圆锥曲线定点定值_2.doc

圆锥曲线中的定点定值问题
1在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果
例如:
1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
2（09海淀一模理科）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点.证明：为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

3（09海淀一模文科） 在△中，已知 、，动点满足.
（I）求动点的轨迹方程；
（II）设点，，过点作直线垂直于，且与直线交于点，试在轴上确定一点，使得；
（III）在（II）的条件下，设点关于轴的对称点为，求的值.

4（10年丰台一模）理科（13分）在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和．
（1）求轨迹的方程；
（2）当时，求与的关系，并证明直线过定点．
5（10门头沟一模理科） 已知是椭圆C的两个焦点，、为过的直线与椭圆的交点，且的周长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）判断是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由.
6 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值
为，离心率为﹒
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒
变形1（10年二模崇文文科）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，经过点且离心率．过定点的直线与椭圆相交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存
在，请说明理由.
变形2（08年一模西城理科）已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；
（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、
三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。

8 (全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.

9（ 09东城一模理科） 如图，已知定圆，定直线的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点，是中点。
（I）当与垂直时，求证：过圆心；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由

2是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.

例如1：已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

3对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决
1（10年东城期末）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线与轴相交于定点．
2（10年二模朝阳）
已知动点到点的距离，等于它到直线的距离．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最小值．
其他问题：

1出现了数列
1已知椭圆上的两个动点及定点 ，为椭圆的左焦点，且，，成等差数列.求证：线段的垂直平分线经过一个定点；
设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标.

2如图，在双曲线的上支上有三点，
，，它们与点的距离成等差数列.
求的值；证明：线段的垂直平分线经过
某一定点，并求此点坐标.

2与抛物线有关的定点定值问题：
1（08西城二模理科）已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点作抛物线的两条切线和，记和相交于点.
（Ⅰ）证明：直线和的斜率之积为定值；（Ⅱ）求点的轨迹方程.

2．

过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦、，
求证：交抛物线的对称轴上一定点.

3（全国Ⅱ）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且（）．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．
4 (07年东城一模理科)已知平面上两个定点、，为一个动点，且满足 ．
⑴ 求动点的轨迹的方程；
⑵ 若、是轨迹上的两个不同动点．分别以、为切点作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值．
5（0708年期末东城理科）已知抛物线，过焦点的动直线交抛物线于两点，抛物线在两点处的切线相交于点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求点的纵坐标；
（Ⅲ）证明：.

3与斜率有关的定值问题
1（08年宣武二模文科）已知动点P到双曲线：的两焦点的距离之和为定值，点P的轨迹C 与y轴交于点M，且
（1） 求动点P的轨迹C的方程；
（2） 过点作x轴的垂线交轨迹C于第一象限的点N，设A、B是轨迹C上不同的两点，直线BN与AN的斜率互为相反数.试判断直线AB的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
2北京市宣武区2007~2008学年度第二学期第二次质量检测文科数学
已知动点P到双曲线：的两焦点的距离之和为定值，点P的轨迹C 与y轴交于点M，且
（3） 求动点P的轨迹C的方程；
（4） 过点作x轴的垂线交轨迹C于第一象限的点N，设A、B是轨迹C上不同的两点，直线BN与AN的斜率互为相反数.试判断直线AB的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
3（08东城二模理科）已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线间的距离为，是双曲线的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线过坐标原点且和双曲线交于两点，，点为双曲线上异于，的一点，且直线的斜率均存在，求的值．
4（10门头沟一模文科）已知定点，动点满足，线段与圆：交于点，过点作直线垂直于轴，过点作，垂足为．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）求点的轨迹方程；
（III）过点作直线m，与点的轨迹交于M、N两点，C为点的轨迹上不同于M、N的任意一点，问是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理