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利用轴对称求最值
轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最值问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最值问题呢？根据本人多年教学工作的一些体会。概括一些常见的题型。
一、基础知识
B
A
如图直线l同侧有两点A、B，在直线l上找点P，使得PA+PB最短，并简要说明理由。解：作点关于直线l的对称点A′，连A′B交直线l于点P,则点P即为所求，此时PA+PB=PA′+PB= A′B。

PL
LL

A1

二、典型例题：
A组（1）以菱形为载体的最短距离问题：
如图所示，菱形ABCD中，∠ BAD=60°，AB=4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_________。
解：∵菱形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。
∴点B关于直线AC的对称点为点D,
连接DM交AC于点P,则PM+PB的最小值即为线段DM,此时DM=
∴PM+PM的最小值为.
D
C

P

M
B
A

（2）以矩形为载体求最短距离问题
在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为为边CD中点。P为边BC上的任一点，求PA+EP的最小值。
解：作点A关于BC的对称点A′，连A′E交BC于点P,则点P为所求，此时PA+PE的最小值即为A′E,
过点E，作EF⊥AB，
A′E==5
∴PA+PE的最小值为5。
D
A

E
F

B
P
C

A1

（3）以正方形为载体的最短距离问题：
如图所示，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为_________.
解：∵正方形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。
∴点B关于点D关于AC对称
∵BE即为PD+PE的最小值
∴PD+PE的最小值为2
D
A

P

E

B
C

(4) 以圆形为载体的最短距离问题：
如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB, ∠ABC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值。
解：延长AO交⊙O于点A1，则点A关于直线OA的对称点为A1，连A1C交OB于点P，则PA+PC的最小值为A1C，连AC，RT△AA1C中，COS300= A1C=4=，PA+PC的最小值是

B
C
A
P
O

A1