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实变函数复习题

一、填空题
1. 设,则 　.
2. 若, , 则 。
3. 给出与之间的一一对应关系 　.
4. 设, 则 。
5. 设，写出的所有的构成区间 。
6. 设,若 ,则称是开集.
7. 设,若 ,则称是闭集.
8. 设为可测集，且，则 。
9. 设为的内点，则 。(填大于、等于或小于)
10. 设是有理数集，则 。
11. 设I为中的开区间，则 。
12. 设C是Cantor集，则 。
13. 叙述可测函数的四则运算性 。
14. 叙述可测函数与简单函数的关系 。
15. (鲁津定理)设是上有限的可测函数,则,存在闭子集,使在 上是连续函数,且.
16. 叙述伯恩斯坦定理 。
17．叙述可测集与开集的关系 。
18. 叙述测度的可数可加性 。
19. 叙述叶果洛夫定理 。
20. 叙述在可测集上几乎处处收敛于的定义 。
21. 叙述中开集的结构定理 。
22. 叙述中的集合是Lebesgue可测集的卡氏定义(即C.Caratheodory定义) 。
23. 叙述测度的可数可加性 。
24. 叙述可测函数的定义 。
25. 叙述F.Riesz定理(黎斯定理) 。
二、单选题
1. 是实数全体，则是 ( )
A. 可数集； B.不可数集； C.有限集； D.不可测集.
2. 有限个可数集的并集是 ( )
A.可数集； B.不可数集； C.有限集； D.以上都不对.
3. 若是有限集或可数集,是不可数集, 则 ( )
A. 是可数集； B. 是不可数集；
C. ； D. .
4. 设是一族开集,, 则一定是 ( )
A. 开集; B. 闭集; C. 型集; D. 开集，也是闭集.
5. 点集E⊂Rn的全体边界点所成的集合称为E的 ( )
A. 开核; B. 边界; C. 导集; D. 闭包.
6. 设是一族闭集,,则一定是 ( )
A.开集; B.闭集; C.型集; D. 开集，也是闭集.
7. 设是一列闭集,,则一定是 ( )
A.开集; B.闭集; C.型集; D. 开集，也是闭集.
8. 设是中有理数全体，则 ( )
A.0; B.; C.1; D.不存在.
9. 关于Cantor集,下述说法不成立的是
A. 无内点; B. 中的点都为孤立点;
C. 中的点都为聚点; D. 是闭集.
10. 设是任一可测集, 则 ( )
A.是开集; B．是闭集;
C.,存在开集,使得; D．是型集或型集.
11. 设是一列可测集合,且,则有 ( )
A.; B. ;
C. ; D. .
12. 设是一列可测集合,且,,则有 ( )
A.; B. ;
C. ; D. .
13. 关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 ( )
A. 简单函数一定是可测函数; B. 简单函数列的极限是可测函数;
C. 简单函数与可测函数是同一概念; D. 简单函数列的极限与可测函数是同一概念.
14. 设是可测集上的几乎处处有限的可测函数列, 则下述命题错误的是( )
A．是可测函数;
B．是可测函数;
C. 若(依测度收敛), 则是可测的;
D．若(依测度收敛), 则 a.e. 于E.
15. 若是连续函数，则它必是. ( )
A. 可测函数； B. 单调函数； C.简单函数； D.连续函数列的极限.
16. 设其中E是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是 ( )
A.； B.； C.； D.。
17. 设是可测集上的可测函数,则对任意的实数,有 ( )
A．是闭集; B．是开集;
C. 是零测集; D．以上都不对.
18. 设是定义在上的实值函数.令, , 则下述哪个说法不成立的是 ( )
A．与都是定义上的非负函数;
B．,;
C. ;
D．在上可测与都在上可测.
19. 设是可测集上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中错误的是( )
A．是可测函数; B．是可测函数;
C. 若,则是可测的; D．若,则.
20. 设在可测集上,. 则 ( )
A.,; B. ,;
C. 于; D. .
21. 设是可测集上的可测函数,则是 ( )
A. 在上基本一致连续; B. 在上几乎处处连续;
C.存在简单函数列使于; D. .
22. 集合E的全体内点所成的集合称为E的 ( )
A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包
23. 集合E的全体聚点所成的集合称为E的 ( )
A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包
24. 集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的 ( )
A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包
25. E-E＇所成的集合是 ( )
A、开核 B、边界 C、外点 D、{E的全体孤立点}
26. E的全体边界点所成的集合称为E的 ( )
A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包
27. 设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ）
（A） (B) (C) =[0，1] (D)
28. 若是一开集列，则是： （ 　）
　 A、开集　　B、闭集　　C、既非开集又非闭集　　D、无法判断
29. 若是一开集列，则是： （　 　　）
　 A、开集　　B、闭集　　C、既非开集又非闭集　　D、无法判断
30.若是一闭集列，则是： （　 　　）
　 A、开集　　B、闭集　　C、既非开集又非闭集　　D、无法判断
31.若是一闭集列，则是： （　 　　）
　 A、开集　　B、闭集　　C、既非开集又非闭集　　D、无法判断
三、判断题
1、任意集合都有子集 。 （ ）
2、E的孤立点必然属于E. （ ）
3、当充分大以后都有. （ ）
4、 若，且， a, e于E（ ）
5、函数在上可测，当且仅当对于每一个实数,集合可测. （ × ）
6、若，则一定是可数集 （ ）
7、设是中的紧集，则是中的有界闭集. ( )
8、凡博雷尔集都是可测集.. ( )
9、若在可测集E上可测，则也可测。 （ ）
10、若，且， a, e于E（ ）
11、设都可测，则也可测，且。（ ）
12、若在可测集E上可测，则在E的任意可测子集上也可测（ ）。
13、若在可测集E上可测，则在E的任意子集上可测（ ）
14、设A,B是两个集合，则。 （ ）
15、和都是闭集。 （ ）
16、对任意，都存在。 （ ）
17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。 （ ）
18、若是无限集，且，则是可数集。 （ ）
19、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对某个实数， 为可测集。 （ ）
20、设是零测集，是上的实函数，则为上的可测函数。（ ）
21、若在可测集E上可测，则也可测。 （ ）
22、设是可测集上的非负简单函数，则一定存在。（ ）
23、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则一定存在。 （ ）
四、证明题
1. 证明：自然数集与奇数集对等。

2. 证明在圆周上去掉一点后余下的点所成之集与实数集对等。

3. 证明：由直线上互不相交的开区间所组成的集合至多只有可数个。

4. 设是中的一个独点集，证明

5. 证明：为闭集。

6. 证明：开集减闭集的差集仍为开集；闭集减开集的差集仍为闭集。

7. 证明：若有界，则。

8. 证明零测度集上任意广义实值函数均是可测函数。

9. 证明：上的连续函数必为可测函数。

10. 证明：上的单调函数必为可测函数。