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第二章 匀变速直线运动的研究
2.4 匀变速直线运动的速度与位移的关系
※知识点一、匀变速直线运动的速度与位移的关系
★匀变速直线运动的速度与位移关系式的推导
★匀变速直线运动位移与速度的关系
v v2= ax
2 2
0
1. 该公式只适用匀变速直线运动。
2. 该公式是矢量式，有大小和方向，因为 v、v a x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。
、、 （一般
0
以 v的方向为正方向）
0
(1) 物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。
(2) x> ，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x< ，说明位移的方向与初速度的方向相
位移 0 0
反。
3. 特例：
(1) 当初速度 v＝ 0 时，
v ax
0
2=2
物体做初速度为零的匀加速直线运动，如自由下落问题。
(2) 末速度 v＝0时， 当 v2= ax 2
0
物体做匀减速直线运动直到静止，如刹车问题。
4. 代入数据时，各物理量的单位要统一（用国际单位制） 。
【典型例题】
【例题 1 有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的 】
最大加速度为 5.0 2， 飞机的速度达到 50 时才能离开航空母舰起飞． 航空母舰处于静止状态．
m/s 当 m/s 设 问：
(1) 求该飞机滑行 160后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
若要 m
(2) 舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，问该舰身长至少应 为多长？ 若某
【答案】 (1)30 (2)250 m m/s
【针对训练】在某城市的一条道路上，规定车辆行驶速度不得超过 30km/h次交通事故中，肇事车是 。在一
一辆客车，量得这辆车紧急刹车( 轮被抱死) 留下的刹车痕迹长为 7.6m( ) 已知该客车刹车时的
车
加速度大小为 7m/s 判断该车是否超速？
时
如下图 ，
2。请
【解析】已知刹车距离 x 7.6m
＝ ；刹车时加速度 a 7m/s 车的末速度 v 0
由匀变速直线运动位移与速度的关系
＝
2客 ，
＝。
v－v 2 得：
2 ＝ ax
0 v2＝2 ( 7)7.6m －106.4m
－0 ×－ × 22
/s ＝
22 /s
解得：v＝10.3m/s ＞30k
»37.1km/h m/h
0
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所以该客车超速。
※知识点二、匀变速 直线运动的常用推论
★平均速度公式
(1) 公式： v＝ x ＝v ＝ 0 2 t. v＋v
t
t
2
(2) 含义：匀变速直线运动在某时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，并等于这段时间内初
速度和末速度的算术平均值．
★匀变速直线运动的中间位置速度
推论：在匀变速直线运动重，某段位移中间位置的瞬时速度与这段位移的初速度和末速度之间的关系：
★在连续相同相邻时间内的位移之差是定值
结论：匀变速直线运动，在连续相同相邻时间内的位移之差是定值，即 Dx = aT 2
【典型例题】
【例题 2】一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过 3 s 后到达斜面底端，并在水平地面
上做匀减速直线运动，又经 9 停止，则物体在斜面上的位移与在水平面上的 位移之比是( s )
A 1：1 ． ．1：2 B
C 1：3 ． ．3 1 ： D
【答案】 C
【例题 3 从斜面上某一位置每隔 0.1 s释放一个小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后， 】
对在斜面上滑动的小球拍下如图所示的照片，测得 x＝15 cmx＝20 cm. 的加速度和拍摄时小球 B的 小球
AB ， BC
速度分别为( )
A 30 m/sm/s
．
2, 3
B 5 m/sm/s
．
2, 2
C 5 m/s
．
2, 1.75 m/s D 30 m/s m/s
【答案】C
．
2, 1.75
【解析】小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为 0.1 s可以认为 A
， 、
B C D各点是一个小球在不同时刻的位置． 、、
(1) 由推论 D x aT 知，小球加速度为 ＝ 2可
a DT＝x－x＝20×10 0.115×10
x BC AB
－ 2－
－2
＝2
m/s m/s
T2
2
2＝5
2.
(2) 意知 B点是 AC
由题 段的中间时刻，可知 B点的速度等于 AC 段上的平均速度，即
v＝ vAC x ＝20×102×0.1×10 －2＋15 －2
＝2AC m/s
B T
＝1.75 m/s.
【例题 4 如图所示，一滑雪运动员从 85m长的山坡上匀加速滑下，初速度是 1.8m/s
】 ，末速度是 5.0 m/s ，
滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
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思路图解：
方法二 利用公式 v－v＝2ax v v＋at
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2 2
0 和 ＝0 求解
由公式 v－v＝2ax
2 2 得加速度
0
a v－v＝5.0 1.8 m/s
2 2 2－ 2
＝ 2x0 2＝0.128 2 m/s 2×85
v v 5.01.8
－ －
由公式 v v＋at
＝0 得需要的时间 t a0＝ 0.128 s25 s
＝ ＝
v＋v
方法三 根据公式 x 02 ·t求解 ＝
v＋v 2x 2×85
由 x 02 ·t得 t v＋v 1.85.0 s25 s
＝
＝
0
＝
＋
＝
※知识点三、初速度为零的匀变速直线运动的常用推论
(1)1 2T末、3 末、¼、nT
T末、 T 末瞬时速度之比
v∶v∶v∶¼∶v＝1 2∶3
∶ ∶¼∶n
1 2 3 n
(2)1 2T内、3 内、¼、nT
T内、 T 内的位移之比
x∶x∶x∶¼∶x＝1∶22∶3∶¼∶n
2 2 2
1 2 3 n
(3) 第一个 T内，第二个 T内，第三个 T内，¼，第 n个 T内位移之比
x∶x∶x∶¼∶x＝1 3 5∶¼∶(2－1)
∶∶ n
1 Ⅱ Ⅲ n
(4) 通过前 x 、前 2x 、前 3¼位移时的速度之比 x
v∶v∶v∶¼∶v＝1 2∶ 3
∶ ∶¼∶ n
1 2 3 n
(5) 通过前 x 、前 2x 、前 3¼的位移所用时间之比 x
t∶t∶t∶¼∶t＝1 2∶ 3
∶ ∶¼∶ n
1 2 3 n
(6) 通过连续相等的位移所用时间之比
t∶t∶t∶¼∶t＝1 ( 2－1)( 3 2)
∶ ∶ － ∶¼∶( n n 1) －－
Ⅰ Ⅱ Ⅲ n
【典型例题】
【例题 5】一个由静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起连续发生 3段位移，在这 3段位移中所
用的时间分别是 1 s,2 s,3段位移的大小之比和这 3段位移上的平均速度之比分别为( ，这 3 s )
A 1 8∶27 1 2∶3
．∶ ；∶
B 1 8∶27 1 4 9
．∶ ；∶∶
C 1 2∶3 1 1 1
．∶ ；∶∶
D 1 3 5；1 2∶3
．∶∶ ∶
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