置换多项式群.docx

第三节 置换多项式群
设，是上次数小于的置换多项式，则多项式和的合成模后仍为上次数小于的置换多项式。
因此，在合成运算下，的所有次数小于的置换多项式作成一个群。该群同构于个字母上的对称群。
①首先，对的任一次数小于的置换多项式，导出的一个置换。做映射
则是从的所有次数小于的置换多项式到的全体置换的映射。不同的导出不同的置换，因此是单射。
②其次，对的任一置换，有拉格朗日插值公式知，存在上的一个次数小于的多项式使对所有均成立，于是导出是满射。
③进一步可直接验证满足。所以是一个同构映射。
因此对称群及其子群可用的置换多项式群来表示。

定理7.18 设，则由及上所有线性多项式生成。
证明：首先，由定理7.8可知以及所有的线性多项式均是的置换多项式，因此都是中的元。
其次，从对换的性质可知和由所有对换生成这两个事实，只需证明对换可被及线性多项式的合成所表出：
多项式正好表出对换即当时有。因为由和线性多项式合成而来，所以定理结论成立。
定理7.19 设，是的一个固定的本原根，则由，以及所生成。
证明：令则存在整数使得，该定理的结论可由定理7.8和得到。
类似的，可以得到交错群的生成元，这里交错群是由的所有偶置换组成的。与偶置换相对应，如果的置换多项式导出的一个偶置换，就称是的偶置换多项式。
定理7.20设，，则和是的偶置换多项式；是偶置换多项式当且仅当是中的平方元；是偶置换多项式当且仅当。
证明：导出的置换由个形如的长度为的轮换组成，其中为的特征，。所以，当为奇数或而时是偶置换多项式。
因此也是偶置换多项式。
是置换多项式，当且仅当，设，则由个合成而来：，导出的置换是一长度为的圈，因而当为奇数时为偶置换，当为偶数时中的每个元都是平方元。
由此推出是中的偶置换当且仅当且是的平方元。
最后把的所有元素依对换双双配对。
当为奇数时共有个对换，当为偶数时有个对换(此时1=-1)
所以是偶置换多项式当且仅当。

设，定义下列置换多项式的集：

这些集在模的合成运算下构成群。且有，当为奇数时，当为偶数时，，同构于的加法群。

定理7.21 设，是的一个固定的本原根，则
(Ⅰ)由和生成（定理7.19过程）
(Ⅱ)由和生成（由定理7.20）
(Ⅲ)由它的子群和生成（由定理7.20和Ⅱ）
(Ⅳ) 由，和生成（由Ⅱ和Ⅲ）

给定一个对复合运算封闭的置换多项式类, 那么，这个类所表示的是的哪个子群呢？对于固定的，我们首先来研究： 的置换多项式的所有Dickson多项式的集合。亦即：

定理7.22 在多项式合成的运算下构成一个群，当且仅当或。
证明：对于，由可知

因此，有 …………………………（1）
如果且对复合封闭，则由可知
。因此，且由（1）式有：
。
因为不是常数，所以。
对于比较的系数，对所有满足的得到，
因而，即得。
反之，如果，则由（1）式，对复合封闭。

由此在这三种情形，的多项式所表示的的所有置换的集合是的Abel子群。
下面研究的结构：
设，对可找到使得。
因此，对，由式有：

所以, 若，则和诱导出的同一置换，
因此. 如果对剩余类指定导出的的置换, 则得到一个映成的满射( 映上的同态) , 其中的是模的约化剩余类群, 亦即是剩余类环的单位元素群。由同态基本定理, 现只需确定这个满射的核。
如果，则对所有。
因此, 令如上, 则。因得到。所以，或者。
从而, 对满足的所有 ( 1 1 )
这个条件对于中的也是充分的。而当且仅当，这又等价于或。
设。令是的一本原元, 则。
因此当且仅当是下列四个同余式组之一的一个解:
， ，
，
模下解这些同余式组得到
类似处理的情形，得
上面这些结果总结如下：
定理7.23 时，群同构于，其中如上。并且有：如果（即偶数），则；如果（即奇数）则。如果则，如果则。另外群同构于模的约化剩余类群。
下面给出另外一类有趣的置换多项式。设是的一个扩张，考虑形如
…………………………（2）
的线性化多项式，由定理7.9，是的置换多项式，当且仅当在中仅有根0，亦即，导出的上向量空间的线性算子（变换）是非奇异的（即线性算子的矩阵的行列式不为0）。这个线性算子是非奇异的当且仅当只要在上是线性独立的，则在上也线性独立。
以下求线性算子的矩阵：对由，将带入，可以得到进而有
利用且时，有，所以
设分别是和的行列式，则，其中阶矩阵是：
于是是的置换多项式当且仅当。（2）式中那些的置换多项式的集合对模的复合运算构成一个群，这个群称为伯蒂-马修群。

对于伯蒂-马修群有如下结果：
定理7.24 伯蒂-马修群同构于上阶非奇异矩阵在矩阵乘法下作成的一般线性群。