解直角三角形检测题.doc

解直角三角形检测题 2010-10-24
一、选择题（每题3分，共27分）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A．sinA=sinB B．cosA=sinB C．sinA=cosB D．∠A+∠B=90°
2．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．无法确定
3．已知锐角α，且sinα=cos37°，则a等于（ ）
A．37° B．63° C．53° D．45°
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（ ）
A．c= B．c= C．c=a·tanA D．c=a·cosA

5．如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB的中点N的最短路线是（ ）
A．8 B．2 C．2 D．2+2
6．已知∠A是锐角，且sinA=，那么∠A等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．当锐角α>30°时，则cosα的值是（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）
A．1米 B．米 C．2 D．
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12

二、填空题（每题3分，共18分）
10．如图，3×3网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形ABCD的周长是_______．
11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．
12．若sin28°=cosα，则α=________．
13．已知△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．
14．某坡面的坡度为1：，则坡角是_______度．

15．一只圆柱形玻璃杯，高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是________厘米．
三、解答题（16题9分，17题8分共17分）
16．由下列条件解题：在Rt△ABC中，∠C=90°：
（1）已知a=4，b=8，求c．

（2）已知b=10，∠B=60°，求a，c．

（3）已知c=20，∠A=60°，求a

17．计算下列各题．
（1）sin230°+cos245°+sin60°·tan45°；

（2）tan2°tan4°·tan6°…tan88°

四、解下列各题（每题7分，共28分）
18．已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四种三角函数值．

19．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？

20．如图所示的燕服槽一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积．

21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）

五、解答题（本题10分）
22．如图，两条笔直的公路AB、CD相交于点O，∠AOC为36°.指挥中心M设在OA路段上，与O地的距离为20千米.一次行动中，王警官带队驱车从O地出发，沿OC方向以每分钟1千米的速度行进.王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在15千米之内进行通话.
（1）通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话.
（2）如果能够通话，请计算通话的时长。
【参考数据：sin36°=0.6，cos36°=0.8，tan36°=0.75.】

解直角三角形 2010-10-24
☆ 知识要点☆
一、三角函数
1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tanA= .
1． 特殊角的三角函数值：

30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

2． 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…
3． 三角函数值随角度变化的关系
二、解直角三角形
1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2． 依据：①边的关系：
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：
α
h
l
i
北
东
西
南
仰角
俯角

i=h/l=tanα

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例
例1 小刚把矩形刻度尺、量角器按如图所示方式放置在一起，直尺的下边缘与量角器的直径AB（零刻度线）重合，上边缘与量角器所在弧分别交于点C、D．点C、D在刻度尺上的读数分别分1.0cm、9.4cm，点C在量角器上的读数为36°．设O为AB的中点，求刻度尺的宽度（精确到0.1cm）．
【参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73．】

例2 如图，，矩形ABCD的对角线，边BC在OM上，AC=3
(1) 求AD的长．（结果精确到0.01）
(2)在直线ON上找一点P，使△ABC与△OCP相似，满足条件的P点有 个．
【参考数据：sin25°= 0.423， cos25°=0.906 ，tan25°= 0.466．】
A
O
25°
C
B
M
N
D
(第22题)

例3 小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．
（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）

C
D
A
B

l
12mm

例4如图① 是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图②中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,当∠ACB=20°时，木板超出车厢部分AD=0.5m,请求出木板CD的长度
（参考数据:sin20°= 0.342,cos20°= 0.940, tan20°= 0.364,精确到0.1m）.
图① 图②
图1 图2

A
B
C
D

例5 一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C， 已知小岛C周围4．8海里范围内是水产养殖场． 渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东方向航行，这艘渔船有无进入养殖场的可能性 ? 请说明．

例6 如图：某人在A初测得电视塔塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处，测得C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度为（即tan∠PAB=）。且点O、A、B在同一条直线上，求电视塔OC的高度及此人所在位置点P到OB的距离。
（测角仪的高度不计，结果保留根号）
山坡
O
C
A
B

P
60°
45°

答案：
1．A
2．C [点拨]长为8的边即可能为直角边，也可能为斜边．
3．C [点拨]tanα=cot37°，所α+37°=90°即α=53°．
4．A [点拨]sinA=，所以c=．
5．C [点拨]利用展开图得MN==2．
6．C
7．D [点拨]余弦值随着角度的增大而减小，α>30°，cos30°=，所以cosa<．
8．A
9．A [点拨]tanA=，AC==6．
10．D
11．3+2 [点拨]四边形ABCD的周长为+++ =3+2．
12．4+ [点拨]原式=2×+2×+3×1=4+．
13．62°
14． [点拨]BC===12，tanA==．

15．30° [点拨]坡角α的正切tanα=，所以α=30°．
16．6 [点拨]根据条件可得筷子长为12厘米，
如图AC=10，BC== =6．
17．解：（1）c= =4；
（2）a=b×cotB=10×=，c=
（3）a=c×sinA=20×=10，b=c×cos60°=10×=5．
18．解：（1）原式=（）2+（）2+××1=++=+
（2）原式=+=+
（3）原式=tan2°·tan4°·tan6°·…cot6°·cot4°·cot2°
=（tan2°·cot2°）（tan4°·cot4°）·（tan6°·cot6°）…
=1
19．解：如下图，AD⊥BC，CE⊥AB，AB=AC．
因为AD⊥BC，AB=AC，所以BD=CD=5．
在直角三角形ABD中，AD==12．
S△ABC=×AB×CE=×BC×AD，所以×13×CE=×10×12，CE=．
在直角三角形ACE中，AE==．

在直角三角形ACE中，

sin∠CAE=，
cos∠CAE=，
tan∠CAE=，
cot∠CAE=．
20．第一次观察到的影子长为5×cot45°=5（米）；
第二次观察到的影子长为5×cot30°=5（米）．
两次观察到的影子长的差是5-5米．
21．解：如下图，作DF⊥BC于点F．由条件可得四边形AEFD是矩形，AD=EF=10．

AB的坡角为1：1，所以=1，所以BE=10．同理可得CF=10．
里口宽BC=BE+EF+FC=30（厘米）．
截面积为×（10+30）×10=200（平方厘米）．
22．过点C作CD⊥AB于点D．

CD就是连接两岸最短的桥．设CD=x米．
在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x．
在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x．
因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9（米）．
23．略．
24．解：如图，AE⊥CD于点E，AB=CE=0.8，AE=BC=3．

在直角三角形ADE中，cotα=，DE=AE×cotα=3cotα．
因为α≤45°，所以cotα≥1，所以DE>3．
CD=CE+DE>3.8（米）．
因此，避雷针最少应该安装3.8米高．