高代求最小多项式.docx

矩阵最小多项式的求法
杨骁
数学与科学学院
指导老师 李永斌老师

[摘要]：本文首先介绍了方阵的最小多项式，进而给出了最小多项式的两种求法。
[关键词]：方阵；最小多项式。

一、引言
最小多项式在研究线性变换及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，如何求最小多项式非常重要。本文提供了常用的两种方法，利用特征多项式或Jordan标准型求矩阵的最小多项式。
二、最小多项式的性质及求法
由哈密尔顿定理可知，对于一个n阶矩阵 ，是的特征多项式，则即就是任给数域上的一个级矩阵，总可以找到数域上的多项式，使得.如果多项式使得，我们就称为矩阵的零化多项式.当然的零化多项式很多的，于是我们有
定义1 设，次数最低的首项为1的的零化多项式称为的最小多项式，记为.
最小多项式有以下一些基本性质：
定理1[1] 设，则
（1）的任一零化多项式都能被整除；
（2）的最小多项式是唯一的；
（3）相似矩阵最小多项式相同.
(一)由特征多项式求最小多项式
定理1 是的特征多项式零点的充分条件是为的最小多项式的零点.
推论1 若阶方阵的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积：
，
其中是的相异的特征值，是特征值的重数，且则的最小多项式具有如下形式：
，
其中为正整数.
推论1实际上给出了由方阵的特征多项式，求最小多项式的方法.
例1 求矩阵

的最小多项式.
解：因为的特征多项式为，根据推论1便可知，的最小多项式有以下两种可能：
（）（），
由于

因此，的最小多项式为.
有时在分解时比较困难，但由推论1可知，的最小多项式实质包含A的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出
例2 求矩阵

的最小多项式.
解：=

由辗转相除法求得
于是

==
于是
的最小多项式有以下三种可能：

而，
因此的最小多项式为.
（二）利用标准型求最小多项式
定理2 设矩阵,则的最小多项式可以由

给出,其中是的相异的特征根,是在的型中包含的各分块的最大阶数。
推论2 当的所有特征值都相异时,的最小多项式就是A的特征多项式.
由定理2,在一般情况下,A的最小多项式可以通过求出它的Jordan标准型J获得.
例2 求矩阵

的最小多项式.
解：由的特征多项式

知有两个不同的特征值：（均为三重的）.容易求得 ，所以对于的特征向量仅有一个，这表示对应的块的数目是1.又由于对应于的特征向量有2个，因此对应于的块共有2块.故的标准型为：

可见中包含的块的阶数，包含的块的最大阶数，因此的最小多项式为：