淮 海 工 学 院14-15-1高等数学A1期末总复习 (1).doc

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淮 海 工 学 院
14 – 15学年 第 1 学期 高等数学A1 期末总复习
一、 选择题（每题4分）
1. -----------------------------------------------------------------------------（D）
(A) (B) (C) (D)
注：若则．
2. 设，则是该函数的 ---------------------------------(B)
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点
注： 是函数的------------------------------------------------------(B)
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点
3．设，则---------------------(A)
(A) (B) (C) (D)
注：设，则-------------------(B)
(A) (B) (C) (D)
4．设,则该函数在内的图象为----------------------------- (C)
(A) 增且凹 (B) 减且凹 (C) 增且凸 (D) 减且凸
注：设,则该函数在)内的图象为-------------------------------- (B)
(A)增且凹 (B) 减且凹 (C) 增且凸 (D) 减且凸
5、当，趋于无穷大速度最慢的是 --------------------- (B)
(A) (B) (C) (D)
注：该题中，各数列趋于无穷大速度按由快到慢的顺序为．
6.若的某一原函数为，则-----------------------------------------(B)
(A) (B) (C) (D)
注：若的某一原函数为，则-----------------------------(C)
(A) (B)
(C) (D)
7．下列式子中正确的是------------------------------------------------------------------------- (D)
(A) (B)
(C) (D)
注：．
8．设连续，则下列式子中正确的是--------------------------------------------------- (D)
(A) (B)
(C) (D)
注：不定积分与积分变量有关，而定积分与积分变量无关，但与积分上下限有关．
9. ---------------------------------------------------------------------------(A)
(A) (B) (C) (D)
注：（凑微法）；
（求微法）；
（分部积分法）．
10. =----------------------------------------------------------------(A)
(A) (B) (C) (D)
注：由定积分对称奇偶性知，，
又如．
11. ---------------------------------------------------------------------------(C)
(A) (B) (C) (D)
注1：由定积分几何意义知，取，则．
注2：抛物线及直线所围图形绕轴旋转所得的旋转体体积为-- (D)
(A) (B) (C) (D)
二、计算题（每题7分）
1．．
解：原式 --------------------------------------3
．---------------------------------------------4
注1：．
解：原式 ．
注2： ．
2．已知由方程所确定，求．
解：-----------------------------------------------------3
将代入上式得-----------------------------------------------------1
又-----2
将代入上式得．--------------------------------------1
注：设由方程所确定，求.
解：，
，.
3..
解：原式----------------------------------------3
-------------------------------------------2
. --------------------------------------------------------------2

注1：.
解：原式

.
注2：进一步求.
4．．
解：原式 -----------------------------------------------------------------------1
-------------------2
-------------------------------------------------2
．(缺扣1分)----------------------------------2
注1：

．
注2：

．
注3：进一步可求．
三、计算题（本题8分）
若，求（1）的水平渐近线；（2）．
解：（1），-------------------2
故的水平渐近线分别为；------------------------------------------------2
（2）---------------------------------------------2
．-------------------------------2
注：若，求（1）的水平渐近线；（2）．
解：（1），故其水平渐近线分别为；
（2）
．
四、计算题（本题8分）
若方程在内有三个根，试确定的范围．
解：令 则
由 得， -----------------------------------2
易知，，为的单调区间 ------------------------------2
-------------------------------------------1
-------------------------------------------1
， -------------------------------------------------1
故当时，有三个根分别在，，上．-----------1
注：求证：方程在区间内有唯一实根.
证明：（1）令，则其在上连续
且
故由零点定理知，在区间内该方程有实根；
（2） 又 ，所以单调增加，
综上可知，方程在区间内有唯一实根.
五、证明题（本题8分）
当时，试取对数证明．
证明：取对数，则要证的不等式变形为 -----------------2
令，
，，--------------------------------------------2
因此，在上单调增加，，---------------------------2
于是为上的单调增加函数，------------------------------------------------１
故，变形即得结论．--------------------------------------------1
注：求证：在区间内，恒有．
证：设

，
，为增函数，且，
则为增函数又 ，则，故原命题成立．
即，
六、计算题（本题8分）
已知是函数的一个原函数, 求．
解 ：由题意有-----------------------------------------2
则原式---------------------------2
-------------------------------------------------2
.-------------------------------------2
注1：若，则
．（或求）
注2：设，求
解：
则原式

七、应用题（本题8分）
如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB(km), CB(km)，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为(km)．
（1）设OP(km) ，将表示成的函数关系式；
（2）确定，使三条排污管道总长度最短．
解：（1）若OP(km) ，
则O 到AB之距为OQ，---------------------------------------------------------1
有OA =OB=----------------------------1
所求函数关系式为-----------------------2
（2）令，----------------------------------------------2
得唯一驻点(km)，由实际背景知，此即为的最小点-------------------------1
故当(km)时，可使三条排污管道总长度最短．----------------------------------1

八、应用题（本题8分）
求由曲线，直线和所围成的平面图形的面积，以及
绕轴旋转而得的旋转体体积．
解：联立 （或画图）

．
注1：在抛物线上的点处作法线，求该抛物线及其法线与轴
所围的平面图形绕轴旋转所得立体的体积．
解：，法线：，即：
．
注2：（1）求曲线()的拐点横坐标；
（2）求该曲线与和所围成图形的面积．
解：（1），
令有经检验知此即为所求；
（2）
．