如何把一个正整数拆分成几个连续自然数的和.doc

如何把一个正整数拆分成几个连续自然数的和
王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)

1.拆分定理及证明
如何把一个正整数拆分为个连续自然数的和呢?
定理：若正整数M能拆分成个连续自然数的和，则
M= ，其中
是自然数。
证明：设把正整数M分拆为连续自然数n, n+1 ,…，n+()这个数的和，由等差数列求和公式知：应有M=。
设是奇数，，则是整数，那么与都是整数，由M=知，M必是的倍数(否则无解)，M÷=，即有：n=
。这时由M= n+(n+1 )+…+[n+()]就有：M = ，其中是自然数。
设是偶数，则应有M=，由不是整数知，不是整数，所以M不是的倍数。设，则M==，与都是正整数， M必是的倍数(否则无解)，M÷m=2n+2m－1，即=2n + －1，n= 。这时由M= n+(n+1 )+…+[n+()]就有：M = ，其中
是自然数。
所以，把M拆分成( 。若是奇数，则M是的倍数；若是偶数，则M不是的倍数，但2M是的倍数)个连续自然数的和，则
，即M=，其中是自然数。
由于是自然数，即≥0，简化为2M≥(－1)，推出。必要条件即( 表示的整数部分)便于应用。
如何把正整数M拆分为个连续自然数的和呢?
首先确定M大于2小于的奇约数；其次确定2M大于2小于的符合条件的偶约数：不是M的约数，但是2M的约数。确定以后, 再运用定理。
2.拆分定理的应用
例1 把15拆分成个连续自然数的和。
解：M=15，6。
首先确定15大于2小于7的奇约数有 3和5。
其次确定15×2=30的符合条件偶约数。30大于2小于7的偶约数只有6，6不是15的
约数，但6是15×2的约数，6符合偶数条件。
当=3时，n==4， 15=4+5+6。
当=5时，n==1， 15=1+2+3+4+5。
当=6时，n==0， 15=0+1+2+3+4+5。
例2 把65拆分成个连续自然数的和。
解：M=65，12。
首先确定65大于2小于13的奇约数只有 5。
其次确定65×2=130的符合条件偶约数。130大于2小于13的偶约数只有10，10不是
65的约数，但10是65×2的约数，10符合偶数条件。
当=5时，n==11， 65=11+12+13+14+15。
当=10时，n==2, 65=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11。
例3 把30拆分成个连续自然数的和。
解：M=30，<8。
首先确定30的大于2小于9的奇约数有3和5。
其次确定30×2=60的符合条件偶约数。60的大于2小于9的偶约数有4和6，6是
30的约数，不合偶数条件；4不是30的约数，但4是30×2的约数，4符合偶数条件。
当=3时，n==9，30=9+10+11。
当=5时，n==4，30=4+5+6+7+8。
当=4时，n==6，30=6+7+8+9。
例4 把120拆分成个连续自然数的和。
解： M=120，＜16。
首先确定120的大于2小于17的奇约数有 3、5和15。
其次确定120×2=240的大于2小于17的偶约数有4、6、8、10、12和16，4、6、8、10、12都是120的约数，不合偶数条件；16不是120的约数，但16是120×2的约数，16符合偶数条件。
当=3时，n==39，120=39+40+41。
当=5时，n==22，120=22+23+24+25+26。
当=15时，n==1，120=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。
当=16时，n==0，120=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。
参考文献
[1] 余贤华，整数拆分成连续自然数的和探微，中小学数学小学版，2013年第11期P20,21。
本文发表于全国中文核心期刊由陕西师范大学主办的《中学数学教学参考 初中版》2014年第6期p70,71.

笔者简介
王凯成，教授，全国优秀教师，教育部第三批国培计划专家库专家，曾宪梓奖获得者，陕西省中小学教师队伍建设专家指导委员会成员,全国初等数学研究会第三届理事会常务理事。在《数学通报》等20多个数学刊物发表论文155篇，出版论著26本，《陕西教育》月刊特邀编审。近年被陕西师范大学、河南师范大学、宝鸡文理学院、郑州师范学院等邀请给小学数学国培班作专题讲座。
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