数学分析课程教学大纲2.doc

《数学分析Ⅲ》课程教学大纲
一、《数学分析》课程说明
（一）课程代码： 08130001
（二）课程英文名称：Mathematical Analysis
（三）开课对象：数学专业本科学生
（四）课程性质：
数学分析是数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学系本科一、二年级学生的必修课。本课程总学时为324学时，其中讲授课与习题课课时之比约为2：1，共分四学期完成，分别为数学分析（ I ），数学分析（ II ），数学分析（ III ）, 数学分析（ Ⅳ）。
（五）教学目的：
本课程的教学目的是使学生获得极限论，一元函数微分学，无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识,为进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程打下坚实的基础。
（六）教学内容：
本课主要内容分为三个部分：（1）一元微积分（包括极限理论和实数完备性的一系列等价命题）；（2）多元微积分；（3）无穷级数理论（包括广义积分和含参变数积分理论）。其中前两部分主要讲述微积分的基本概念、方法和应用，包括一切相关数学原理的严格证明；第（3）部分讲述线面积分和极限理论在无穷级数、含参数广义积分理论中的深入应用。极限和实数完备性理论、定积分理论以及极限理论的各种应用对学生抽象思维和逻辑推理的训练，对分析数学中必要的方法技巧的掌握都是至关重要的。
（七）学时数、学分数及学时数具体分配
教学时数： 72 学时
学分数： 4 学分
教学时数具体分配：
教 学 内 容
讲授
实验/实践
合 计
十三、函数列与函数项级数
12

12
十四、幂级数
12

12
十五、傅里叶（Fourier）级数
12

12
十六、多元函数的极限和连续
14

14
十七、多元函数的微分学
22

22
合 计
72

72
（八）教学方式
以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。
（九）考核方式和成绩记载说明
考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占20% ，期末成绩占80% 。
二 、讲授大纲与各章的基本要求 　
第十三章 函数列与函数项级数
教学要点:
使学生掌握函数列及函数项级数一致收敛的概念和一致收敛的判别方法。
教学时数:12学时
教学内容:
一致收敛的判别法
第一节 一致收敛性（6学时）
一、函数列及其一致收敛性
二、函数项级数及其一致收敛性
三、柯西收敛准则、M一判别法、狄里克雷判别法、阿贝尔判别法
第二节 一致收敛函数列与函数项级数的性质（6学时）
一、极限函数与和函数的连续性
二、极限函数与和函数的可积性
三、极限函数与和函数的可微性
考核要求：
1、函数列及其一致收敛性(识记)
2、函数项级数及其一致收敛性(应用)
3、柯西收敛准则、M一判别法、狄里克雷判别法、阿贝尔判别法(应用)
4、一致收敛函数列与函数项级数的性质(应用)
第十四章 幂 级 数
教学要点:
使学生掌握幂级数的性质，会求幂级数的收敛半径、收敛区间及和函数，能将函数展为幂级数。
教学时数:12学时
教学内容:
第一节 幂级数（6学时）
一、幂级数的概念、收敛半径、收敛区间
二、幂级数的性质
第二节 函数的幂级数展开（6学时）
一、泰勒级数
二、初等函数的幂级数展开式
考核要求：
1、幂级数的收敛半径的定义(识记)
2、收敛半径的求法(应用)
3、幂级数在收敛区域中及收敛区间的端点的性质(识记)
4、初等函数的幂级数展开的求法(应用)
5、运用绝对收敛的级数的性质将函数成展开幂级数(应用)

第十五章 傅里叶级数
教学要点:
使学生了解傅里叶级数收敛定理的条件和结论，能将函数展为傅里叶级数。
教学时数:12学时
教学内容:
第一节 傅里叶级数（8学时）
一、三角级数、正交函数系
二、以2π为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
第二节 以2L为周期的函数的展开式（4学时）
一、以2L为周期的函数的傅里叶级数
二、偶函数与奇函数的傅里叶级数
考核要求：
1、函数的Fourier系数的计算(应用)
2、三角函数系的正交的特性(应用)
3、推导函数的Fourier级数的部分和的Dirichlet积分表示(应用)
4、黎曼引理的意义(领会)
5、函数满足Dini条件的特征(识记)
6、函数展开成它的Fourier级数(应用)
7、函数的Fourier级数的收敛区域(应用)
8、将一般周期的函数展开为一个三角级数(应用)
9、Fourier变换的意义(领会)
10、Fourier变换的性质的作用(领会)
第十六章 多元函数的极限与连续
教学要点:
使学生掌握多元函数的概念，理解并掌握二重极限的定义，会计算二重极限和累次极限。了解R2上的闭区域套定理、聚点定理和有限覆盖定理。
教学时数:14学时
教学内容:
多元函数极限的概念
第一节 平面点集与多元函数（8学时）
一、平面点集、邻域、聚点
二、R2上的闭域套定理、聚点定理、有限覆盖定理
三、多元函数的定义
第二节 二元函数的极限（4学时）
一、二元函数的极限
二、累次极限
考核要求：
1、平面上的圆邻域和方邻域的代数表示以及几何表示(识记)
2、几何解释点与集合的关系：外点、内点、边界点，聚点、孤立点(识记)
3、开集、闭集的定义(识记)
4、平面上点列极限的分析定义(识记)
5、点列极限的Cauchy收敛准则,Cauchy准则的否命题(应用)
6、二元函数的定义(识记)
7、二元函数的极限的定义(识记)
8、二元函数的累次极限与重极限之间的关(应用)
9、求二元函数的极限(应用)
10、函数连续的定义(识记)
11、比较有界闭域上连续函数与闭区间上的一元连续函数的性质(应用)
第十七章 多元函数微分学
教学要点:
使学生掌握偏导数的概念及多元复合函数的链式求导法则，能计算复合函数的方向导数及全微分。
教学时数:22学时
教学内容:
第一节 可微性（6学时）
一、偏导数
二、多元函数的全微分与可微条件
第二节 复合函数微分法（10学时）
一、复合函数的求导法则
二、复合函数的全微分
第三节 方向导数与梯度（3学时）
一、方向导数的定义
二、梯度
第四节 泰勒公式与极值（3学时）
一、二元函数的中值定理
二、极值
考核要求：
1、二元函数可微的定义(识记)
2、函数的偏导数的定义(识记)
3、偏导数与可微之间的关系(应用)
4、全微分的计算(应用)
5、复合函数的偏导数的计算(应用)
6、方向导数的定义和计算，梯度的定义和计算(应用)
7、高阶偏导数的定义和计算(应用)
8、混合偏导数与次序无关的条件(应用)
9、叙述和证明微分中值定理(应用)
10、叙述函数的Taylor公式(应用)
11、求函数的Taylor展开式(应用)
12、用函数的Taylor展开式做近似计算(应用)
三、推荐教材和参考书目
1、《数学分析》，华东师大数学系编，第三版,高等教育出版社,2001。
2、《数学分析》刘玉琏、傅沛仁编，第三版,高等教育出版社,1994。
3、《数学分析》陈纪修编，第二版,高等教育出版社,2004
4、《数学分析》周民强编，第二版,上海科技出版社,2003。
5、《数学分析中典型的问题及方法》裴文礼著，高等教育出版社1989。
6、《数学分析习题集题解》,费定晖,第二版,山东科学技术出版社,2001
7、《数学分析的方法与题解》赵显曾编，第一版,陕西师大出版社,2005
8、《数学分析习题及其解答》邹应编，第一版,武汉大学出版社,2002
9、《Problems and Theorems in Analysis (Vol.1) 》 ,Polya.G.Szego, Springer-Verlang, 1972.
10、《Problems and Propositions in Analysis》,Gabriel. Klambauer, Printed in the United States of America ,1979.