椭圆的简单几何性质(教案).doc

椭圆的简单几何性质
单县教研室 周启杰
　 一、教学目标
知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准
方程中 以及 的几何意义， 之 间的相互关系。
过程与方法：用代数的方法研究曲线的几何性质．
情感、态度、价值观：通过用代数的方法研究曲线的几何性质，让学生充分认识 、
体会数与形的联系与统一，认识椭圆的美学价值和应用价值 。

二、 教学重点
椭圆的简单几何性质：椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。
三、 教学难点
利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质.
四、教学过程
　　【课前自主复习】
1.全面复习2.2.1中椭圆的有关知识；
2.复习必修2第二章第11页---12页上头的内容，及必修2第三章的有关知识:
与直线 平行的直线方程可写为

两平行直线 间的距离为 。
【课内探究】

1、 出示学习目标：椭圆的几何性质

y
x
o

学习方法：利用椭圆的标准方程
研究椭圆的几何性质。

2. 直观感知：观察椭圆的形状，你能
从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆哪些点比较特殊？

3．椭圆的几何性质
　　 下面我们根据椭圆的标准方程 来研究椭圆的几何性质．
　　（1）范围

对观察结果，引导学生从标准方程 ，得出不等式 ， ，即

， ．
（引导学生由等式向不定式转化，克服难点）
这说明椭圆位于直线 和直线 所围成的矩形框里．

(2）对称性　　
可以看出，椭圆关于 轴对称，关于 轴对称，关于原点对称。

在 中，以代 ， 以代 ，或以代 ，
同时以 代，方程解不变．说明椭圆上的任一点关于 轴的对称点，

关于 轴的对称点，关于原点的对称点也在椭圆上，故椭圆关于 轴对称。同理

关于 轴对称，关于原点对称。
轴、 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心．
　（3）顶点
　　 引导学生从椭圆的标准方程 分析它与 轴、 轴的交点，只须令

得 ，说明 是椭圆与 轴的两个交点。同理，令

得 ，点 、 是椭圆与 轴的两个交点．所以椭圆 与
它的对称轴有四个交点，椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
线段 和 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 和 ；　

　 、 的几何意义： 叫做椭圆的长半轴长，叫做椭圆的短半轴长．
　　　 由椭圆的范围，对称性和顶点，就可以画出椭圆的草图。

（4）离心率
　 观察不同的椭圆，我们发现椭圆的扁平程度不一，那么，用什么量刻画椭圆的扁平程
度呢？
事实上，椭圆的扁平程度是相对的。椭圆 的长半轴长为，
半焦距为。保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现，越接近于，椭圆越扁平。这样，利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度。
椭圆的焦距与长轴长的比 ，叫做椭圆的离心率，用表示，即．

先分析离心率 的取值范围：
　 　∵ ， ∴ ．
　 离心率的大小对椭圆形状的影响：
　　①当 趋近于1时， 趋近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁平：
②当 趋近于0时， 趋近于0，从而 趋近于 ，因此椭圆越接近于圆．
两焦点重合时，即时，图形变为圆，方程为 。
同样，的大小也能刻画椭圆的扁平程度。
也可以运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁；越小，椭
圆越圆。

（5） 阶段性小结：
四个基本量 ： ，几何意义，相互关系，知二求二；
两个基本线：对称轴，对称轴的本质；
七个基本点：四个顶点，两个焦点，一个中心。
通过阶段性小结，深化学生的认识，让学生清楚，椭圆的简单几何性质是椭圆固有
的性质。

【例题分析】
　　例1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
　　 该例题考查椭圆的基本性质，需确定基本量，只要把原方程化为标准方程即
可。让学生独立解决问题，然后再让学生画出椭圆的草图。

该例题是椭圆的一个实际应用，考察学生的生活情感体验，阅读、分析能力，及椭圆的标准方程的求解方法。可用椭圆定义（本质），也可以用待定系数法（形式），注意解法的优化。

该例题让学生感受椭圆的另外一种定义方式（第二定义）。同时考查曲线方程的求法，让学生体会解析几何的基本思想和基本问题（利用坐标法，根据已知条件，求出曲线方程；然后利用曲线方程研究曲线性质，画出曲线图形）。强调：轨迹与轨迹方程的区别。

o
xx想 x

该例题是关于直线与椭圆位置关系的综合问题，培养学生运用数形结合的思想，分析问题、解决问题的能力。先利用几何直观，再利用代数方法加以解决。可通过与圆类比，揭示求椭圆上的点到直线距离的最值的方法具有一般性，是解决类似问题的通法。
最大距离是什么？（）

【课堂小结】
知识：椭圆的几何性质
方法：运用曲线的方程研究曲线性质
思想：数形结合

【作业布置】
习题2.2 A组 3,4,5题