概率论与数理统计课件3.1随机变量及其分布.pptx

#,3.1,二维随机变量及其分布,延迟符,例如,抽样调查,15-18,岁青少年的,身高,X,与体重,Y,，,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,飞机的重心在空中的位置是由三,个随机变量,(,三个坐标,),（,X,，,Y,，,Z,）来确定的等等,.,概率论与数理统计,概率论与数理统计,一般地,设,是,一个随机试验,它的样本空间是,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,量,叫做,维,随机向量,或,维随机变,量,.,以下重点讨论二维随机变量,.,延迟符,二维随机变量的分布函数,定义,设,(,X,Y,),是二维随机变量，对于任意,实数,x,y,，二元函数,称为二维随机变量,(X,Y),的,联合分布函数,，简称为（,X,Y,),的,分布函数,.,分布函数的函数值的几何解释,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么分布函数,在点 处的函数值就是随机点 落在,下面图,所,示的,以,点 为顶点,而,位于,该点,左下方的,无穷,矩形,域,内的概率,.,概率论与数理统计,(1),F,(,x,y,),分别,关于,x,和,y,单调,不减,.,概率论与数理统计,分布函数,F,(,x,，,y,),的性质,(3),F,(,x,y,),关于,x,或,y,都是右连续的，即,概率论与数理统计,(4),对任意的 有,证,：,x,1,x,2,y,1,y,2,概率论与数理统计,设,二,维,随机变量,的分布函数为,则有,概率论与数理统计,延迟符,二维离散型随机变量,定义,若二维 随机变量,(,X,Y,),的所有可能的取值是有限对或可列无限对不同值，则称,(,X,Y,),是,二维离散型随机变量,.,称,为,(,X,Y,),的,分布律,，或,X,与,Y,的,联合分布律,.,二维离散型随机向量,(,X,Y,),的分布律可用下列表格给出,X,Y,x,1,x,2,.,.,.,x,i,.,.,.,y,1,y,2,.,y,j,p,11,p,21,.,.,.,p,i,1,.,.,.,p,12,p,22,.,.,.,p,i,2,.,.,.,p,1,j,p,2,j,.,.,.,p,ij,.,.,.,概率论与数理统计,二维离散型随机变量 的,分布律,具有性质,概率论与数理统计,例,把一枚均匀硬币抛掷三次，设,X,为三次抛掷中正面出现的次数，而,Y,为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求,(,X,Y,),的分布律,.,解,X,可取值,0,1,2,3,，,Y,可取值,1,3,概率论与数理统计,X,-1,0,1,Y,0 1 2,0.05 0.1 0.1,0.1 0.2 0.1,a,0.2 0.05,求,:(1),常数,a,的取值,;,(2),P,X,0,Y,1;,(3),P,X,1,Y,1.,例,(,X,Y,),的分布律为,解,(1),由,p,ij,=1,得,:,a,=0.1,概率论与数理统计,(2),P,X,0,Y,1,=,P,X,=0,Y,=0+,P,X,=0,Y,=1,+,P,X,=1,Y,=0+,P,X,=1,Y,=1,=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6,(3),P,X,1,Y,1,+,P,X,=0,Y,=1+,P,X,=1,Y,=0+,P,X,=1,Y,=1,=0.75,=,P,X,=-,1,Y,=0+,P,X,=-,1,Y,=1+,P,X,=0,Y,=0,X,-1,0,1,Y 0 1 2,0.05 0.1 0.1,0.1 0.2 0.1,a,0.2 0.05,概率论与数理统计,二维连续型随机变量,定义,设,二维,随机变量 的,联合分布,函数为 ，,若存在非负可积,函数 ，,使得对于任意,实数 ，,都有,则称,(,X,Y,),为二维连续型随机变量,，函数,f,(,x,y,),称为,(,X,Y,),的概率密度,或,X,与,Y,联合概率密度,.,(,X,Y,),的,概率密度,f,(,x,y,),的性质：,（,1,）,非负性,（,2,）归一性,（,3,）,当,f,(,x,y,),连续,时，,概率论与数理统计,（,4,）若,D,是,O,xy,平面上的任一区域，则随机点,(,X,Y,),落在,D,内的概率为：,概率论与数理统计,在几何上,，上式,表示随机点,(,X,Y,),落入区域,D,内的概率,等于以,D,为底，以,曲面 为,顶的曲顶柱体的,体积,.,解,(1),由,得,所以,k,=6,1,概率论与数理统计,(2),x,y,1/2,o,概率论与数理统计,例,:,设二维随机向量,(,X,Y),的分布函数为,(1),求概率密度,f,(,x,y,);(2),求概率,P,Y,X,.,解,(1),由分布函数的性质有,概率论与数理统计,(2),概率论与数理统计,常见的两种二维连续型随机变量的分布,(,一,),均匀分布,定义,设,D,是平面上的有界区域，其面积为,A,，若二维随机变量,(X,Y),的概率密度为,则称,(X,Y),服从区域,D,上的,均匀分布,.,概率论与数理统计,(,二,),二,维正态分布,定义,如果,(X,Y),的联合密度函数为,其中,1,2,1,0,2,0,(|,|1,),为常数,.,则称,(X,Y),服从参数为,1,2,1,2,的二维正态分布,记为,概率论与数理统计,