第十五章分式学案(学生用).doc

第十五章 分式
第一课 分式的概念
一 、研学目标：1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。
2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。
3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。
二、研学重点： 分式的概念和分式有意义的条件。
三．研学难点： 分式的特点和分式有意义的条件。
四、研学过程：
一、 温故：
（1）面积为6平方米的长方形的长3米，则它的宽为________米；
（2）面积为S平方米的长方形的长a米，则它的宽为________米；
（3）体积为200立方厘米的水倒入底面积为33平方厘米的圆柱容器中，水面高度
为 厘米；
（4）体积为V的水倒入底面积为S的圆柱容器中，水面高度为 ；
（5）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是_______元；
二、 知新：
形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
★ 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.
整式和分式统称有理式, 即有：
三、 尝试练习：
例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）； （2）； （3）； （4）.
解：整式有：________________；分式有：_______________.
例2、当取什么值时，下列分式有意义？（分式有意义，必须且只须分母不等于零.）
（1）； （2）. （3）
解： （1）分母≠0，分式有意义.即当≠1时，分式有意义.
（2）分母__________，分式有意义.即当______________时，分式有意义.
（3）分母

例3、x为何值时，下列分式的值为0？
（1） （2） （3）
四、 课堂练习：
1、 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1） （2） （3）(x+y) （4） （5） （6）
解：整式有：________________；分式有：_______________。（填序号）

2、 当___________时，分式 有意义。当___________时，分式 有意义。
3、 当___________时，分式 无意义。当___________时，分式 无意义。
4、 当___________时，分式 的值为零。当__________时，分式 的值为零。
5、 当______________时，分式 的值为零。
五、作业布置
1. 用分式填空：w W w .x K b 1.c o M
（1） 小明t小时走了s千米的路，则他走这段路的平均速度是＿＿＿＿千米/时；
（2） 一货车送货上山，上山速度为x千米/时，下山速度为y千米/时，则该货车的平均速度为＿＿＿＿千米/时.
2. 指出下列有理式中，哪些是分式？
(1)， (2) (x+y)， (3)， (4)， 　(5)，　(6)
解：整式有：________________；分式有：_______________.（填序号）

3. 当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；　　（2）；　（3）； （4）.
解：（1）当__________时，分式 有意义。 （2）当_________时，分式 有意义。
（3）当_________时，分式 有意义。（4）当__________时，分式 有意义。
4、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则小时相遇;若同而行则 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的（　）倍.
Ａ.　　　Ｂ.　　　　Ｃ.　　　Ｄ.
5、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场
6、使分式没有意义的x的取值是（ ）
A.―3 B.―2 C. 3或―2 D. ±3
第十五章 分式
第二课 分式的约分
一、研学目标： 对比分数的基本性质，掌握分式的基本性质，能应用分式的基本性质对分式进行约分。了解最简分式的意义，并能把分式化成最简分式。
二、研学重点：分式的约分。
三、研学难点：利用分式的基本性质把分式化成最简分式。

四、研学过程：
一、 温故而知新：
1、 分数的约分：
（1）=_______; (2) =_______;
★分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的数，分数的值不变。
2、 分式的约分与分数的约分相类似，你能试着对下列分式进行约分吗？
（1） =_______; （2） =_______;
（3） =_______; （4）=_______;
★分式的基本性质：分式的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
★分式约分的方法：
1、（1）当分子和分母的都是单项式时，先找出分子和分母的最大公因式（即系数的__________与相同字母的最___次幂的积）,然后将分子和分母的最大公因式约去。
（2）、当分式的分子和分母是多项式时，应先把多项式_______,
然后约去分子与分母的________。
2、约分后，分子和分母没有_______,称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为_____分式或_____得形式。
★约分的关键在于正确判断分子和分母中有无公因式和正确地找出公因式，有时需要对多项式提取负号或因式分解；
★约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式。
二、即学即练：
例1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：
（1）、 （2）、（3）、（4）— （5） （6）—
解：（1）＝ （2） ＝ （3）＝
（4）—＝ （5） ＝ （6）—
例2 约分X k B 1 . c o m
（1） ； （2） ；（3） ； （5） ；（6）= ；
三、变式提高 约分化简下列各式
1、 2、

3、 4、

四 巩固练习
1 约分：
（1）的公因式是___________，约分的结果是___________.
（2）的公因式是___________，约分的结果是___________.
（3）的公因式是___________，约分的结果是___________.
（4）的公因式是___________，约分的结果是___________.
（5）的公因式是___________，约分的结果是___________.
2、下列约分正确的是（ ）
A B C D
3、下列分式中是最简分式是（ ）
A B C D
4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数(或整数)。
（1） （2） （3）。 (4)

5约分化简下列各式
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

五 作业布置
1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：
（1）= 、（2）—= 。
2、填空：（1）=（2） 、（3）
3. 下列各式中与分式的值相等的是（ ）.
（A） (B) (C) (D)
4．如果分式的值为零，那么x应为（ ）.
（A）1 　　　 （B）-1 　（C）±1 （D）0
5、 下列各式的变形中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6、下列各式的变形：①；②；③；④．其中正确的是（ ）.（A）①②③④ （B）①②③ （C）②③ （D）④
7、下面两位同学做的两种变形,请你判断正误,并说明理由.
甲生：; 乙生：

8、约分：
（1）、 （2）、 （3）、

（4） （5） （6）

第十五章 分式
第三课 分式的通分
一、研学目标：1、了解分式通分的步骤和依据。
2、掌握分式通分的方法。
3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。
二、研学重点：分式的通分。
三、研学难点：准确找出不同分母的分式的最简公分母。
四、研学过程：
一、 温故而知新：
1.分数的通分：
（1）=_______; (2) =_______;
★分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的数，分数的值不变。
2.填空：
（1） （2）
（3） （4）
3.分式的通分与分数的通分相类似，你能试着对下列分式进行通分吗？
（1） （2）
解：（1）最简公分母是 （2）最简公分母是

★分式的基本性质：分式的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。
★利用分式的基本性质，使分子与分母同乘适当的整式，不改变分式的值，化成同分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
例1、分式，，的最简公分母（ ）
A．（x-1）2 B．（x-1）3 C．（x-1）D．（x-1）2（1-x）3
例2、求分式、、的最简公分母 ，并通分。

巩固练习：
1.通分
（1） （2）
解：（1）最简公分母是 （2）最简公分母是
= =
= =
2、约分
（1）＝ （2）＝
（3） ＝ （4）＝
3、通分
（1） （2）

（3） （4）

作业布置
1、通分：（1）、

（2） 、

（3）

2、通分：（1） （2）

（3）

3、 分式的最简公分母是（ ）
Ａ.　Ｂ.　Ｃ.　Ｄ.
3.先约分再计算：
（1） （2）

4.通分并计算：
（1） （2）

第十五章 分式
第四课 分式的乘除法
一、研学目标 1.理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行简单的分式乘除运算；
2.经历探索分式的乘除法运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性。
3培养学生的观察、类比、归纳能力和与同伴合作交流的情感
二、研学重点：掌握分式的乘除运算
三、研学难点：正确运用分式的基本性质约分
四、研学过程
一、温故知新：
与同伴交流，猜一猜 ×＝ ， ÷= ，（ a、c不为 ）
观察上面运算，可知：
分数的乘法法则：_____________________________________
分数的除法法则：_______________________________________
你能用类比的方法的出分式的乘除法法则吗？
分式的乘法法则：_________________________________
分式的除法法则：________________________________

二、
例1、计算：{分式乘法运算,进行约分化简,其结果通常要化成最简分式或整式}
（1）· （2）· （3）

例2 计算：（分式除法运算,先把除法变乘法）
（1）3xy2÷ （2） （3）÷

例3、计算（先把除法变乘法，把分子、分母分解因式约分，然后从左往右依次计算）

三、变式提高
1.先化简后求值: 其中

2.先化简,再求值: 其中X=1+

3、计算（先把除法变乘法，把分子、分母分解因式约分，然后从左往右依次计算）

四、巩固练习：
1、·（-）等于（ ）
A． B．- C． D．
2、÷等于（ ）
A． B． C．- D．-
3、（-）÷6ab的结果是（ ）
A． B．- C．- D．-
4、下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5、计算·的结果是（ ）
A． B． C． D．
6、计算：·． ÷．

7、计算÷．

8、已知．求的值

9、已知：，求：

作业布置：
1、若等于它的倒数，则÷的值是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
2、已知+=，则+等于（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
3、使代数式÷有意义的的值是（ ）
A．x≠3且x≠-2 B．x≠3且x≠4 C．x≠3且x≠-3 D．x≠-2且x≠3且x≠4
4、将分式化简得，则应满足的条件是________．
5、王强到超市买了千克香蕉，用了元钱，又买了千克鲜橙，也用了元
钱，若他要买3千克香蕉2千克鲜橙，共需多少钱？（列代数式表示）．

6、化简：

6、 先化简，再求值：，其中

8、先化简，再求值：
．其中

X|k |B | 1 . c|O |m

第十五章 分式
第五课 分式的乘方
一、研学目标：
1.能应用分式的乘除法，乘方进行混合运算。
2．能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除乘方混合运算。
3．在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。
二、研学重点：掌握分式乘除法法则及其应用
三、研学难点：掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算
四、研学过程：
（一）、温故知新：
1.（1）an表示_______个_____相乘。
（2）am·an=______; （am）n=____ (ab)n=______；am÷an=_______其中a≠0
2比一比：．观察下列运算：
则__________
3归纳：分式的乘方法则：公式：
文字叙述：
请同学们叙述分数乘方乘除混合运算顺序：
分式乘方乘除混合运算法则顺序：
（二）
例1．计算
（1） （2）

例2．计算（1） （2）

变式提高
1．已知：，求的值.

2.已知a2+3a+1=0,求
（1）a+;　　 （2）a2+;　　

3．已知a,b,x,y是有理数，且，
求式子的值.

四、 基础练习：
1、的值是（ ）
A． B．- C． D．-
2、计算得（ ）
A． B． C． D．
3、计算（）·（）÷（-）的结果是（ ）
A． B．- C． D．-
4、的值是（ ）
A． B．- C． D．-
5、化简：等于（ ）
A． B． C． D．
6、计算：

7、计算： ÷（x+3）·；

8、计算：÷·．

9、如果，那么等于（ ）
A．6 B．9 C．12 D．81

10、先化简，再求值：新| 课 |标|第 |一| 网
÷（·）．其中=-．

11、已知．求÷[（）·（）]的值．

作业布置
1．化简的结果为
2．若分式有意义，则x的取值范围是
3．有这样一道题：“计算的值，其中”甲同学把“”
错抄成“”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？

4.计算
（1）

（2）-

第十五章 分式
第六课 同分母的分式加减法
一、研学目标：1、 经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理
2、 会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力
3、不断与分数情形类比以加深对新知识的理解
二、研学重点：同分母分数的加减法
三、研学难点：通分后对分式的化简
四、研学过程：
（一）、温故知新：
1.计算并回答下列问题
（1） （2） （3） （4）
2.类比分数的加减法，分式的加减法法则是：
同分母的分式相加减：
异分母的分式相加减：先 ，化为 分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
分式加减的结果要化为
3、把上述的结论用式子表示出来
例1、计算：（1）；　　 （2）.
解：（1）原式= （2）原式=
= =

＝ ＝

例2. 计算：
（1）．-－ (2)

1．填空：（1）= ；（2）= ；
（3）= .
2．计算：（1）　 （2）

解：（1）原式= 解（2）原式=

课堂练习
1、填空：（1）= ；（2）= ；
2、计算：（1）； （2）.

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

3、计算：
（1） （2）（先约分）

（3） （4）

（5）+； （6）+-
作业布置
1、填空题
(1) = ； (2) = ；
（3）（4）式子的最简公分母___________
2、在下面的计算中，正确的是（ ）
A.+ = B.＋= C.－= D.＋=0
3、化简的结果是( )
(A) (B) (C) (D)
4、甲、乙2港分别位于长江的上、下游，相距s km，一艘游轮往返其间，如果游轮在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，那么该游轮往返2港的时间差是多少？

5、 计算：

（3） (4)

第十五章 分式
第七课 异分母的分式加减法
一、研学目标：1、分式的加减法法则的应用。
2、经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理
3、结合已有的数学经验解决新问题，获得成就感。
二、研学重点：异分母分式的加减混合运算及其应用。
三、研学难点：化异分母分式为同分母分式的过程；
四、学教过程
一、温故知新：
1、计算：（1）+= （2）- = ．
（3） （4） .
2、计算：（5）= （6）=
（7）＝ . （8）＝
3．什么是最简公分母？
4.下列分式，，的最简公分母为（ ）
A．（x-1）2 B．（x-1）3 C．（x-1） D．（x-1）2（1-x）
异分母分式相加减，需要先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
例4计算：

异分母的分式 转化 同分母的分式
的加减 通分 的加减
注意： （1）通分的关键是找最简公分母
（2）分子相加减时，如果被减式分子是一个多项式，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误：分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。
二、尝试练习
例1：计算
解：原式＝ 解：原式=
＝ ＝
＝ ＝

例3：计算
解：原式==

课堂练习X|k |B | 1 . c|O |m
1．计算：（1） （2）

（3）－；　　 　　（4）－；

（5） （6）

2、计算：-． 3、计算：．

4、先化简，再求值:-+，其中=．

5、已知，，求+的值．

作业布置
1、填空 （1）（2）式子的最简公分母
2、下列各式中正确的是( )
(A) ； (B) ；
(C) ； (D)
3、阅读下面题目的运算过程w W w .x K b 1.c o M
①
②
③
④

上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号___________. (1)错误的 原因_________.
(2) 本题正确的结论_____________.
4、计算 （1）

（3） — （4）

5、观察下列等式：，，，……
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性

第十五章 分式
第八课 分式的混合运算
一、研学目标：1.灵活应用分式的加减法法则。
2会进行比较简单的分式加减乘除混合运算。
3．结合已有的数学经验解决新问题，获得成就感和克服困难的方法和勇气。
二、研学重点：分式的加减乘除混合运算及其应用。
三。、研学难点：分式加减乘除混合运算。
四、研学过程：
（一）、课前复习：
计算 = = =
=
（二）、新课学习：
例1 计算：（1）（） （2）
解：原式＝ 解：原式＝

例2 计算（1） （2）

例3 计算 ⑵

课堂练习
1. 计算（1） （2）（

（3 （4）

（5） （6）

w W w .x K b 1.c o M

2.计算：（1）1（） （2）（）

（3） （4）

3、计算：
（1） （2）

作业布置
1.计算
⑴ ⑵ （3） （4）；

2.先化简，再把X取一个你最喜欢的数代人求值：

3．阅读下面题目的运算过程
①
②
③
④

上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号___________. (1)错误的 原因____________________.
(2) 本题正确的结论_____________.
4、观察下列等式：，，，……
（1）猜想并写出第5个等式_________；第n个等式___________________
（2）证明你写出的等式的正确性;
第十五章 分式
第九课 整数指数幂
一、研学目标：1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.
2．掌握负整数指数幂的运算性质.
二、研学重点：掌握整数指数幂的运算性质.
三、研学难点：灵活运用负整数指数幂的运算性质
四、研学过程：
（一）正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：
（2）幂的乘方：
（3）积的乘方：
（4）同底数的幂的除法：
（5）商的乘方：
（6）0指数幂，即当a≠____时，.
（二）探索新知：
1、 在中，当=时，产生0次幂，即当a≠0时，。那么当＜时，会出现怎样的情况呢？我们来讨论下面的问题：
（1）计算：
由此得出：________________。
（2）当a≠0时，== =_______=______= 由此得到 ：________（a≠0）。
小结：负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0）.
二、例题讲解：
例1：计算：
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
例2 计算：（1）； （2）.

变式提高
1、若， ，，
A．＜＜＜ B．＜＜＜ C．＜＜＜ D．＜＜＜
2、。已知，，，则 的大小关系是（ ）
A． ＞＞ B．＞＞ C．＞ ＞ D． ＞＞
课堂练习：
1、判断：（对的打√，错的打×）
（1） （2）
（3） （4）
（5）； （ ） （6）(a·b)-3=a-3b-3； （ ）
（7）(a-3)2=a(-3)×2 （ ） （8） ； （ ）
3、计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ；（5） ； （6） ；
4、计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5）= ； （6） ；
5、给出的下列式子：①；②；③；④
（5）；（6）.其中正确的个数为（ ）
A .3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
6（1）成立的条件是 ；
（2） 成立的条件是 ；. .
7、 （1） =； （2）若 ；
8. 计算：（1）； （2）；

（3）； （4）.

9. 计算：（1）； （2）；

（3）； （4）；

作业布置
1、（1）= ； (2) = ；
2、（1）将的结果写成只含有正整数指数幂的形式。

3.计算：
（1） （2）
.

（3） （4）

(5) （4）

4、已知有意义，求、的取值范围。

5．

第十五章 分式
第十课 科学记数法
一、研学目标：1、巩固同底数幂的除法和零指数幂、负整指数幂运算法则；
2、会用科学计数法表示小于1的数
二、学教重点、难点：会用科学计数法表示小于1的数.
三、研学过程：
1 用科学记数法表示下列各数：
⑴989 ⑵ －135200 （3）864000

把一个绝对值大于10的数表式成的形式，其中是正整数，1≤＜10。
同样，也可以利用10的负整数次幂用科学计数法表示一些绝对值较小的数，将他们表示成的形式。其中是正整数，1≤＜10。
2 如用科学记数法表示下列各数：
⑴ 0.00002； ⑵ －0.000034 ⑶ 0.0234

3、概括：
科学记数法有两种形式：
1、 对于绝对值大于1的数，可表示为，
n=位数-1。例如：1230000=1.23
对于绝对值小于1的数，可表示为n=第一个不是0的数前面的零的个数。例如：0.0000013=1.3。
课堂练习：
1、用科学记数法表示下列各数：
（1）86400= （2）103000000=
（3）3466.53亿元= 亿元= 元
（4）一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示。
解：1纳米=
35纳米==
（5）0.000021= ; (6) 0.000101= ；
2、用科学记数法表示；
（1）0.00003 = （2）-0.0000064 =
（3）－0.0000314 = （4）0.0020100=
（5）2013000= （6）2580000＝
3、（1）若，则 ；
（2）若6.7310.0006731，则 .
（3）若，则 ，
4、单位换算：
（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微妙= 秒；
（2）1毫克= 千克； （3）1微米= 米；
（4）1纳米= 微米；（5）1毫升= 立方米；
5、已知空气的单位体积质量是0.001239克/厘米3，试用科学记数法表示为：____________克/厘米3 。新| 课 |标|第 |一| 网
6、一种细菌的半径是米，用小数表示为 米。
7、德国著名物理学家普朗克发现：能量子=。这里德h称为普朗克常数，约为0.000000000000000000000000000000000663焦.秒，用科学记数法可简洁地记为 ：
焦.秒。

作业布置
(1)近似数0.230万精确到 位，用科学技术法表示该数为
(2)把0.00000000120用科学计数法表示为（ ）
A