小专题(六)-线段等积式、比例式的证明.doc

小专题(六)　线段等积式、比例式的证明
方法1　三点定型法
要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定型法”找相似三角形．

1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.求证：AB·AE＝AC·AD.

证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即AB·AE＝AC·AD.

2．如图，已知△ABC中，点D在AC上，且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD·AC.

证明：∵∠ABD＝∠C，∠A是公共角，
∴△ABD∽△ACB.
∴＝.
∴AB2＝AD·AC.

3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.

证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠A＋∠B＝90°，CD＝AD.
∴∠A＝∠DCE.
又∵DF垂直平分AB，
∴∠BDF＝90°.
∴∠B＋∠F＝90°.
∴∠DCE＝∠F.
又∵∠CDE＝∠FDC，
∴△CDE∽△FDC.
∴＝，即CD2＝DE·DF.

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B.求证：BD·CD＝BE·CF.

证明：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，
∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠DEB.
∴△BDE∽△CFD.
∴＝，
即BD·CD＝BE·CF.

方法2　等线段代换法
从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定型法”找相似三角形．

5．已知：如图，在▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F.求证：AD·AB＝AF·CE.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC.
∴∠ADF＝∠E.
∴△ADF∽△CED.
∴＝.
∴＝，即AD·AB＝AF·CE.

6．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·CE.

证明：∵△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°.
∴∠ADB＝∠AEC＝120°，
∠B＋∠BAD＝60°.
又∵∠BAC＝120°，
∴∠B＋∠C＝60°.
∴∠BAD＝∠C.
∴△ABD∽△CAE.
∴＝.
∴＝，
即DE2＝BD·CE.

7．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点．求证：BP2＝PE·PF.

证明：连接PC.
在△ABC中，∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC.
∴PB＝PC.
∴∠PBC＝∠PCB.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB，
即∠ABP＝∠ACP.
∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F.
∴∠ACP＝∠F.
又∵∠EPC＝∠CPF，∴△PCE∽△PFC.
∴＝.
∵PC＝PB，
∴＝，即PB2＝PE·PF.

方法3　等比代换法(找中间比)
要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡．

8．如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：＝.

证明：在△ABQ中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.
∴DP∶BQ＝AP∶AQ.
同理△AEP∽△ACQ，
∴PE∶QC＝AP∶AQ.
∴DP∶BQ＝PE∶QC，即＝.

9．如图，在▱ABCD的对角线BD上任取一点P，过P点引一直线分别与BA、DC两边的延长线交于E、G，又与BC、AD两边交于F、H，求证：＝.

证明：在▱ABCD中，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴＝，＝.
∴＝.

10．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)＝.

证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD.
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝ED，∠ABC＝∠DCE＝60°.
∴＝，AB∥DC.
∴∠ABG＝∠CDG，∠BAG＝∠DCG.
∴△ABG∽△CDG.
∴＝.同理＝，∴＝.

方法4　等积代换法(找中间积)
常用到基本图形的结论找中间积．

11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·AC.

证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AED＝90°.
又∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD.
∴＝，即AE·AB＝AD2.
同理，△ADF∽△ACD，
∴AF·AC＝AD2.
∴AE·AB＝AF·AC.

12．(崇明中考)如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AG.求证：＝.

证明：∵∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EBC，
∴△BGD∽△BCE.
∴＝，
即BG·BE＝BC·BD.
又∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA.
∴＝，即BC·BD＝AB2.
∴BG·BE＝AB2，即＝.

13．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2＝EG·EH.

证明：∵AD、BF分别是BC、AC边上高，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BED＝90°.
∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.
∴∠EBD＝∠EDA.
∴△AED∽△DEB.
∴DE2＝AE·BE.
又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，
∴∠EBG＝∠H.
∵∠BEG＝∠HEA＝90°，
∴△BEG∽△HEA.
∴＝，即EG·EH＝AE·BE.
∴DE2＝EG·EH.