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圆锥曲线综合——定点与定值问题
【考纲要求】
1.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.
2.理解数形结合的思想.
3.了解圆锥曲线的简单应用.
【要点整合】
1．基本概念：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成定值问题；如果满足一定条件的曲线系恒过某一定点，就是定点问题．
2．基本方法：常用的处理方法有两种：
（1）从特殊入手，先求出定点或定值等，再证明这个点或值与参数无关；
（2）直接推理，计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点或定值．
3．易错警示：选择合适的参数，并利用这个参数得到有关的曲线方程或函数关系式是解决问题的关键．
【例题精析】
考点1：定点问题
例1 x
y
O
A
B
已知抛物线y2=2px(p＞0)，过O点作两互相垂直的直线OA、OB交抛物线于A、B，求证：直线AB恒过一定点．

点评 （1）解析几何的学科特色，主要表现在用代数方法解题，其特点突出表现在一个“算”字上，这就不仅要求会根据法则、公式定理、定律正确地进行运算，而且要求能够根据题目的条件寻求合理、简捷的运算途径，以达到准确、熟练、迅速的运算目的．
（2）这里的定点问题可以推广，从两个角度：过抛物线上任一点P作抛物线的两条互相垂直的弦PA，PB，则直线AB过定点；另外这里的曲线还可以是其他圆锥曲线．
变式1　已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为、。求证：直线必过定点，并求出定点的坐标．

考点2：定值问题
例2　过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。记、 、的面积分别为、、，求证：为定值．
．

点评　对于证明定值问题往往可以通过对特殊位置，特殊点的分析得到定值，从而给证明带来方向；
变式2　如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值．

A
B
x
y
N
C
O
考点3：探索性问题
例3　在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

练习：1．已知椭圆，若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围．

2．.设是椭圆上的两点，满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．