第10章-正交编码与伪随机序列v3.ppt

,通信原理,(,第,6,版,),单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,通信原理,第,10,章 正交编码与伪随机序列,2025/3/7 周五,2,10.1,引言,2025/3/7 周五,正交编码不仅可以用于提高数字通信系统的可靠性，还可以用来实现码分多址，在移动蜂窝通信中广泛应用。伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩谱通信和保密通信等领域都有着十分广泛的应用。,3,2025/3/7 周五,10.2,正交编码的基本概念和常见的正交编码,10.2.1,正交编码的基本概念,设码长为,n,的编码中码元只取值,+1,和,-1,。如果,x,和,y,是其中的两个码组：,x,=(,x,1,x,2,x,n,),，,y,=(,y,1,y,2,y,n,),，其中，,x,i,y,i,+1,-1,，,i,=1,2,n,，则码组,x,和,y,的互相关系数被定义为,如果码组,x,和,y,正交，则,(,x,y,)=0,。,4,2025/3/7 周五,10.2.1,正交编码的基本概念,(,续,),这,4,个码组中任意两者之间的相关系数都为,0,，即这,4,个码组两两正交。我们把这种两两正交的编码称为,正交编码,。,5,2025/3/7 周五,10.2.1,正交编码的基本概念,(,续,),一个长为,n,的码组,x,的自相关系数被定义为,其中，,x,的下标按模,n,运算，即,x,n,k,x,k,。,举例,：,如果数组,x,=(,x,1,x,2,x,3,x,4,)=(1,1,-1,-1),，则,6,2025/3/7 周五,10.2.1,正交编码的基本概念,(,续,),在二进制编码理论中，常采用二进制数字“,0,”和“,1,”表示码元的可能取值。若规定用二进制数字,“0”,代替上述码组中的“,-1,”，用二进制数字“,1,”代替“,+1,”，则码组,x,和,y,的,互相关系数,被定义为,其中，,a,表示码组,x,和,y,中对应码元相同的个数，,b,表示码组,x,和,y,中对应码元不同的个数。,7,2025/3/7 周五,10.2.1,正交编码的基本概念,(,续,),若两个码组间的互相关系数,0,，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任意两码组之间均,超正交,，则称这种编码为,超正交码,。例如，对于,3,个码组：,x,1,=(+1,+1,+1),，,x,2,=(+1,-1,-1),，,x,3,=(-1,-1,+1),，由它们构成的编码是超正交码。,由正交编码和其反码构成的编码就是,双正交编码,。,10.2.2,常见的正交编码,常见的正交编码有,Hadamard,码矩阵、,Walsh,矩阵和伪随机序列等。,8,2025/3/7 周五,10.2.2,常见的正交编码,(,续,),1.,Hadamard,码矩阵,Hadamard,码矩阵是法国数学家,M.J.Hadamard,于,1893,年首先构造出来的一种方阵，仅由元素,+1,和,-1,构成，而且其任意两行,(,列,),之间是互相正交的，简记为,H,矩阵。,H,矩阵的最低阶数为,2,，即,为,了简便起见，把上式中的,1,和,1,简写为和，上式就表示为,9,2025/3/7 周五,10.2.2,常见的正交编码,(,续,),阶,数为,2,k,的高阶,H,矩阵从下列递推关系得出,其中，,k,为正整数，,是直积运算。上式的直积运算是指将矩阵,H,k/2,中的每一个元素用矩阵,H,2,代替，比如，,10,2025/3/7 周五,10.2.2,常见的正交编码,(,续,),H,2,矩阵、,H,4,矩阵和,H,8,矩阵都是对称矩阵，而且第一行和第一列的元素全为“”，我们把这样的,H,矩阵称为,Hadamard,码矩阵的正规形式，或称为,正规,Hadamard,码矩阵,。,11,2025/3/7 周五,10.2.2,常见的正交编码,(,续,),按照递推关系式可以构造出所有,2,k,阶的,H,矩阵。可以证明，高于,2,阶的,H,矩阵的阶数一定是,4,的倍数。,H,矩阵是正交方阵。如果把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相正交的，而整个,H,矩阵就是一种码长为,n,的正交编码，它包含,n,个码组。因为长度为,n,的编码共有,2,n,个不同码组，如果只将这,n,个码组作为许用码组，其余,(2,n,-,n,),个为禁用码组，则可以将其多余度用来纠错。这种编码在纠错编码理论中称为,Reed-Muller,码,。,12,2025/3/7 周五,10.2.2,常见的正交编码,(,续,),2.,Walsh,矩阵,Walsh,函数的定义常用三角函数法、拉德马赫函数乘积表示法、,Hadamard,矩阵表示法和递推公式法等。这里介绍,Walsh,函数的递推公式,形式，其定义为,其中，,j,=0,1,2,q=0,或,1,，,j,/2,表示,j,/2,的整数部分。,13,2025/3/7 周五,10.2.2,常见的正交编码,(,续,),为了便于理解，做以下几点说明：,(1),当把,Wal(,j,t,),改成,Wal(,j,2,t,),时，表示保持波形相对形状不变，只是将时基从,-1/2,t,1/2,压缩到,-1/4,t,1/4,；,(2),当把,Wal(,j,2,t,),改成,Wal,j,2(,t,1/4),时，表示保持波形相对形状不变，只是将波形向左,(,对应“,+,”号,),或向右,(,对应“,-,”号,),平移,1/4,。,例如,，,Wal(5,t,),应该根据,Wal(2,t,),递推出来，此时，,k,=5,j,=2,q,=1,j,/2=1,。,14,2025/3/7 周五,10.2.2,常见的正交编码,(,续,),15,2025/3/7 周五,10.2.2,常见的正交编码,(,续,),16,2025/3/7 周五,10.2.2,常见的正交编码,(,续,),前八个,Walsh,函数中的任意两个函数都是正交的。将前,N,个,Walsh,函数在等距的,N,个点抽样，再将抽样值写成矩阵形式，即得,N,N,矩阵。例如，,N=8,时，可以得到,8 8,矩阵：,如果把,Walsh,矩阵的每一行作为一个码组，就得到,Walsh,编码,。,17,2025/3/7 周五,10.3,伪随机序列,伪随机序列具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又能够重复产生,。,目前广泛应用的伪随机噪声都是由周期性数字序列经过滤波等处理后得出的。我们将这种周期性数字序列称为伪随机序列，它有时又被称为,伪随机信号和伪随机码,。,常用的伪随机序列有,m,序列、,M,序列、二次剩余序列和双素数序列。,18,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,m,序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，它是由带线性反馈移存器产生的,周期最长的一种序列,。一个,4,级线性反馈移存器如图,10-3,所示，其中的,表示模,2,加。,19,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),设,4,个寄存器的初始状态为为,(,a,3,a,2,a,1,a,0,)=(1,0,0,0),，则在移位,1,次时，由,a,3,和,a,0,模,2,相加，作为,a,3,新的输入,a,3,=1,0=1,，新的状态变为,(,a,3,a,3,a,2,a,1,)=(1,1,0,0),。这样移位,15,次后又回到初始状态,(1,0,0,0),。,产生的随机序列,b,n,n,=0,1,2,=0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,。,如果初始状态为全“,0,”，即,(,a,3,a,2,a,1,a,0,)=(0,0,0,0),，则移位后得到的仍为全“,0,”状态，应该避免。,除全“,0,”状态外，只剩,15,种状态可用,，,由任何,4,级反馈移存器产生的序列的,周期最长为,15,。,20,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),一个,n,级线性反馈移存器可能产生的最长周期等于,(2,n,-1),。这种最长的序列称为最长线性反馈移存器序列，就是,m,序列,。,一般的线性反馈移存器原理方框图如图,10-4,所示，其中，各级移存器的状态用,a,i,表示，,a,i,=0,或,1,，,i,为非负整数。反馈线的连接状态用,c,i,表示，,c,i,1,表示此线接通，,c,i,0,表示此线断开。反馈线的连接状态不同，输出序列的周期就可能不同。,21,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),寄存器,a,n-1,的新状态为,22,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),c,i,的取值决定了移存器的反馈连接和序列的周期长度，故,c,i,是一个很重要的参量。现在将它们与一个,n,阶方程一一对应，让它们在为,n,阶方程的系数，即,这个,n,阶方程被称为,特征方程或特征多项式,。,任何一个寄存器的输出都可以作为一个伪随机序列。如果我们把寄存器,a,n-1,的输出序列,a,n,n,=0,1,2,的每个元素与一个代数方程建立一一对应的关系，即,母函数,23,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),定理,10-1,如果多项式,u,(,x,),的阶数低于特征方程,f,(,x,),的阶数，该特征方程,f,(,x,),对应的母函数为,G,(,x,),，则,证明,24,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),当电路给定后，,h,(,x,),仅决定于寄存器初始状态,(,a,-i,，,a,-i,+1,a,-1,),。如果,a,1,=1,，则,h,(,x,),的阶数为,(,n,1),；若,a,1,=0,，则,h,(,x,),的阶数,0,，,f,2,(,x,),的阶数为,n,2,，,n,2,0,，则,n,1,+,n,2,=,n,。母函数,G,(,x,),可以看成是两个母函数,G,1,(,x,),和,G,2,(,x,),之和，其中,G,1,(,x,),是由特征多项式,f,1,(,x,),产生的，,G,2,(,x,),是由特征多项式,f,2,(,x,),产生的。由定理,10-2,可知，,G,1,(,x,),对应的输出序列的最长周期为,G,2,(,x,),对应的输出序列的最长周期为,G,(,x,),对应的输出序列的最长周期,p,应是,p,1,和,p,2,的最小公倍数,LCM,p,1,p,2,，即,28,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),这与定理已知条件,p,=2,n,-1,矛盾。因此，特征多项式,f,(,x,),应为阶数位,n,的既约多项式。,定理,10-4,如果,n,级线性反馈移存器的特征多项式,f,(,x,),是既约的，则由其产生的序列,A,=,a,k,k,=0,1,2,的周期等于使,(,x,p,+1),被,f,(,x,),整除的最小正整数,p,。,证明,如果序列,A,具有周期,p,，则母函数,29,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),30,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),设,(,x,p,+1),被,f,(,x,),整除的商为,不妨考虑一种具体的初始状态，,a,1,a,2,a,n,1,0,，,a,n,1,，则,31,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),序列,A,的周期为,p,或,p,的某个因子。若,A,以,p,的某个因子,p,1,为周期，,p,1,p,，则由定理,10-4,可知，,(,x,p,1,+1),必能被,f,(,x,),整除。所以，序列,A,=,a,k,k,=0,1,2,的周期等于使,(,x,p,+1),被,f,(,x,),整除的,最小正整数,p,。,若一个,n,次多项式,f,(,x,),满足下列条件：,(1),f,(,x,),为既约的；,(2),f,(,x,),可整除,(,x,p,+1),，,p,=2,n,1,，,n,为正整数。,(3),f,(,x,),除不尽,(,x,q,+1),，,q,p,；,则称,f,(,x,),为,本原多项式,。,由定理,10-4,可知，一个线性反馈移存器能产生,m,序列的充要条件,为：线性反馈移存器的特征多项式为本原多项式。,32,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),例,10-1,用一个,4,级线性反馈移存器产生,m,序列，试求其特征多项式。,解,线性反馈移存器产生的,m,序列的周期为,p,=2,n,1=15,。由于其特征多项式,f,(,x,),应可整除,(,x,p,+1)=(,x,15,+1),。换言之，特征多项式,f,(,x,),应该是,(,x,15,+1),的一个因子。由于,f,(,x,),不仅应为,(,x,15,+1),的一个因子，而且还应该是一个,4,次本原多项式。上式表明，,(,x,15,+1),可以分解为,5,个既约因子，其中,3,个是,4,次多项式。,33,2025/3/7 周五,10.3.1 m,序列的产生,(,续,),34,2025/3/7 周五,10.3.2 m,序列的性质,1.,均衡性,在,m,序列的一个周期中，,“1”,和,“0”,的数目基本相等。准确地说，,“1”,的个数比,“0”,的个数多一个。,2.,游程分布规律,把序列中取值相同的那些相继的,(,连在一起的,),元素合称为一个,“,游程,”,。在一个游程中元素的个数称为游程长度。,35,2025/3/7 周五,10.3.2 m,序列的性质,在其一个周期,(,m,个元素,),中，共有,8,个游程，其中长度为,4,的游程有,1,个，即,“1 1 1 1”,，长度为,3,的游程有,1,个，即,“0 0 0”,，长度为,2,的游程有,2,个，即,“1 1”,和,“0 0”,，长度为,1,的游程有,4,个，即两个,“1”,和两个,“0”,。,一般说来，在,m,序列中，长度为,1,的游程占游程总数的,1/2,；长度为,2,的游程占游程总数的,1/4,；长度为,3,的游程占,1/8,；以此类推。,严格讲，长度为,k,的游程数目占游程总数的,2,-,k,，其中,1,k,(,n,-1),。而且在长度为,k,的游程中,其中,1,k,(,n,-2),，连“,1”,的游程和连“,0”,的游程各占一半。,36,2025/3/7 周五,10.3.2 m,序列的性质,3.,移位相加特性,一个,m,序列,A,与其经过任意次延迟移位产生的另一个不同序列,B,模,2,相加，得到的仍是,A,的某次延迟移位序列,C,，即,A,B,=,C,4.,自相关函数,m,序列的自相关函数可以定义为,其中，,A,和,D,分别是,m,序列与其,j,次移位序列在一个周期中对应元素相同的数目和不同的数目，,m,是,m,序列的周期长度。,37,2025/3/7 周五,10.3.2 m,序列的性质,由,m,序列的均衡性可知，,m,序列一个周期中,“0”,的数目比,“1”,的数目少一个。所以，上式分子等于,1,。于是，,若把,m,序列当作周期为,T,的连续函数,s,(,t,),，则其自相关函数为,38,2025/3/7 周五,10.3.2 m,序列的性质,5.,功率谱密度,信号的自相关函数与功率谱密度构成一对傅里叶变换。,m,序列的功率谱密度为,39,2025/3/7 周五,10.3.2 m,序列的性质,6.,伪噪声特性,如果对一正态分布白噪声取样，若取样值为正，则记为“”；若取样值为负，则记为“”。将每次取样所得极性排成序列，具有如下,3,个基本性质：,(1),序列中“”和“”的出现概率相等；,(2)“,”,游程和,“,”,游程约各占一半；,(3),功率谱密度为常数，自相关函数为一冲激函数,(,),。,从上述,3,个性质来说，,m,序列与上述随机序列极相似，所以，通常将,m,序列称为伪噪声,(PN),序列或伪随机序列。,40,2025/3/7 周五,10.4,扩频通信,扩展频谱是指将信号的频谱扩展至很宽的频带，简称扩频。扩展频谱通信系统中的已调波的频谱宽度有可能是基带信号带宽的几十倍、几百倍、甚至上千倍。,扩频技术一般包括三种：直接序列扩频、跳频扩频和线性调频。直接序列扩谱通常用一段伪随机序列表示一个信息码元，然后对载波进行调制。伪随机序列的一个单元称为一个码片。由于码片的速率远高于信息码元的速率，所以已调信号的频谱得到扩展。,41,2025/3/7 周五,10.4,扩频通信,(,续,),跳频扩谱使发射机的载频在一个信息码元的时间内，按照预定的规律，离散地快速跳变，从而达到扩谱的目的。载频跳变的规律一般也是由伪码控制的。在一个信息码元时间内，线性调频的载频在一个宽的频段中线性变化，从而使信号带宽得到扩展。如果线性调频信号工作在低频范围，则它听起来像鸟声，故又称“鸟声”调制。,扩频的目的在于：,(1),提高抗窄带干扰的能力，特别是提高抗有意干扰的能力。,(2),防止窃听。,42,2025/3/7 周五,10.4,扩频通信,(,续,),(3),提高抗多径效应的能力。,(4),多个用户可以共用同一频带。,(5),提供测距能力。,43,2025/3/7 周五,10.4,扩频通信,(,续,),