图形变换.doc

“图形的变换”的教学设计
监利新教育实验学校 何红梅
一、教学内容 人教版九年级（下）专题复习
二、教学目标
1、 理解平移、轴对称、旋转、相似这些图形变换的基本性质，掌握变换与坐标的关系，能运用图形变换解决相关问题的计算和证明。
2、 通过对各种类型题目的探索，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生思维的灵活性、敏捷性及准确性，从而有效地解决相关问题。
二、教学的重点与难点
教学重点：图形变换的概念与基本证明和简单计算
教学难点：探索图形变换的基本性质，能按要求作出简单平面图形变换后的图形。
三、教学过程
1、 课题引入，了解目标
图形与变换自始至终穿于我们初中数学教材之中，是我们学习数学的一条线索，它把我们带入了一个充满变化的数学世界。近几年的中考数学试卷中这方面的相关知识考查达到了20分左右，占据了较大的比重。这节课我将和大家来复习这方面的知识。
2、专题训练，夯实基础
1．(2016·厦门)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)

解：如图，△EDC即为所求．连接AD.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3.
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E，
∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°.
∴AD＝＝3.

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4，△ABC的周长为14，将△ABC平移到△DEF的位置．
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)求四边形ABFD的周长．

解：(1)平移的方向是沿AD(或者是沿BC)方向，平移的距离是4.
(2)根据平移的性质：AD＝CF＝4.
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF.
∵C△ABC＝AB＋BC＋AC＝14，
∴C梯形ABFD＝AB＋BF＋DF＋AD＝AB＋BC＋CF＋AC＋AD＝C△ABC＋CF＋AD＝14＋4＋4＝22.

3．(2015·连云港)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E.
(1)求证：∠EDB＝∠EBD；
(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由．

解：(1)证明：由折叠可知：∠CDB＝∠EDB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.
∴∠CDB＝∠EBD.
∴∠EDB＝∠EBD.
(2)AF∥DB，理由如下：
∵∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE.
由折叠可知：DC＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB.
∴DF＝AB.
∴AE＝EF.
∴∠EAF＝∠EFA.
在△BED中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°，
∴2∠EDB＋∠DEB＝180°.
同理，在△AEF中，2∠EFA＋∠AEF＝180°.
∵∠DEB＝∠AEF，
∴∠EDB＝∠EFA.
∴AF∥DB.

4.(2016·齐齐哈尔)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－4，0)，C(0，0)．
(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
(3)在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．

解：(1)如图所示，△A1B1C1为所求作的三角形．
(2)如图所示，△A2B2O为所求作的三角形．
(3)∵A2坐标为(3，1)，A3坐标为(4，－4)，
∴A2A3所在直线的解析式为y＝－5x＋16.
令y＝0，则x＝，
∴P点的坐标为(，0)．

5．(2015·日照)如图，已知在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接AM，BN.
(1)求证：AM＝BN；
(2)当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．

解：(1)证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，
∴CE＝CF.
根据旋转的性质，CM＝CE＝CN＝CF，∠ACM＝∠BCN＝α.
在△AMC和△BNC中，
∴△AMC≌△BNC(SAS)．
∴AM＝BN.
(2)∵MA∥CN，
∴∠ACN＝∠CAM.
∵∠ACN＋∠NCB＝90°，
∴∠ACN＋∠ACM＝90°.
∴∠CAM＋∠ACM＝90°.
∴∠AMC＝90°.
∴cosα＝＝＝.

6．(2016·北京)在等边△ABC中：

图1　　　　　　　　　图2　　　
(1)如图1，P、Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
(2)点P、Q是BC边上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM.
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验，提出猜想：在P、Q运动的过程中，始终有PA＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明PA＝PM，只需证△PAM是等边三角形．
想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK.
……
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM(一种方法即可)．
解：(1)∵AP＝AQ，
∴∠AQB＝∠APC.
又∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝60°＋20°＝80°，
∴∠AQB＝80°.
(2)①如图所示．
②证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.
又∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB.
∴∠BAP＋∠ABC＝∠APQ＝∠AQB＝∠CAQ＋∠ACB.∴∠BAP＝∠CAQ.
∵Q，M关于AC对称
∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC.
∴∠PAM＝∠PAC＋∠MAC＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°.
又∵PA＝QA＝MA，
∴△APM为正三角形．
∴PA＝PM.

7．有一根直尺，短边的长为4 cm，长边的长为10 cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16 cm.如图1，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图2，图3，设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为S cm2.

(1)当x＝0时，S＝8cm2；当x＝4时，S＝24cm2；当x＝6时，S＝28cm2；
(2)是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26 cm2？若存在，请求出此时x的值．
解：存在．
当S＝26 cm2时，4＜x＜12，
∴S＝S△ABC－S△ADG－S△BEF，
即×16×8－x2－(16－x－4)2＝26.
解得x1＝6－，x2＝6＋.
故当x1＝6－，x2＝6＋时，阴影部分面积为26 cm2.

8．(2016·十堰)如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.
(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．

教学设计说明
1、注重教师的启发引导与学生的主动参与相结合。
本节课，教师充分地信任学生，相信学生有主动学习数学的愿望和潜能，课堂气氛民主活泼、开放，教师既尊重学生的人格，也尊重学生对学习方法的选择，鼓励学生用自己的方法去掌握数学知识。如：作图时可以用刻度尺也可以用圆规。在课堂教学中，教师积极地创造出有利于学生主动参与的的教学情境，激发学生的学习兴趣，充分调动学生学习的积极性，给学生留有思考和探索的佘地。
2、教学既面向全体又尊重学生的个性差异，促进学生的全面发展。
在教学中教师注重面向全体学生，使所有学生在数学知识掌握、数学能力发展、思想品德及个性心理品质等方面都能有所发展。同时，由于学生个性素质的差异。在本节课中，教师既解决的后进生学习难的问题，设计出一些简易的题目，帮助他们树立起学习上的信心。同进对于一些学有佘力的学生，生教师也为他们提供了发展的机会。如设计了提高题，这样既防止他们产生自满情绪，又让他们始终保持着强烈的求知欲。
3、加强合作交流，让学生在共同探讨中获得专项突破