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化习题为数学问题
——农村小学数学课堂教学中习题优化的研究
成果摘要：长期以来，在农村小学的数学教学中有这样一种倾向：教学中比较重视对例题的研究而忽视对习题的分析；关注练习的反馈评价功能而忽视练习的其他教学功能；着眼于学生练习的正确率而忽视了练习的教学形式。其实，数学习题是数学教学的重要组成部分，值得我们一线教师进一步深入的研究。本课题主要着力于拓宽数学习题的教育教学功能，使一些数学习题成为值得学生探索的数学问题，从而更好地促进学生的发展。我通过研究和实践，从改造数学习题、改变教学形式入手，通过追寻本源、重组结构、开放情境、激活题材、变换角度、逐层深入、放大主题、多样呈现、师生互动、循序指导等实施策略优化数学习题的教学，不仅促进了学生思维的发展，掌握数学方法，并最终形成了良好的数学能力，同时也改进了教师的教学行为，促进了教学专业素养的提升，取得了令人满意的效果。

关键词：数学习题 数学问题 教学功能 优化策略

一、研究的现实背景
（一）【案例】：
……
师：大家真能干，这么快就把计算三角形面积的方法掌握了，我们一起来说说计算的方法吧！三角形的面积等于----
生齐：底乘高除以2.。
师：为什么要除以2呢？
生：因为底乘以高是求这样的两个三角形拼成的平行四边形的面积。
师：说得太好了，那如果用字母来表示这个公式呢？
生：s=ah÷2
师：不错，接下来老师要看看大家是否真的掌握了，请大家打开书，独立完成习题六第1、2、3题。
学生各自练习，师随机指导。
案例简析：在农村小学的数学课堂上，类似这样的情况时有出现，我们的教师在例题的教学中往往分析得细致入微，然而一旦例题教学完成，学生在教学习题的训练时，总是采用以学生独立完成习题为主的方式，将习题完全当作巩固训练的对象，极少对习题进行优化和其它功能的开发。
（二）课题的源起
数学教材中有两大部分内容，一部分是例题，一部分是数学习题。在现实中，新授内容是教师设计教学的重点，对例题的设计与呈现等方面的策略教师研究得比较透，例题所承载的教学内容自然成为我们研究课堂教学的重点。数学习题虽然也是小学数学教学中重要的组成部分，但在目前教学中，教师较多地关注（甚至是只关注）了习题的评价功能，而没有充分挖掘习题的其他教学功能。从另一方面看，我们在新授课的例题教学中才会较多关注学生的自主探究、合作交流等学习方式，而对练习则更多地让学生记忆模仿、程式化地机械训练，我们常以一种模式化的方式，完成数学化的学习。因此，模仿与记忆这两种学习方式成为众多学生学习数学最普遍的方法。表面上看，许多学生通过这种模式化的训练能够较快较好地掌握数学知识，实际上，学生发现数学问题、解决数学问题的能力却很薄弱。这样的一种模式固然有着其存在的合理性并有其自身的优点，但显然也有着相当的弊病，从这种教学模式中我们不难发现，课堂练习的教学功能仅限于巩固本节课或上一节课的教学内容，以让学生更熟练地掌握数学知识，因此“精讲多练”也就成为了提高教学质量的重要途径，这种教学模式与传统的只注重知识的传授而忽视能力的培养的教学目标是相适应的，学生在学习过程中容易产生以死记硬背代替主动参与，以机械方法代替智力活动的倾向。因此，数学课程的改革离不开数学习题的改革。
在推进新课程的过程中，需要倡导的一个理念是在学习中注重培养学生的问题意识，提高学生解决数学问题的能力（即问题解决）。数学问题可以从现实生活中提炼，可以在一定的情境下产生，也可以把教材中的一个例题设计成为一个数学问题让学生探究和解决。但我们似乎很少把一道数学习题转化为一个数学问题呈现给学生们探究和讨论。这让我们有一种“资源浪费”的感觉，同时也想到这样一个问题，我们一线教师是否可以从拓宽课堂练习的教学功能做起，让一道道数学习题也成为一个个有趣而又值得研究的数学问题，以促进学生更好地学习数学呢？

二、研究的综述：
（一）基于理论
1．杜威的教育理论
实用主义教育思想的代表人物美国教育家、心理学家杜威在《民主主义与教育》中描绘了他的教育观点，他认为学校应该是大社会的一个缩影，而在这一社会中，课堂教学应该是真实生活的重现。他鼓励教师把学生置于问题情境中，并帮助他们思考解决问题策略的优劣，体验最佳方案。他认为，好的教学必须能唤起学生的思维，如果没有思维，那就不可能产生有意义的经验。由“思维”出发，他还认为，教学过程应分成五个步骤，一是教师给学生创设一个与现在的社会生活经验相关联的情境；二是使学生有准备去对待在情境中产生的问题；三是使学生产生思考和假设以解决产生的问题；四是学生能对解决问题的假设加以整理和归类；五是学生通过实际的操作或应用来检验这些假设。在杜威看来，在这种教学过程中，学生可以学到创造知识以应付需求的方法。他的这一观点的本质上是要把学习变成一个研究性学习过程，教学变成一个研究性教学过程，对学习中的每一个环节，都要产生假设和问题，并进行研究，因而，占课堂较大比重的习题，当然也不例外。
2． 建构主义理论
建构主义理论的内容很丰富，但其核心只用一句话就可以概括：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构(而不是像传统教学那样，只是把知识从教师头脑中传送到学生的笔记本上)。建构主义学习观认为学习者的建构是多元化的，其中之一是帮助学习者在新知的学习过程中，联想已学的的旧知，体会新旧知识之间的联系，不断思考，建构自己的知识网络，成为独立的学习者。
3．有效教学理论
有效教学理论认为，机械重复的教学活动是没有效果的，也是没有价值的，甚至是有害的。有效教学的理念主要体现在以下三个方面：（1）促进学生的学习和发展是有效的根本目的，也是衡量教学有效性的唯一标准。（2）激发和调动学生学习的主动性、积极性和自觉性是有效教学的出发点和基础。（3）提供和创设适宜的教学条件，促使学生形成有效的学习是有效教学的实质和核心。
综上所述，改变以往的习题训练模式，使之得到优化，融入一定的问题情境，促使学生避免简单重复，积极地进行研究和探索，从而提高能力是完全可行和必须的。
（二）国内外同类课题的研究概况
从已有的资料中我们看到，目前对数学习题的研究大多是对习题的设计层面涉及的为多，如目前比较热门的开放题的设计、编制研究。也有老师研究练习的呈现次序对教学效果的影响的，但把数学习题转变为数学问题以拓展习题的教学功能这一角度来研究的，据笔者多方查证，还没发现类似的研究课题。
（三）概念的界定
本课题所提及的“问题”与“习题”都是在数学范畴内概念，其中的几个关键概念我们是这样理解的：
1．习题：指的是可以套用以前的法则、方法或者老师传授的范例直接解决的常规性数学问题。习题或练习与问题是有区别的，其重要区别在于：(1)性质不同。数学课本中的习题或者练习，属于常规问题，教师在课堂中已经提供了典范解法，而学生只不过是这种典范解法的翻版应用，一般不需要学生较高的思考。因此，实际上学生只不过是在学习一种算法，或一种技术。 (2)服务的目的不同。尽管有些难度较大的习题对大部份学生实际上也可能是真正的问题，但数学课本中的习题是为日常训练技巧等设计的，而真正的问题则适合于学习发现和探索的技巧，适合于进行数学原始发现以及学习如何思考。因此，练习技巧与解决真正问题所要达到的学习目的不大相同。
2．问题：美籍匈牙利著名数学教育家波利亚在《数学的发现》一书中曾给出“问题”明确含义，并从数学角度对问题作了分类。他指出，所谓“问题”就是意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标。也就是指那些并非可以立即求解或较困难的问题，那种需要探索、思考和讨论的问题，是需要积极思维活动的问题。在1988年的第六屇国际数学教育大会上，“问题解决、模型化及应用”课题组提交的课题报告中，对“问题”给出了更为明确而富有启发意义的界定，指出一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境。
我们对此的理解是：问题需要思维，具有挑战性，没有既有模型或方法可以直接解决的一种积极情境。如果从“解决问题”的角度来解读问题的性质，我们认为问题至少含四种成分，即一是目的；二是个体已有的知识；三是障碍；四是方法。一个好的问题应具备以下几个特征：一是应当明确、具体可感； 二是应当具有思考价值； 三是要关注多维教学目标的达成； 四是问题要具有情境功能。
3．数学问题：对于什么是数学问题，虽然目前尚无统一定论，但大体说来，它有以下特点：一是非常规性；二是重视情境应用，给出一种情境，一种实际需要，以克服一种现实困难为标志；三是探究性。具体来说，数学问题是一种情境状态，这种状态会与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突，在当前状态下还没有易于理解的、没有完全确定的解答方法或法则，换句话说，所谓有问题状态，即学生面临的是不能仅仅应用某种典范的解法去解答。反过来说，一个问题一旦可以使用以前的算法轻易地解答出来，那么它就不是一个问题了。需要指出的是，因为问题是非常规性的，所以数学问题中的“问题”并不包括常规数学问题，也就是教材中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般原则、原理，而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题。

三、课题研究的设计：
（一）课题研究的目标
我们把本课题研究的目标确定为促进每个学生全面而富有个性的发展，使每个学生在数学上得到不同发展，使他们能思考、会思考、善于思考，逐步改变他们的学习方式，培养他们的创新意识和创新能力。具体表现：
1．拓宽数学习题的教学功能
假如说我们以前对数学习题的教学功能仅仅停留在反馈、评价的认识层面，那么把数学习题转化为数学问题一定会大大拓宽其教学价值，在学生思维水平、解决问题的能力、情感体验等方面会有积极的促进作用。
2．影响和改变学生数学学习的方式
由于过去教学中，我们比较忽视数学习题的教学，对数学习题往往只作简单处理（即掌握一定作业量布置学生完成），教师布置学生练习的目的也仅仅是通过针对性的训练使学生获得某种知识和技能，因此学生对习题的反应是机械的模仿和操练。而将数学习题转化为一个数学问题来研究，学生会在情感上有更多投入、在解决问题的过程中有更多的思考和探索、会获得和以往不同的更多的体验，使学生在过去“讲——练”教学模式下的学习得以一定的改变，从而促进学生在知识、技能、情感等方面的发展。
3．影响和促进教师自身的成长
通过本课题的研究，可以改变教师对传统教学的认识，从“数学习题”到“数学问题”的突破，引起教师教学观念的改变。教师对数学习题的二度开发、设计、教学，可能会使教师挑战原有教学的常态，引起教师教学行为的变革，促进教师的成长与发展。
（二）课题研究的方法：
本实验主要以行动研究法为主，辅以实验法和调查法，结合有关文献资料及个案研究，并采用课堂实录、案例分析、学生访谈等手段对课题实施情况进行记录，边实践，边探索，边检验，边完善，把研究与实践紧密地结合起来，边归纳，边总结，通过阶段小结和评价，对实施过程进行调控，促使课题扎实有效地开展。
（三）课题研究的对象：四、五、六年级三个班学生共127人
（四）课题研究的人员：李祝平、张彩琴等四——六年级数学教师5人
（五）课题实施的原则
1．主体性原则：教师的角色是教学活动的组织者，应重在引导、指点学生启动积极的思维系统，以最终形成主动的思维。现在的学生，无论从心理还是从生理特点来看，探究和创造的潜能是巨大的。在习题化为问题的教学中，我们要从内容、方法、策略的选择等方面都要精心设计，强调学生的主体性，构建师生共同交换信息的教学模式，真正做到“以生为本”，促使学生在知识的建构、积极思维的开展和数学能力的养成等方面均得到锻炼和提高。
2．基础性原则：大家都知道，学生知识的发展，是思维能力的知识基础，我们的教学应从基本方法出发，在不断创新、求异的变换中逐步提高，要注重双基的培养，所推出的问题应注重基本方法的引导，忌偏忌难。
3．方法性原则：学生的思维能力由基础知识、智力以及解题技巧三方面有机组成，解题思路的形成与思想方法有关。因此，不论我们对习题作什么改变，在教学中引导学生掌握解决问题的各种思想方法，如化归思想、整体意识、数形结合、类比等思想方法是极其重要的。
4．创新原则：创新是一个民族进步的灵魂。我们引导学生将习题转化为问题的训练中，要注意策略、方法、问题类型等的不落窠臼，积极创新。
5．及时评价原则：不论是何种习题，学生进行探究思维后，教师都要首先进行适当的肯定性评价，调动学生思维的积极性，其次才对学生进行正误的萍判。让学生从教师的讲评中体验成功、得到启示。

四、课题研究的实施过程
（一）学习、探讨、理论研究阶段。
组织学习相关的资料，明确人员分工与任务落实，贮备研究所需要的理论知识，提出课题研究思路，确定研究方案，并完成与研究方案配套的调查问卷、论文综述等。
1.资料收集，完善理论。课题组各成员通过翻阅学校图书室资料；到图书馆查阅相关文献记载或论著；上网搜寻有关的网页、博客等种种手段搜集与本课题相关的资料、记载、文献，以及各种或同或异的观点，还有同行研究类似课题所采用的方法、手段等，并将各自搜寻的材料通过专门召开的研讨会进行反馈交流、综合分析，学习领会，以吸取他人的精华进行取长补短，逐步完善我们的各种理论基础，进一步明确我们研究的方向。
2.反复论证，确定方案。在完成理论基础的同时，我们课题组的每一位成员纷纷对本课题的研究提出了各自的观点及研究思路，大家在认识上较一致的想法我们将它直接列入课题的计划之中，对于看法较多的观点，我们将它作为辩论的话题，在各自反思自己对此观点的原认识的基础上，去伪存真，最后达成共识。经过多次论证，最终我们确立了课题研究的思路，制定了研究的方案。
（二）调研、反馈、分析阶段。
教学过程的真实推进及最终结果，更多的是由课的具体行进状态以及当时教师处理问题的方式决定的。一个好的课堂给予学生的不仅仅是知识和技能，更多的是学习动机的唤醒，思维品质的提升。一个好的教师应是把学生知识的获取、能力的发展、情感的升华、个性的张扬尽可能地融于教学活动中。课程改革已经实施，并正在轰轰烈烈地进行着，教师在习题优化的构建上有了哪些改进，还存在着哪些问题？学生对教师在教学过程中的习题设计又有哪些新的意见和建议呢？学生的问题意识到底发展到了何种程度？他们认同教师对习题所作的改动吗？……，为了解上述等情况，本课题组展开了大量的调查工作，目的想通过调查，了解在课堂习题的练习中存在的问题，以期通过改革实践，更新教师理念，提高课堂教学效果，增强学生学习的兴趣，让课堂展现出崭新的面貌。以下是我们对高年级三个班127名学生进行的一次调查中的部分题目：
调查题目
备选答案
调查结果统计
进行习题训练时，你会完整地读题吗？
A、每次都会；B、大略地读，会做就不读了；C、先看题型和数量，很少读题。
A37.0%；B33.1%；C29.9%
进行习题训练时，你会分析其中的数量关系吗？
A、每题都会；B、做不出来才会；C、几乎不会。
A7.1%；B75.6%；C17.3%
老师改动书上的习题后，你认为：
A、好；B、差不多；C、不好。
A63.8%；B33.9%；C2.4%
你希望习题与例题的关系是
A、没啥变化；B、变化不多；C、比例题更灵活。
A13.4%；B67.7%；C18.9%
你希望习题所提供的信息
A、都是完整地；B、是可以选择的；C、不完整，需要我添加。
A5.5%；B80.3%；C14.2%
你希望解决一道习题的方法
A、只有一种；B、至少有两种。
A7.1%；B92.9%
你希望习题中的问题
A、已明确提出；B、可以选择；C、由我提问。
A24.4%；B49.6%；C26.0%
调查结果分析：大多数学生对待习题的态度大都是一种任务式的心理，以完成为最终目标，很少完整地读题，有些优秀的学生甚至只是瞄上一眼就知道了解决的办法，根本不需要进行数量分析，因此往往很快就做完了，学生大都希望习题提供的信息和问题是有选择的，对于教师对习题所作的修改，他们大都认为较好。
由此，我们认为让学生看上几眼就知道解决方法，或者与例题过于雷同的习题连学生都认为不好，事实上这样的习题仅仅起到了训练的目的，学生的思维很少被调动起来，对学生而言“跳一跳能摘到的果实是最甜的”。因此需要我们对有些习题作必要地优化，变习题为问题，让学生真正从习题中学到方法的同时也能形成能力。
（三）实践、落实、总结阶段。
1.落实分工，明确方向。在总课题的方案下，课题组每位教师将课题的思想融入具体的教学活动中，积极进行实践探索：每位教师根据各自的分工设计好自己研究的子方案，明确努力的方向，并落实到具体实践中。具体分工如下：
具体任务或承担子课题名称
负责人
课题策划，工作分工，过程的监测与指导，
张彩琴、李祝平
习题优化的途径与方法的研究
张彩琴
理论的归纳与整理
周春霞
教学研讨课
严忠娟、周春霞
结题报告的攥写
李柷平
2.精心设计，完善思路。在课前的备课中融入课题研究的思想，设计好相应的教学思路，并进行全方位地预设，对教学中的每一个习题都进行充分的设想，力求备课的准确、全面、到位。在具体的教学实施过程中，每位教师力争将转化的理念贯穿整节课，着力培养学生的问题意识及思考能力。
3.积极反思，完善理论。同时，我们要求各成员对每一节课的得失成败进行深入的总结与反思，及时调整自己的教学思路、教学行为和教学方法，并在此基础上积累第一手的资料，认真总结，努力形成一套较完整的转化理论，一些具有可操作性的习题优化的方法。俗话说“实践出真知”，经过课题组全体成员的逐步总结，逐步讨论，逐步完善，取得了一些理论成果。
（四）应用、检验、论证阶段。
辩证唯物主义认为“真理来源于实践，反过来又更好地指导实践。”课题经过反复的实践、总结，研究具有了初步的成果，我们决定将它们“物化”并融入于具体的教学活动中。为此，我们积极开展了集体备课活动，首先我们选择了《百分数应用题》、《圆的面积》和《分数的认识》等三节课作为开展课堂研讨活动的教学内容，认真学习了三个教学内容各自的教学目标及重点、难点，然后充分讨论了每个教学内容的教学思路、教学方法等的安排，重点探讨了引导学生进行习题优化的着落点，细心设计了各类习题，最后我们边讨论边修改基本完成了相应的教案。
教案成稿后，由张彩琴、严忠娟、和周春霞老师分别执教了三节课，每次课后，我们全体成员都举行全面细致的评课，对照要求逐点进行分析，特别探讨了课堂上对习题转化的处理，找到成功之处，同时也讨论如何改进不够的地方。进一步丰满了大家对习题转化为问题这一理论的理解，也增强了大家全面实施课题的能力和信心。
（五）总结、提升、结题阶段。
经过了实践的摸索，反复的论证，不断地验证小结，我们的理论日趋完善，暴露出的问题也越来越少，课题组决定进行全面的完善总结，大家聚在一块，仔细领会开展研究以来形成的各阶段性操作成果，筛选自己在教学实践中得到的案例，结合自己的心得，站在一个新的高度纷纷提出了建设性的改进建议，最终形成了可操作性较强的科研理论，课题的研究取得了满意的成果。

五、课题研究的实施策略
我们本着小课题、细研究的想法，力求做实这一课题。注重在平时的教学中实践课题思想，探索操作要点，形成课题成果。我们采用：现有素材分析 提出实施方法 课堂教学实践 讨论与反思 调整与改进 总结与提炼的研究方法开展这一研究。由于课题切入点小，又与日常课堂教学联系紧密，所以，平时比较容易关注此课题的研究内容，能较好地结合日常教学进行一定的研究。原来我们对数学习题的教学功能的认识大多仅限于反馈和巩固，其实数学习题的教学价值远不仅如此，我们觉得其功能至少有如下几个：教学功能、教育功能、反馈功能、巩固功能、发展功能等。优化数学习题教学，使数学习题成为真正的数学问题，可以大大拓展数学练习的教学功能，充分发挥其应有的教学价值。我在研究中作了一些探索，对教材中的一些习题作了分析后，发现确实有很多很好的教学资源，一些数学习题的确可以改造成为一个个数学问题，学生也乐于这种形式的学习。
（一）改造习题，优化功能，使习题更具有“问题性”
传统的练习过分强调纯数学化，凸显了数学知识的掌握和数学技能的形成，而忽视了数学思考的培养和学习素养的发展。适当改变数学习题平铺直叙的呈现形式，进一步挖掘数学练习的教学价值，使数学习题充满“问题性”，可以优化数学习题教学，丰富习题教学的功能。
1．追寻本源。现行教材中的某些习题重在促使学生记住某些数学结论，形成一定的数学解题技能，而没有很好地呈现或者要求学生追寻数学知识的本原。在练习时，学生往往只需按照例题的模式进行简单的仿照就可以解决了。因此我们有必要对此进行重新定位，改变习题的设计，遵循该知识的认知规律和呈现方式，最终引导学生从知识的源头上进行思考，达到理解和掌握的目的。
【案例1】在学生学习了质数和合数一课后，教材中安排了这样一个练习： “从下面1——100的数中，先划掉2的倍数，再依次划掉3、5、7的倍数（3、5、7本身不划掉）”一题，让学生按要求划数，并观察“剩下的都是什么数？”，这在一定程度上体现出了寻找质数的方法，但这一寻找质数的过程中，学生的思维并没有得以激发，属于学生个性的思考没有参与这一学习活动，因此他们的学习行为是盲目的、被动的。如果教师对这一练习中这样设计：
a．你能找出下面1——100这100个数中所有的质数吗？（每人发一张练习纸，将 这b．100个数每10个数排一行，排成10行）你准备怎样去找呢？自己动手试一试
c．你发现怎样能较快找出100以内的所有质数？（小组讨论，再汇报交流）
d．你从刚才寻找质数的过程以及这张100以内的质数表中，你有些什么想法或发现呢?
这样设计，虽然有些孩子开始时会无从下手，但通过小组的讨论，他们也逐渐摸索到了其中的方法，经过自己的探究、与同学的合作，成功解决了这一数学问题。让学生知其然并且理解了其所以然，不仅大大提高了学生解答这道习题过程的思维含量，也使他们在数学方法上得到提高，学生情感也得到了提升。这类习题，只需对其中所蕴涵的数学知识略作深究，便可使之成为一个数学问题，并且与原来的练习相比，在时间上增加不多，只需在课堂教学设计时略作调整便可顺利实施。
2．重组结构。我们经常会碰到这样的习题：他们要么是与例题极为相似的具有针对性的巩固练习，要么是对例题进行了一定程度上的改编，使得习题在原来的基础上有了加深。这样的习题，往往结构雷同，用一道习题解决某一个问题，习题与习题之间的联系被相对割裂、分散，教学时也常常是按某一个个很小的知识点展开并进行训练的，由于知识点与知识点是分散教学的，学生缺少整体感悟，教学效果不甚理想。
【案例2】第七册“小数乘法”单元中在两个课时中分别安排了这样两个练习：
1：“根据16×45=720，写出下面各题的积。1.6×45= 160×45= 0.16×45= 0.016×45= 16×4.5= 16×0.45= 16×450=”；
2：“仔细观察（ ）两边的数或算式， 然后填上>、<或=、，75×0.97（ ）75；48×1.03（ ） 48；5.2×1( )2.6； 8.8×0（ ）0；……”。两个练习是在例题“每千克大米4.4元，买6千克大米需付多少元？”的基础上进一步明确小数乘法的算理（小数点的定位）和一个数乘以小数积的大小变化这两个知识点，例题所要达到的目标是使学生掌握小数乘法的计算方法，这三者在教材中是分散的。如果我们将例题与习题作一整合，这就可以使之成为一个完整的数学问题，对于学生的知识系统的建构更积极主动。我将题目设计为：“每千克大米4.4元，买（ ）千克大米需付多少元？”。让学生自主选择购买的千克数，并尝试解决，在汇报中加以整理、比较、分析，这两个习题也就融于这一数学问题的解决之中了。
这类习题，可以有目的的进行整合或综合，就可以成为一个完整而系统的数学问题了，而且可以完全融于课堂教学之中，是最容易实施的一种设计方法。
3．开放情境。新课标要求我们要以一种开放的态度，、去引导学生进行同样开放的学习和体验，因此，我们要将原来相对封闭的数学习题都设计成开放性的习题，使学生在一个开放的情境中进行学习，让他们的思维得到较大的拓展，学生对数学知识的整体把握也会有很大的加强，更重要的是，学生学习数学的自主性、解决数学问题的兴趣也会得到提升。
【案例3】在《按比例分配应用题》教学中，有这样的一道习题：张明带了60元钱去书店买书，买的童话书与科学书所用钱数的比是2：3，他买两种书各花了多少元？这样的习题表述以及习题本身所含的价值都是我们司空见惯的。我将此题进行这样的改造：张明有60元零用钱，具体用途和分配情况如下：
零用钱60元
买学习用品
买零食
去网吧玩网络游戏
2 ： 4 ： 4
？元
？元
？元
（1）看了这一信息，你有什么想法？如果是你，你会怎样安排这60元零用钱？
这个练习，不仅起到巩固新知，掌握按比例分配问题的结构特征，而且可以引导学生在现实的情境中应用知识解决问题，还能让学生围绕生活中的话题——零用钱，提出自己个性化的想法，使数学与生活实际联系起来，感受数学问题的生活性。
【案例4】在教学分数的意义一课的结尾，设计了这样的习题：请你任意选一个分数，并用图中的阴影表示出来。

生1：选，可以用图中的6个圆圈表示。
师：为什么可以用6个圆圈表示？
生1：把12个圆圈看作单位“1”，平均分成2份，每份是6个，就可以用表示其中的一份。
生2：选，可以用图中的4个圆圈表示。
生3：选，可以用图中的3个圆圈表示。
生4：选，可以用图中的2个圆圈表示。
生5：选，可以用图中的1个圆圈表示。
师：大家在解答这道题目的过程中，有什么想法？
生：同样是把12个圆圈看作单位“1”，同样是取一份，由于平均分的份数不同，每份所包含的圆圈的个数也不同。
这样的练习形式，首先给学生的是自主选择的机会，想表示哪个分数和怎样表示都可以由自己做主，尽管图中与一个分数相对应的圆圈的个数是确定的，但具体用哪几个圆圈表示是不确定的。其次是运用数形结合，既加深了学生对分数意义的理解，又为后继学习如异分母分数的加减法、求一个数的几分之一是多少的分数应用题等打下基础。
4．激活题材。现行教材中安排了大量的习题资源，应该说大多数习题本身就包含着丰富的信息，具有较强的数学思维性，在呈现给学生进行练习时，只要教师稍作改造，就会成为一个很好的数学问题，可以让让学生在练习时进行探索和思考。
【案例5】在学习了《百分数的应用题》后，练习中有这样一道习题：“修路队修一条公路，前3天修了计划的20%，照这样的速度，修完这条公路还需要多少天？”如果老师在呈现时，再添上一个信息，使题目变为“工程队要修一条长5000米的公路，前3天修了计划的20%，照这样的速度，修完这条公路还需要多少天？”。信息一丰富，即引发学生众多的解法：解法一：（5000-5000×20%）÷（5000×20%÷3）=12（天），解法二：5000÷[（5000×20%÷3）-3=12（天），解法三：5000×（1-20%）÷（5000×20%÷3）=12（天），解法四：3÷20%-3=12（天），解法五：1÷（20%÷3）-3=12（天），解法六：3×[(1-20%)÷20%]=12（天），解法七：3×（1÷20%）-3=12（天）。
教学中，学生根据自己的理解，全部或部分选择题中的信息，从不同角度不同程度地解决了这一问题，有利于学生更好地理解这一知识，也有利于培养学生思维的广阔性和独创性，更好地激励学生的学习兴趣。
5．变换角度。小学数学教学中，我们大多数教师采用的往往是“例题+习题”的模式，例题常常与习题一一对应，即使有所不同也变化不大，这样的形式使得学生在每节课的练习环节容易仿造例题，单一的形式不利于学生数学方法的建模，也不利于知识的增量和思维的发展。其实，在练习时只要变化一下习题考察知识点的角度，就可起到事半功倍的效果。
【案例6】在学习了除数是整十数的口算除法后，除了设计“400÷50，720÷60，480÷（ ）=80”这样的习题，还可以设计这样的一些习题，“120÷□0>3，□□0÷40<8，420÷□>60”，可以填一种，也可以填多种结果。又如：在学习了分数的基本性质后，把填空题：
变为

学生容易产生负迁移，误解为分子分母同时增加一个数，分数的大小也不变，在反馈中学生会对此进行反思，从而获得了更深刻、更丰富的发展体验。变换一个角度引发思考，学生对知识的理解更深刻，思考的广度和深度也更大，习题的教学价值也就更大。
6．逐层深入。小学数学无论是教科书还是作业本中的习题，很多时候落实的是习题的训练功能，学生只需依照先前的知识积累，完成习题的演算就行了，缺乏思维的深入思考，因此往往让学生觉得枯燥无味，在实践中，我们可以结合学生的生活，适当的转化习题的情境，激发学生的兴趣，不断深入，最终达成多个目标。
【案例7】在学习“因数是三位数的乘法”时，书上那些公式化的习题让学生感觉与自己生活太远，和白己的关系又不是很密切，所以不能激发学生学习的兴趣，。于是，我们联系学生的生活把习题转化问题。上课伊始，就让学生猜测一个滴水的水龙头每天要白白流掉多少千克水?学生们一听是生活中经常能遇到的事情，兴趣盎然，有的猜测5千克，有的猜测10千克，还有的猜测20千克，有个别学生看到了课后的内容说出来是12千克。教师接着问，照这样计算，一年要流掉多少千克水?学生马上算出平年是4380千克，闰年是4392千克。随着计算结果的出现，学生觉得非常吃惊：“哇!这么多呀!”看着学生吃惊的样子，教师又提出新的要求：“你家所在的小区一共有多少户?如果按三户人家有一个水龙头在滴水来计算，一年要白白流掉多少水?”
联系生活将习题变成问题后，不仅让学生兴趣盎然，使多个知识点得到了训练，而且让学生通过计算充分感悟到了节水的理念。
7．放大主题。学生进行数学学习的方式可以是多种多样的，小课题研究成为课程实施中很好的一种学习方法。一些数学习题，往往是小课题研究的切口。在“带着问题进课堂又带着问题出课堂”的教学思想指导下，一些数学习题略作深化即可成为一个值得研究的数学问题。
【案例8】在《圆的认识》学习之后，学生对“生活中的圆形物体的圆心和直径怎样找到”这一问题很感兴趣，我们就将“巧测直径”作为研究课题放手让学生自主研究。学生在实践中集思广益，动用了各种手段，想出了各种各样的方法，甚至有学生还自制了一个简易的游标卡尺。
小课题研究其实是一种综合性学习，在这样的学习形式中必将极大改善学生的学习方式，使学生更好的发展。
（二）改变形式，注重整体，使习题更具“创造性”
对数学习题的重新改造，使之成为更加有利于学生学习的数学问题，是我们研究的重点，但是在具体的课堂教学中如何实施却是最终能否促进学生数学学习的重要环节。所以，我们认为，除了要设计好习题，还要重视改变原来习惯于把书上的题目做完就了事，或布置大量相仿的题目来操练的做法，在教学形式上也做一些改进。
1．多样呈现。《小学数学课程标准》有这样一段话：教材编写时，应采用多样的形式（如图片、游戏、卡通、表格、文字等），直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素材，提高学生的学习兴趣，满足多样化的学习需求。对教材编写提出这样的要求，当然对教材在平常设计练习时，也应努力做到练习的内容、呈现的方式、练习的形式上力求丰富多彩。
【案例9】学生在进行了乘法应用题的学习后，教材以看图编应用题并列式解答的练习作为巩固练习，在具体的教学中我采用了如下的形式教学：
（1）看图编一道用乘法计算的问题，并列出算式计算。

学生编出：每盘有5个苹果，3盘一共有多少个苹果？列式：5×3=15或3×5=15。
接着教师出现遮盖住的三个盘子（如下图），并提出：这三个盘子里的物品和数量是一样的，现在你能猜一猜三个盘子里到底是什么？有几个？能编出用乘法计算的问题吗？

这是大部分学生猜想每个盘子的苹果个数发生了变化，说到每盘有1个、2个、3个、……、9个苹果，分别编出了完整的应用题，并列出乘法算式：1×3、2×3、3×3、……、9×3。
（2）继续利用媒体出示四张空白的长方形，同时向学生说清楚这是四张反面画着人物或物品数量相同的画，你还能猜一猜画着什么？还能编出用乘法计算的应用题吗？
学生展开想象，先互相编题，接着组织反馈评价。如学生在反馈中说到：
① 每张画画着5架飞机，4张共画了多少架飞机？算式：5×4=20或4×5=20。
② 每张画画着6个小朋友（在做……），4张画共有几位小朋友？
算式：6×4=24或4×6=24。……
当学生编得较多时，教师利用媒体移动这四张长方形白纸，出示下面每组有4个小朋友在跳绳的图景，并提出：4组共有几个小朋友在跳绳？（如下图）

再接着又重新出示四张长方形的白纸，同时又提出：下面这四张白纸的背面又画着发生在你们生活中的事情，你还能猜一猜是什么事，说出用乘法计算的应用题吗？
生1：现在每组的5位小朋友在跳绳，4组共有几位小朋友？算式：5×4=20或4×5=20。
师：你编的问题是对的，但现在画得不是跳绳的事情。
生2：每组有3位小朋友在打球，4组共有几位小朋友？算式：3×4=12或4×3=12。
师：有可能，还有其它可能吗？请你们互相说一说，并列出乘法算式。
（这时学生猜想的积极性相当高涨，联系自己身边的生活，编出了许多乘法应用题。）
这一环节练习的设计，教师巧妙地借助于空白纸的遮盖，并借助媒体的移动，为学生创设了猜想情境和空间。这一设计看来非常简单，无非是先将原来已画好的每盘苹果，每组小朋友的画面遮盖住，引发学生去想象，而训练过程所产生的效果截然不同。原来是直接观察每幅图去编出用乘法计算的问题，则只能编出一题，练习形式是封闭的，练习的参与是被动的。而现在学生是针对遮盖画面，可以从多角度展开想象，自觉主动地联系生活事例编出应用题，列出算式。这样的练习既能使知识与技能得到较好地训练，还能使学生真正经历自己猜想、编题、列式过程，有助于提高解决问题的能力。
2．师生互动。不管是何种形式的练习，首要的一个训练目标，应该要调动学生的思维，尽可能要让学生处在积极的思考状态下，这样的练习才能成为有价值的学习活动。当数学习题成为一个数学问题时，有必要师生共同讨论，共同思考，共同解决，共同分享。因此，有些问题需要老师、同伴的共同参与，在互动中得到知识的增量、思维的发展、情感的升华。
【案例10】在五年级“因数和倍数”的练习中，在引导学生系统整理完所学的知识之后，我设计了如下题目：为了便于同学们与老师之间的联系，我把我的电话留给大家：
□□0□□□□。 从左往右依次是：
第一个□里的数字是10以内（不含10）最大的偶数；
第二个□里的数字是最小的质数；
第三个□里的数字既是素数，又是偶数；
第四个□里的数字既有约数4，又是8的倍数；
第五个□里的数字是最小的奇数与最小偶数的和；
第六个□里的数字既不是素数，也不是合数。
学生个个积极思考，主动探索，利用已学的概念很快知道了我的电话号码。接着，我说：“老师也很想知道你们家的电话号码或手机号码，请同学们自己也来‘设计’一道题目，