抛物线绕原点旋转之后的方程式.docx

关于如何把二次函数图像绕原点旋转
这个玩意儿纯属无聊…………
故事来源：
好像是在期末复习二次函数的时候，在说二次函数图象的时候，老师问我们：“把抛物线绕远点旋转180°的函数解析式是什么？”立刻有人回答。这时我和旁边的朱格都想到一块去了，异口同声的叫道：“45°，哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈…………”遂大笑不止。
笑完之后我就开始思考了：对啊，把抛物线旋转45°岂不是很有趣？我开始想如何把抛物线旋转45°，并借此推广至所有的角度。但是期末复习时节比较忙。一直没去想。
之后分流考之前一天，没什么作业（不想做寒假作业），就想到了这个东西。于是开始计算推导…………
推导过程：
抛物线旋转45°，就是把抛物线上的每个点都绕远点旋转45°得到的图形。这样出来的图形肯定不是类似于y=f(x)的函数了，每一个x对应两个y了都，只能用一个方程或者是参数方程来表示了。
考虑到就是把抛物线上每个点都旋转45°，就联想到了这学期学的用矩阵表示图形变换。
把一个图形逆时针旋转度的变换矩阵是：

先用y=x²试试，把抛物线上的点用矩阵表示出来就是这样：
做乘法：

于是我们就得到了绕原点逆时针旋转45°的抛物线的参数方程：

使用几何画板绘图验证：
饿，很成功啊，证明可以用矩阵变换的方法得到抛物线绕原点旋转之后的图形。
好了，现在开始一般化，把抛物线变成y=ax²+bx+c
那么坐标矩阵就是：

乘胜追击：一般化后的矩阵乘法：
很长的乘法啊…………
由此得到一般化后的参数方程：

再次请出强大的几何画板验证：
注：x 轴上a,b,c,r点横坐标分别对应抛物线系数中的a,b,c以及（单位是弧度）
看起来很不错啊，顺便再附上t的几何意义。由矩阵变换易知，旋转可以看做是把坐标给旋转了，由此t就代表旋转后抛物线的横坐标。

后记：其实如果没有数学小论文这个作业的话这个玩意儿也没什么好写的，应付作业而已，所以还有篇论文就不写了。本文的东西估计随便拉个高中生都能解出来，用极坐标表示一下就好。对于刚学过线性代数的大学生更是不在话下，几分钟就好。本人无能，只能想到两个主意，只不过都比较弱智，就只写了这篇，其它能长篇大论的想法我实在没什么主意。