两种不同等待服务方式下银行个人储蓄服务系统效率的排....docx

两种不同等待服务方式下银行个人储蓄服务系统效率的排队论分析

摘 要：本文从数据收集、参数估计和相关分布的检验入手，用排队论的方法分析采用分队列式排队和集中排队两种不同等待服务方式对银行个人储蓄服务系统效率的影响，得出在稳定状态下集中排队方式显著地改善系统的效率、顾客平均等待时间和平均对长、服务台的平均忙率和平均闲暇率四项指标均得到显著改善的结论，并用收集到的数据和随机模拟的方法检验了模型的结论。本文还初步探讨了哪些服务系统适于采用集中排队等待服务方式的问题。
关键词：分队列排队；集中排队；等待服务方式；Little公式；四大指标；随机模拟

1 引言
前不久，我去昆明的一家储蓄所办理业务，发现这里环境优雅，座椅成排，旁边的架子上还摆放着报纸和杂志。办理业务的客户进进出出，整个大厅显得秩序井然，人多而不乱。由此，我想到3年前，我初到昆明求学时，到这家储蓄所办理业务的情形。当时是分队列排队，大厅里面，人又多又吵杂，先到达还不一定能先得到服务，还得站着等那么长时间，虽然业务也办理了，但心里很不舒服。
前后巨大的反差，使我陷入了深深的思考。这家储蓄所的服务窗口没有增加，营业员还是那几个，但明显感觉到排队现象大有改观，环境优雅安静，虽然大厅被椅子占去了很大的空间，但大厅里也不再拥挤，站着等待服务累了的抱怨声也不再存在。客户的等待时间比以前也缩短了不少，而且先到的肯定比后到的先得到服务，也不会再有先到却没有后到的先得到服务的烦恼。是这家储蓄所的营业状况每况愈下，客户越来越少所致的吗？但经我仔细观察，来这里办理业务的客户数量也不少，只是客户不再像以前那样等那么长的时间，来了很快就办好业务离开了。
储蓄所还是同一家储蓄所，营业员也还是原来的营业员，服务窗口还是原来的那几个，每个服务台的服务效率没有多大的差别，但是怎么会感觉到到现在的服务系统办理业务就是比以前快？这是为什么呢？原有的服务资源并没有发生什么变化，前后的服务效率为什么差别那么大呢？为什么他们的服务效率明显的提高了呢？难道是因为他们改变了排队等待服务方式吗？如果是，应该用什么指标来衡量服务系统的服务效率呢？应该用什么样的方法来评价服务系统的服务效率呢？带着这样的疑问，我去请教老师和同学，又翻阅了很多资料，才发现这有可能是一种标准的随机服务系统，所以我决定尝试用排队论的知识来分析这个现象。如果服务系统的服务效率的变化是因为排队等待服务方式变化引起的，而不需增加投资，那么我们把这种方法广泛推广，岂不是既可以节省资源，又可以提高经济效益。一石二鸟，何乐而不为呢？
排队论起源于1909年丹麦哥本哈根电话公司的A-K·爱尔朗发表的题为《概率与电话通话理论》一文。排队论起初是与电话、通信问题相关的，尔后，在交通运输、计算机系统、公用服务事业得到了广泛应用[1]。那么我所去的这家储蓄所服务系统能否应用排队论的知识来解释呢？要用排队论来解释一个实际问题，首先要知道它属于哪个模型。而影响排队论模型的最主要的三个因素就是：客户到达间隔时间分布；服务时间分布；服务台个数。其中确定模型最关键的因素就是客户到达间隔时间分布和服务时间分布，服务台数量的多少不会影响模型的种类。由于客户到达间隔时间和服务时间的随机性，其所服从的分布有多种，比如有：负指数分布、正态分布、爱尔朗分布等等[2]。所以，在分析一个服务系统属于哪种模型时，首先要解决的问题是确定客户到达间隔时间和服务时间所服从的分布[3]。在我所查阅的资料当中，有两篇是用排队论来分析银行系统的。一篇是《排队论与银行的客户服务系统》[4]，该文从一个给定客户到达间隔时间和服务时间服从负指数分布，给定客户平均到达间隔时间和平均服务时间的医院服务系统，从M/M/1到M/M/2改进的例子中，说明医院服务效率和服务性能的提升。同时就银行服务系统的改进和完善，给出了一个具体的服务实施方案，即叫号服务系统。最后仅以招商银行2000到2002年的全行资产总额的增加幅度来说明叫号服务系统的优越性。另外一篇是《基于排队论的银行客户服务系统问题研究》[5]，该文把服务系统简化为单服务台服务系统，仅考虑了分别代表了一般时段（8:00-9:00时间段）和繁忙时段（9:00-10:00时间段）两个时间段的情况。用两个时间段简单的代表整体，而且未对所使用的数据进行统计学检验，只是理论上假设顾客到达间隔时间服从负指数分布，服务时间服从正态分布，进行简单的计算分析后，提出了几点提高服务效率的建议。其文章的侧重点在于说明M/M/2服务系统比M/M/1服务系统具有优越性的基础上，给出提高系统服务效率的建议，或在说明服务系统过于繁忙和闲置并存的情况下，给出提高服务系统效率的建议。以上两文都没有实际收集数据，更不用说在所收集数据的基础上确定数据所服从的分布，再建立模型进行系统服务性能和服务效率的分析了。如果不验证客户到达间隔时间和服务时间所服从的分布，那么怎么能确定用哪一种模型来分析服务系统？这种情况下所用的模型计算出来的结果对问题具有说服力吗？而且《排队论与银行的客户服务系统》一文中也只是对M/M/1模型和M/M/2模型有所分析，并未对c个服务台的一般情况加以深入讨论。
所以，本文从昆明的某家储蓄所入手，不仅从理论上，而且实地收集数据，并用统计学的方法确定所收集数据服从的分布，在此基础上确定模型的类型，对模型和推广到一般情况下的模型进行深入的理论分析和数值分析，最后用计算机随机模拟的方法再进一步验证结论。
2 数据的收集整理、客户到达间隔时间和服务时间所服从分布的假设检验
解决储蓄所服务系统的排队问题关键是要知道客户到达间隔时间和服务时间的分布，但是验证一个随机系统，要做长时间大量而且细致的实践性实验工作[6]，本人是一位学生，由于时间、财力、物力、人力等诸多方面的原因，不可能展开大规模、长时间的实际验证，所以只是收集该储蓄所的客户到达间隔时间和服务时间的样本观测值，并对客户到达间隔时间和服务时间的样本观测值进行统计学检验，确认其分布情况，然后确定模型的类型。
2.1 数据收集整理
为了确定客户到达间隔时间和服务时间的分布，本人选定了昆明一二•一大街和建设路交叉路口旁的交通银行，该储蓄所的规模较大，所处地段较繁华，人流量较大，在昆明市所有的储蓄所服务系统中具有一定的典型性和代表性，可以保证结论的代表性和普遍性。
对实地采集的客户到达间隔时间和客户服务时间的数据，进行整理，结果见表一和表二。
对表一和表二中的子样观测值进行统计分析和非参数假设检验，以推断总体的分布类型。
表一：客户到达间隔时间
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.5
1.1167
0.3
0.3333
4.5833
0.3333
1
0.75
2.3667
0.9667
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.3667
2.1333
1.4167
0.1667
0.8333
0.3333
0.1667
1.1667
2.0833
0.1667
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.1667
0.4167
0.5
1
1.75
0.75
0.0833
0.0833
0.6667
2.25
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
1.6667
0.5833
1.3833
1.0333
0.0167
0.0167
0.3
0.0833
0.0333
0.05
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1.4167
1
0.25
0.1667
0.0833
1.0333
0.0833
1.4667
3.8333
1.0833
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
1.75
0.0833
0.8333
1
0.1667
0.9167
2.5833
0.1667
0.1667
0.9167
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
2.0833
1.25
0.9167
0.6667
0.5833
0.4167
0.8333
1
0.1667
2.0833
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
1.25
1.0833
2.5
1.25
1
0.5
1.1667
1.0833
1.9167
0.1667
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
0.8333
0.0833
0.9167
2
3.3333
0.3333
1.6667
3.5
1.25
0.0833
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
0.3333
1.0833
0.0833
0.1667
0.75
1.0833
4.0833
0.5833
0.8333
0.9167
101
102
103
104
105
106
107

6.6667
1.25
0.1667
1.6667
1.1667
2
1.6667

表二：服务时间
1
2
3
4
5
6
7
8
2.1667
1.5000
4.5833
6.9500
1.5000
3.7500
2.7500
1.4167
9
10
11
12
13
14
15
16
1.6667
1.5833
0.3333
1.9167
0.1667
2.0000
0.3833
1.0333
17
18
19
20
21
22
23
24
1.5167
1.7500
1.7500
1.0000
2.7500
2.4167
5.6667
1.0000
25
26
27
28
29
30
31
32
0.9167
1.7500
0.9167
1.5833
1.2500
2.0833
5.3333
1.5833
33
34
35
36
37
38
39
40
5.5000
2.7500
0.1667
0.1667
0.1667
0.1667
0.1667
0.1500
41
42
43
44
45
46
47
48
0.1667
2.3333
3.0833
0.1667
6.5000
7.0000
2.7500
0.5000
49
50
51
52
53
54
55
56
1.7500
1.0833
3.9167
2.2500
26.1667
0.1667
4.9833
2.5000
57
58
59
60
61
62
63
64
0.9167
0.8333
10.6667
5.0000
1.9167
0.1667
1.5000
2.8333

假设客户到达间隔时间和客户服务时间都服从负指数分布，则计算的客户到达间隔时间的均值为1.0592，其95％的置信区间为[0.8840,1.2924];计算的客户的服务时间的均值为2.5836，其95%的置信区间为[2.0351,3.3030]。
2.2 客户到达间隔时间和服务时间的非参数假设检验
客户到达间隔时间数据的频数直方图见图一：

图一：客户到达间隔时间的频数直方图
图二：服务时间的频数直方图

从图一可以看出，客户到达的间隔时间近似服从负指数分布。
下面采用皮尔逊－检验法[7]，检验客户的到达间隔时间服从负指数分布。
原假设为 ，其中，是未知参数。
先用极大似然法估计参数：
因为密度函数为,设是子样，的观测值，此时，似然函数为：

两边取对数：

两边求偏导：

似然方程：

解方程：

则由到达间隔时间均值为1.0592，（服务时间均值为2.5836）得
客户到达时间间隔服从负指数分布的参数为：

（同理可得：客户服务时间服从负指数分布的参数为：）
将数据整理分组[8]，再统计出子样落在各组内的频数，计算，当为真时，则：

……
列表计算统计量的值，见表三。
表三：实际频数、理论频数、统计量的值
区间（分）

(0-0.2]
25
625
0.1721
18.4147
21212.67
(0.2-0.4]
9
81
0.1425
15.2475
430.3
(0.4-0.6]
8
64
0.1179
12.6153
324.6851
(0.6-0.8]
5
25
0.0977
10.4539
59.7863
(0.8-1]
17
289
0.0808
8.6456
9660.521
(1-1.2]
11
121
0.0669
7.1583
2045.318
(1.2-1.4]
6
36
0.0554
5.9278
218.6309
(1.4-1.6]
3
9
81
0.0459
0.0839
8.9773
730.8433
(1.6-1.8]
6
0.038
(1.8-2]
3
10
100
0.0315
0.0884
9.4588
1057.217
(2-2.5]
7
0.0569
(2.5-3]
1
7
49
0.0355
0.0944
10.1008
237.7039
(3- ]
6
0.0589

在使用该检验法时，子样容量一般要大于50，而且所分区间数较大，各个理论频数 应不小于5，如有小于5，则要适当的合并区间，使之不小于5。因此，表三中合并了三个区间。所分区间个数，被估计的参数个数。
因为

所以

故接受原假设，认为总体是服从负指数分布的。
同理，可以验证客户服务时间也服从负指数分布，其频数直方图见图二。
2.3 结论
由以上分析，可以知道：客户到达间隔时间和客户服务时间都服从负指数分布，而且客户到达间隔时间的均值1.0592，在95％的置信区间[0.8840,1.2924]内;客户服务时间的均值2.5836，也在95%的置信区间[2.0351,3.3030]内。精度很高，所以可以认为客户的平均到达间隔时间为1.0592,客户的平均服务时间为2.5836。
从上面的分析中，可以知道客户到达间隔时间和客户服务时间都服从负指数分布，所以客户的到达是一个泊松流。即把客户的到达看作是无后效性的，在充分小的时间内，客户到达的概率和无关，而与时长约成正比，而且对充分小的，到达两个或两个以上客户的概率极小。现在把我选定的储蓄所看成一个随机服务系统，其满足如下条件[1]：
1)输入过程：顾客源无限，顾客单个到达，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布，且到达过程是平稳的。
2)排队规则：队长无限制，先到先服务。
3)服务机构：各个顾客的服务时间是相互独立的，且服从相同的负指数分布。
4)到达间隔时间和服务时间是相互独立的。
那么，我选定的这一家储蓄所服务系统就是一个典型的负指数分布服务系统。
3 负指数分布排队等待服务系统
3.1 标准的M/M/1模型
当这家储蓄所只设一个服务台时，排队只有一列，见图三，可以把这家储蓄所看成标准的M/M/1模型[1]。
顾客源

服务台
M/M/1服务系统
离去
顾客到来

图三：M/M/1服务系统
系统的各种指标如下：
：单位时间平均到达的顾客数
：顾客平均到达间隔时间
：单位时间被完成服务的顾客数
：平均服务时间
系统的服务强度：

系统的稳态概率：

Little公式：
系统中平均队长：

系统中的平均排队长：

顾客在系统中的平均逗留时间：

顾客在系统中的平均等待时间：

当这家储蓄所设有多个服务台时，则该储蓄所服务系统可以选择两种不同的排队等待服务规则，让客户等待服务。
第一种排队等待服务方式：分队列排队等待服务方式，即每个服务台前各排一队，且客户进入某一队排队后，不互相插队，且坚持不换队。
第二种排队等待服务方式：集中排队等待服务方式，即整个服务系统只排一队，先到者先去空闲的服务台前接受服务。
3.2 c个M/M/1模型
当这家储蓄所服务系统设置c个服务台，并选择第一种排队等待服务方式时，这时的服务系统可以看成是有c个M/M/1模型的系统。
这种情况下，把储蓄所的每个服务台看成独立的服务系统，每个服务台前各排一队，且进入某一队排队的客户不相互插队，只在一个服务台前排队，共排c个队列。此时排队系统如图四所示：
顾客到来
离去
顾客源

服务台

服务台
C个M/M/1服务系统

图四：c个M/M/1服务系统
系统的各种指标如下：
：单位时间平均到达的顾客数
：顾客平均到达间隔时间
：单位时间被完成服务的顾客数
：平均服务时间
系统的服务强度：

系统的稳态概率：

Little公式：
系统中平均队长：

系统中的平均排队长：

顾客在系统中的平均逗留时间：

顾客在系统中的平均等待时间：

3.3 标准的M/M/C模型
当储蓄所服务系统设置c个服务台，并选择第二种排队等待服务方式时，这种情况下，储蓄所中的所有客户只排一队，每个服务台只给队首的客户提供服务。这时的服务系统可以看成是标准的M/M/C模型的系统。标准的M/M/C模型中各种特征的规定与标准的M/M/1模型的规定相同[1]。此时排队系统如图五所示：
顾客到来
顾客源
服务台

服务台
M/M/C服务系统
离去

图五：M/M/C服务系统
另外，规定各服务台的工作是相互独立且平均服务效率相同。所以整个服务系统的平均服务效率为或。
系统的服务强度：

系统的稳态概率：

系统中的平均排队长：

系统中平均队长：

利用Little公式得：
顾客在系统中的平均等待时间：

顾客在系统中的平均逗留时间：

4 M/M/1模型和M/M/C模型的关系
当该储蓄所服务系统选择不同的排队等待服务方式，在服务台个数发生变化时，四大性能指标之间到底有什么样的关系呢？
记c个M/M/1模型的指标为：
M/M/C模型的指标为：
在两种排队等待服务方式中的取值相同，其四大性能指标之间的关系如下：
1)平均排队长：

2)平均队长：

3)平均等待时间：

4)平均逗留时间：

令，其中：
因为，所以是一个递减的函数；另外，也是一个递减的函数，证明如下：
假设，即

因为，所以

所以成立。
所以是减函数。
由，而且都是减函数，可知也是减函数，且减小的速度比快。也就说明，服务台个数c增大，集中排队等待服务方式下服务系统的平均排队长减小的速度快。
类似可知：服务台个数c增大，集中排队等待服务方式下服务系统中的平均等待时间减小的速度快。分队列排队等待服务方式下的服务系统的平均队长和平均逗留时间减小的速度快。
结论：随着服务台数量的增加，集中排队等待服务方式下的服务系统中的平均排队长和平均等待时间比分队列排队等待服务方式下的服务系统中的减小的速度更快，说明系统中等待服务的客户的数量减小的速度更快，集中排队等待服务方式对服务台数量的变化更敏感。从而，如果想通过改变服务台的数量，即增加投资，来改变服务效率，在集中排队等待服务方式下的系统中，收到的效果会更显著、更有效。
5 c个M/M/1模型和M/M/C模型的对比分析
上面对两种不同等待服务方式下的服务系统模型的理论分析所得到的结论，是在系统经过充分长时间达到稳定状态的基础上得到的，而实际很难满足这个条件，即实际情况未达到极限状态，故此时的结论如何，尚需进一步验证。下面就主要针对不同等待服务方式下，在所收集数据的基础上，对服务系统的性能指标、服务效率和资源利用的情况进行对比分析研究。即比较分析分队列排队等待服务方式和集中排队等待服务方式下，两种排队等待服务方式给系统带来的服务效率的比较。（由于所收集数据中客户平均到达间隔时间和平均服务时间大小的限制，这里只对服务系统拥有10个及10个以内服务台的情况进行分析。）
5.1 c个M/M/1模型
当系统中设置c个服务台，并选择分队列排队等待服务方式时，在这种情况下，把储蓄所的每个服务台看成独立的服务系统，每个服务台前各排一队，且进入某一队排队的客户不相互插队，只在一个服务台前排队，共排c个队列。系统中每个队列的平均到达率就为，每个服务台的平均服务效率为。根据c个M/M/1模型计算(程序见附录2程序[1])，系统的性能指标结果见表四：
表四：c个M/M/1模型中的各个参数和系统指标的值
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
λ
0.9441
0.4721
0.3147
0.2360
0.1888
0.1574
0.1349
0.1180
0.1049
0.0944

0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871

2.4389
1.2195
0.8130
0.6097
0.4878
0.4065
0.3484
0.3049
0.2710
0.2439

0
0
0.1870
0.3921
0.5122
0.5935
0.6516
0.6951
0.7290
0.7507

1
1
0.8130
0.6097
0.4878
0.4065
0.3484
0.3049
0.2710
0.2439

3.5337
0.9526
0.4645
0.2784
0.1863
0.1337
0.1007
0.0787

4.3467
1.5623
0.9523
0.6849
0.5347
0.4386
0.3717
0.3226

13.8122
6.6192
5.0434
4.3526
3.9647
3.7163
3.5436
3.4166

11.2288
4.0359
2.4601
1.769
1.3813
1.1330
0.9603
0.8333

说明：
C：服务台数
λ：平均到达率
：平均服务率
：服务强度
：服务台空闲率
：服务台繁忙率
：平均排队长
：平均队长
：平均逗留时间
：平均等待时间

5.2 M/M/C模型
当系统中设置c个服务台，并选择集中排队等待服务方式时，这种情况下，储蓄所中的所有客户只排一队，每个服务台只给队首的客户提供服务。系统中客户的平均到达率为，每个服务台的服务效率为，整个系统的平均服务效率为。整个系统是标准的M/M/C模型，根据采集的数据计算（程序见附录2程序[2]），系统的性能指标结果见表五：
表五：M/M/C模型中的各个参数和系统指标的值
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
λ
0.9441
0.9441
0.9441
0.9441
0.9441
0.9441
0.9441
0.9441
0.9441
0.9441

0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871
0.3871

2.4389
1.2195
0.8130
0.6097
0.4878
0.4065
0.3484
0.3049
0.2710
0.2439

0
0
0.0517
0.0793
0.0854
0.0868
0.0872
0.0872
0.0873
0.0873

1
1
0.6684
0.2996
0.1199
0.0428
0.0136
0.0039
0.0010
2.3681e-4

2.9054
0.4681
0.1142
0.0293
0.0073
0.0017
3.7433e-4
7.6384e-5

5.3443
2.9070
2.5531
2.4682
2.4462
2.4406
2.4393
2.4390

5.6607
3.0791
2.7043
2.6143
2.5910
2.5851
2.5837
2.5834

2.8316
0.4958
0.1209
0.0310
0.0077
0.0018
3.9649e-4
8.0907e-5

说明：
C：服务台数
λ：平均到达率
：平均服务率
：服务强度
：服务台空闲率
：服务台繁忙率
：平均排队长
：平均队长
：平均逗留时间
：平均等待时间

5.3 分析：
在上述两种排队等待服务方式下，服务系统中的每个服务台的平均服务率是相同的，客户的平均达到率却不等，但是整个服务系统的平均服务强度是相等的。当服务强度，，即当c＝1和c＝2时，系统会形成无限排队的情况，达不到稳定状态。当服务系统只有一个服务台时，服务系统中只有一个队列，系统的服务效率、资源利用率、客户的等待时间和排队长都是一样的。当系统扩充为两个并联的服务台时，无论是分队列排队等待服务方式还是集中排队等待服务方式下，系统都会形成无限排队的情况，整个系统不能达到稳定的状态。只有在，即服务系统中拥有3个或3个以上的并联服务台时，系统才不会有无限排队的情况出现，从而达到稳定的状态。在此，对服务系统中设置3台及3台以上服务台的情况进行分析。
5.3.1 四大指标分析
说明：所有的比值都是用分队列排队等待服务方式服务系统中的指标做分子，集中排队等待服务方式服务系统中的做分母，相比所得。
1)平均队长
从表六和表七中易得：分队列排队等待服务方式下服务系统中的每个服务台的平均队长小于集中排队等待服务方式下的服务系统中的平均队长，从图六中比值在[0,1]之间也可以知道。而且从图六中，还可以明显的看到分队列排队等待服务方式服务系统中的平均队长减小的速度较快，近似指数减小，但是其服务系统的平均队长却大于集中排队等待服务方式服务系统中的。这种现象的产生是因为c个M/M/1系统中的每一个服务台看成一个独立的服务系统，进而客户的平均到达率就变成了，而不是，所以，每个服务台的正在被服务客户数和服务台前等待服务的客户数减少，从而产生了分队列排队等待服务方式下服务系统中的平均队长比集中排队等待服务方式服务系统中的平均队长小，而且减小速度快。同时整个分队列排队等待服务方式下服务系统中的系统排队长又大于集中排队等待服务方式服务系统中的平均队长的现象。
表六：分队列排队等待服务方式下服务系统的平均队长和系统平均队长
C
3
4
5
6
7
8
9
10

4.3467
1.5623
0.9523
0.6849
0.5347
0.4386
0.3717
0.3226
系统平均队长
13.04
6.2492
4.7615
4.1094
3.7429
3.5088
3.3453
3.226

表七：集中排队等待服务方式下的服务系统的平均队长和平均队长的比
C
3
4
5
6
7
8
9
10

5.3443
2.907
2.5531
2.4682
2.4462
2.4406
2.4393
2.439

0.8133
0.5374
0.3730
0.2775
0.2186
0.1797
0.15238
0.132267

图六：平均队长比较
图七：平均排队长比较

2)平均排队长
表八：两种排队等待服务方式下系统中的平均排队长和平均排队长的比
C
3
4
5
6
7
8
9
10

3.5337
0.9526
0.4645
0.2784
0.1863
0.1337
0.1007
0.0787

2.9054
0.4681
0.1142
0.0293
0.0073
0.0017
3.74E-04
7.64E-05

1.2163
2.035
4.0674
9.5017
25.521
78.647
269.014
1030.32

从表八中可以看出：随着服务台数量的增加，两种排队等待服务系统中的平均排队长都很快的减小，但是分队列排队等待服务方式下的服务系统中的平均排队长一直大于集中排队等待服务方式下的服务系统中的平均排队长，且其平均排队长减小的速度远小于集中排队等待服务方式下服务系统的平均排队长减小的速度，这可以从图七中，其比值近似呈指数增长中看出。那么稳态的服务系统中，集中排队等待服务方式下的服务系统中的等待服务的客户的平均人数少于分队列排队等待服务方式服务系统中的，等待服务的客户的数量减少的速度更快，整个服务系统的服务效率更高。而且集中排队等待服务方式服务系统中的排队长对服务台的增加更加敏感，随着服务台数量的增加，排队长急剧减小，可对服务系统是否应该增设服务台提供精确的决策建议。
3)平均逗留时间
表九：两种排队等待服务方式下系统中的平均逗留时间和平均逗留时间的比
C
3
4
5
6
7
8
9
10

13.812
6.6192
5.0434
4.3526
3.9647
3.7163
3.5436
3.4166

5.6607
3.0791
2.7043
2.6143
2.5910
2.5851
2.5837
2.5834

2.4400
2.1497
1.8650
1.6649
1.5302
1.4376
1.3715
1.3225

从表九中可以看出：随着服务台数量的增加，两种排队等待服务系统中的平均逗留时间都减小，再观察图八，从平均逗留时间的比值近似指数减小，可以知道分队列排队等待服务方式系统中的平均逗留时间减小的速度快，又从其比值都大于1，可以知道，尽管分队列排队等待服务方式系统中的平均逗留时间减小的速度快（因为到达的客户近似平均的分配给每个单服务台服务系统），但是分队列排队等待服务方式下的服务系统中的平均逗留时间一直大于集中排队等待服务方式下的服务系统中的平均逗留时间。不能只看分队列排队等待服务方式系统中的平均逗留时间对服务台个数敏感，就断定分队列排队等待服务方式系统中的指标就优于集中排队等待服务方式系统中的指标，变化速度在反映系统性能指标中占重要地位，但是，不能忽略指标本身的值。再仔细观察图八，数据的变化走势平缓，从二点多减小到一点多，而且渐趋水平，说明当服务系统中的服务台达到一定的数量后，两种服务系统中的该指标对服务台的变化不再敏感，而分队列排队等待服务方式系统中的平均逗留时间又总是大于集中排队等待服务方式系统中的平均逗留时间，只能说明集中排队等待服务方式对系统的优化效果更好。

图八：平均逗留时间比较
图九平均等待时间比较

4)平均等待时间
表十：两种排队等待服务方式下系统中的平均等待时间和平均等待时间的比
C
3
4
5
6
7
8
9
10

11.229
4.0359
2.4601
1.769
1.3813
1.133
0.9603
0.8333

3.0774
0.4958
0.1209
0.031
0.0077
0.0018
3.96E-04
8.09E-05

3.6489
8.1402
20.348
57.065
179.39
629.44
2425
10300.37

从表十中可以看出：随着服务台数量的增加，两种排队等待服务系统中的平均等待时间都很快的减小，再观察图九，从它们之间比值的走势，可以知道，分队列排队等待服务方式下的服务系统中的平均等待时间远大于集中排队等待服务方式下的服务系统中的平均等待时间，且其平均等待时间减小的速度远小于集中排队等待服务方式下服务系统的平均等待时间减小的速度，这可从其比值近似指数增长中可以看出。那么稳态的服务系统中，集中排队等待服务方式下的服务系统中的客户等待服务时间远远少于分队列排队等待服务方式服务系统中的等待时间，相同的平均等待时间对服务台数量的要求更低。也就是说对于给定的一个平均等待时间，选择分队列排队等待服务方式就等于选择了要比采用集中排队等待服务方式多设置几台服务台才能达到同样的效果。
5.3.2 资源利用分析
从表十一中的计算结果可以得到，在分队列排队等待服务方式服务系统中，服务台的空闲率快速增加，服务台的繁忙率快速减小。但是服务台越多，服务台的空闲率也越高。因为在此中服务系统中，服务台的空闲率和繁忙率是此消彼涨的关系。在集中排队等待服务方式服务系统中，服务台的空闲率低于分队列排队等待服务方式服务系统中的空闲率，且一直保持较低的水平，随着服务台数量的增多，服务台的空闲率只是稍微增加，且趋于定值，但仍然保持较低的空闲率；服务台的繁忙率低于分队列排队等待服务方式服务系统中的繁忙率，且随着服务台数量的增加，服务台的繁忙率急剧减小。
表十一：两种排队等待服务方式下系统中服务台的空闲率和空闲率的比与繁忙率及繁忙率的比
C
3
4
5
6
7
8
9
10

0.1870
0.3921
0.5122
0.5935
0.6516
0.6951
0.7290
0.7507

0.8130
0.6097
0.4878
0.4065
0.3484
0.3049
0.2710
0.2439

0.0517
0.0793
0.0854
0.0868
0.0872
0.0872
0.0873
0.0873

0.6684
0.2996
0.1199
0.0428
0.0136
0.0039
0.0010
2.37E-04

3.6170
4.9445
5.9977
6.8376
7.4725
7.9713
8.3505
8.5991

1.2163
2.0350
4.0684
9.4977
25.618
78.179
271
1029.9400

图十：空闲率比较
图十一：繁忙率比较

观察图十，两种服务系统的服务台的空闲率比值一直增大，从空闲率的数值上看，虽然变化的幅度越来越小，但是差别越来越大，集中排队等待服务方式下服务系统的空闲率从5％增加到8％时，分队列排队等待服务方式服务系统的空闲率从18%增加到了75%，二者悬殊甚巨。再观察图十一，繁忙率的走势，近似指数增加，从繁忙率的数值上看，两种服务系统的繁忙率都在减小，但是集中排队等待服务方式服务系统的繁忙率减小的速度更快。这就说明，相对分队列排队等待服务方式的服务系统，集中排队等待服务方式的服务系统，在增加服务设备时，能更好的解决服务台的繁忙问题，相比之下，更好的解决了服务台高闲置率和高繁忙率的问题，而且使服务台能同时维持低的繁忙率和闲置率，优化资源配置，充分挖掘资源潜在的能力，达到一种良好的运营状态。
在分队列排