=0
C.2x+y-2=0或x+2y+2=0
D.2x+y+2=0或x+2y-2=0
思路分析:求直线方程以及与坐标轴围成图形面积有关的问题,常用直线的截距式方程.
解:设直线在x轴、y轴上的截距分别是a、b,
则有S=|a·b|=1.
∴ab=±2.设直线的方程是=1.
∵直线过点(-2,2),
代入直线方程得=1,即b=.
∴ab==±2,
解得∴直线方程是=1或=1,
即2x+y+2=0或x+2y-2=0.
答案:D
绿色通道:在直角坐标系中涉及图形的面积时,要注意多与点的坐标相联系,特别是将三角形的底边放在坐标轴上,将高视为点的坐标的绝对值,与坐标轴上的点相关的直线方程是它的截距式,应当注意截距并非是非负的,它是直线和坐标轴交点的横坐标或纵坐标.
变式训练2
求过点A(3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.
解:(1)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时,
可设直线l的方程为=1.
又l过点A(3,4),所以=1,解得a=-1.
所以直线l的方程为=1,即x-y+1=0.
(2)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且为0时,直线的方程为y=x,即4x-3y=0.
例3一条直线l被两条直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点,求直线l的方程.
思路分析:设直线l的方程为y=kx,与已知的两直线的交点设为P1(x1,y1)、P2(x2,y2),把x1、x2用k表示,由x1+x2=0,解出k的值即可.
解法一:当直线l的斜率k存在时,设l的方程为y=kx,且l与已知两直线的交点分别为P1(x1,y1)、P2(x2,y2),
则
因为O是P1P2的中点,所以x1+x2=0,
即=0,解得k=.
当斜率k不存在时,直线l是y轴,它和两条已知直线的交点分别是(0,-6)和(0,),显然不满足中点是原点的条件.
所以所求的直线方程为y=x.
解法二:设过原点的直线l交已知两直线分别于点P1、P2,且O为P1、P2的中点,
所以P1与P2关于原点对称.
若设P1(x0,y0),则P2(-x0,-y0),
所以
①+②得x0+6y0=0.
所以点P1(x0,y0)、P2(-x0,-y0)都满足方程x+6y=0.
因为过两点的直线有且只有一条,且该直线过原点,
所以所求直线l的方程即为y=x.
绿色通道:与两直线交点有关的直线方程问题,用一般式较其他形式方便,另外注意解析几何中与交点有关的问题,常采用设点而不求点的方法,设而不求是解析几何中常用的方法.
变式训练3
直线l和两条直线l1:x-3y+10=0及l2:2x+y-8=0都相交,且这两个交点所成的线段的中点是P(0,1),则直线l的方程是__________.
思路解析:设两交点坐标为A(3y1-10,y1)、B(x2,-2x2+8),
∵AB的中点是P(0,1),得
解得y1=2,x2=4.
∴A、B两点坐标分别为A(-4,2)、B(4,0).
∴过A、B两点的直线方程是x+4y-4=0.
答案:x+4y-4=0
例4求与直线3x+4y+1=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线l的方程.
思路分析:由l与直线3x+4y+1=0平行联想,可设直线l的方程为3x+4y+m=0.也可由两截距之和为,设直线l的方程为=1.
解法一:设直线l的方程为3x+4y+m=0,
令x=0,得y轴上截距b=,
令y=0,得x轴上截距a=,
所以+()=,
解得m=-4.
所以所求直线l的方程为3x+4y-4=0.
解法二:设直线l的方程为=1,
所以
所以所求直线方程为3x+4y-4=0.
绿色通道:(1)一般地,直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率,因此,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.这是常采用的解题技巧.
(2)一般地,经过点A(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0.
变式训练4
求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x轴、y轴上的截距.
解:令y=0,则x=,
于是直线在x轴上的截距为.
令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,
于是直线在y轴的截距为y=.
当k=时,直线在y轴上的截距不存在;
当k≠时,直线在y轴上的截距为.
例5已知方程(m+2)x+(m-3)y+4=0(m∈R)所表示的直线恒过定点,试求该定点的坐标.
思路解析:可以从两个角度考虑:
(1)因为直线恒过定点,故该定点坐标与m的取值无关,于是我们可令m取一些特定值,进而求出两不同直线的公共点.
(2)将方程变形为m(x+y)+2x-3y+4=0.依题意,定点的坐标与m的取值无关,于是m的系数x+y必为0,进而2x-3y+4=0.
解法一:令m=-2,则方程变为-5y+4=0,故y=.
令m=3,则方程变为5x+4=0,
故x=.
依题意可知,直线恒过定点(,).
解法二:将方程变形为m(x+y)+2x-3y+4=0.
依题意,定点的坐标与m的取值无关,于是此定点的坐标必然满足x+y=0且2x-3y+4=0.
解方程组
∴定点的坐标为(,).
绿色通道:求含参数的直线方程恒过定点时,可赋予参数两个具体的值,通过解方程组求交点;也可整理成f1(x,y)+λf2(x,y)=0的形式,再求交点.
变式训练5
已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点A(a1,b1)、B(a2,b2)的直线方程.
解法一:因为P(2,3)是两直线的交点,
所以
两式相减得2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,
即.
故所求直线方程为y-b1=(x-a1).
所以2x+3y-(2a1+3b1)=0.
又
故过两点A(a1,b1)、B(a2,b2)的直线方程为2x+3y+1=0.
解法二:因为P(2,3)是两直线的交点,
所以2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.
可见A(a1,b1)、B(a2,b2)都满足方程2x+3y+1=0.
故过两点A(a1,b1)、B(a2,b2)的直线方程为2x+3y+1=0.
问题探究
问题1请想一想常见的对称问题有那些？具体的处理方法如何？
导思:对称问题包括以下四类:点关于点的对称;点关于直线的对称;直线关于点的对称;直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类,而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.
若点P1与P2关于点M对称,则点M是P1,P2的中点.若已知其中任何两个点的坐标,都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.
若点P1与P2关于直线l对称,则直线l是线段P1P2的中垂线,它应同时满足两个条件,即P1、P2的中点在直线l上,且P1P2的连线与l垂直,也就是说,P1P2的中点坐标满足直线l的方程,且P1P2连线的斜率与直线l的斜率互为倒数.
曲线是由点组成的,曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.
探究:常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下:
(1)点P(x0,y0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0);
(2)点P(a,b)不在直线l:Ax+By+C=0上,P关于直线l的对称点为P′(x,y)的求法:因为PP′中点M()在l上,PP′⊥l,所以由方程组
可解出P′(x0,y0).
(3)几种特殊对称:点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y=x的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m的对称点为(m+b,a-m).
(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决;“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.
问题2一般地,具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x、y以外,还可以根据具体条件取不同值的变量,称为参变量,简称参数.由于参数取向不同,就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗?
导思:应用直线系解题,是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素,再利用其他条件确定参数的值,是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算,提高解题效率.
直线系y=kx+b中,若b为常数,它表示过定点(0,b)的直线系;若k为常数,它表示平行线系.
平行线系关注的是斜率相等,垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后,要明确直线系中参数是谁.
对于过两直线交点的直线系方程,求交点坐标时,可先把方程转化成f1(x,y)+λf2(x,y)=0的形式,再解方程组求交点;也可赋予参数两个具体的值,将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.
探究:几种常见的直线系:
(1)过定点的直线系
直线y=kx+b(其中k为参数,b为常数),它表示过定点(0,b)的直线系,但不包括y轴(即x=0).
经过定点M(x0,y0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数),
它表示经过定点(x0,y0)的直线系,但不包括平行于y轴的那一条(即x=x0).
(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k为常数,b为参数),
它表示斜率为k的平行直线系.
若已知直线l:Ax+By+C=0,
与l平行的直线系为Ax+By+m=0(m为参数,且m≠C).
若已知直线l:Ax+By+C=0,
与l垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n为参数).
(3)经过两条直线交点的直线系
经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n为参数,m2+n2≠0).
当m=1,n=0时,方程即为l1的方程;
当m=0,n=1时,方程即为l2的方程.
上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为实数).但是,方程中不包括直线l2,这个形式的直线系方程在解题中常见.
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