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如何把一个正整数拆分成几个连续自然数的和王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)1.拆分定理及证明如何把一个正整数拆分为个连续自然数的和呢?定理：若正整数M能拆分成个连续自然数的和，则M= ，其中是自然数。证明：设把正整数M分拆为连续自然数n, n+1 ,，n+()这个数的和，由等差数列求和公式知：应有M=。设是奇数，则是整数，那么与都是整数，由M=知，M必是的倍数(否则无解)，M=，即有：n=。这时由M= n+(n+1 )+n+()就有：M = ，其中是自然数。设是偶数，则应有M=，由不是整数知，不是整数，所以M不是的倍数。设，则M=，与都是正整数， M必是的倍数(否则无解)，Mm=2n+2m1，即=2n + 1，n= 。这时由M= n+(n+1 )+n+()就有：M = ，其中是自然数。所以，把M拆分成( 。若是奇数，则M是的倍数；若是偶数，则M不是的倍数，但2M是的倍数)个连续自然数的和，则，即M=，其中是自然数。由于是自然数，即0，简化为2M(1)，推出。必要条件即( 表示的整数部分)便于应用。如何把正整数M拆分为个连续自然数的和呢?首先确定M大于2小于的奇约数；其次确定2M大于2小于的符合条件的偶约数：不是M的约数，但是2M的约数。确定以后, 再运用定理。2.拆分定理的应用例1 把15拆分成个连续自然数的和。解：M=15，6。首先确定15大于2小于7的奇约数有 3和5。其次确定152=30的符合条件偶约数。30大于2小于7的偶约数只有6，6不是15的约数，但6是152的约数，6符合偶数条件。当=3时，n=4， 15=4+5+6。当=5时，n=1， 15=1+2+3+4+5。当=6时，n=0， 15=0+1+2+3+4+5。例2 把65拆分成个连续自然数的和。解：M=65，12。首先确定65大于2小于13的奇约数只有 5。其次确定652=130的符合条件偶约数。130大于2小于13的偶约数只有10，10不是65的约数，但10是652的约数，10符合偶数条件。当=5时，n=11， 65=11+12+13+14+15。当=10时，n=2, 65=2+3+4+56+7+8+9+10+11。例3 把30拆分成个连续自然数的和。解：M=30，8。首先确定30的大于2小于9的奇约数有3和5。其次确定302=60的符合条件偶约数。60的大于2小于9的偶约数有4和6，6是30的约数，不合偶数条件；4不是30的约数，但4是302的约数，4符合偶数条件。当=3时，n=9，30=9+10+11。当=5时，n=4，30=4+5+6+7+8。当=4时，n=6，30=6+7+8+9。例4 把120拆分成个连续自然数的和。解： M=120，16。首先确定120的大于2小于17的奇约数有 3、5和15。其次确定1202=240的大于2小于17的偶约数有4、6、8、10、12和16，4、6、8、10、12都是120的约数，不合偶数条件；16不是120的约数，但16是1202的约数，16符合偶数条件。当=3时，n=39，120=39+40+41。当=5时，n=22，120=22+23+24+25+26。当=15时，n=1，120=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。当=16时，n=0，120=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。参考文献1 余贤华，整数拆分成连续自然数的和探微，中小学数学小学版，2013年第11期P20,21。 本文发表于全国中文核心期刊由陕西师范大学主办的中学数学教学参考 初中版2014年第6期p70,71.笔者简介王凯成，教授，全国优秀教师，教育部第三批国培计划专家库专家，曾宪梓奖获得者，陕西省中小学教师队伍建设专家指导委员会成员,全国初等数学研究会第三届理事会常务理事。在数学通报等20多个数学刊物发表论文155篇，出版论著26本，陕西教育月刊特邀编审。近年被陕西师范大学、河南师范大学、宝鸡文理学院、郑州师范学院等邀请给小学数学国培班作专题讲座。710600 西安市临潼区秦陵南路53号陕西省小学教师培训中心 王凯成 13891851076