广东省广州市越秀区2022-2023学年九年级数学上学期期末考试试卷（答案）.docx

2022－2023 年广东省广州市越秀区九年级数学上册期末考试试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列国产新能源汽车图标中，是中心对称图形的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义直接判断即可．

【详解】解：观察四个选项可知，只有 C 选项中的图形绕某一点旋转 180 度后能与自身重合， 因此 C 选项中的图形是中心对称图形，
故选 C．

【点睛】本题考查中心对称图形的识别，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．
2. 用配方法解一元二次方程 x2 + 6x + 5 = 0 ，下列变形正确的是（ ）

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A. ( x + 3)2 = 4
B. ( x - 3)2 = 4
C. ( x + 3)2 = 14
D. ( x + 3)2 = 14

【答案】A

【解析】

【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．

【详解】解： x2 + 6x + 5 = 0 ， 移项，得 x2 + 6x = -5 ，
配方，得 x2 + 6x + 9 = -5 + 9 ，
即( x + 3)2 = 4 ，故选 A．
【点睛】本题考查解一元二次方程——配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．

3. 下列说法正确的是（ ）

A. “相等的圆周角所对的弧相等”是必然事件

B. “相等的圆心角所对的弧相等”是必然事件

C. “等弦（不是直径）所对的弧相等”是必然事件

D. “等弧所对的弦相等”是必然事件

【答案】D

【解析】

【分析】根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可．

【详解】解：A 选项，只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，因此“相等的圆周角所对的弧相等”不是必然事件；
B 选项，只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，因此“相等的圆心角所对的弧相等”不是必然事件；
C 选项，只有在同圆或等圆中，等弦（不是直径）所对的弧才相等，因此“等弦（不是直径）所对的弧相等”不是必然事件
D 选项，“等弧所对的弦相等”是必然事件， 故选 D．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角、圆周角的关系，以及事件的分类，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，等弧对应的弦是相等的，不仅对应的弦相等，对应的圆周角、圆心角都是相等的．
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3, 0) ，点 B (0, 4) ，以点 A 为圆心， AB 长为半径作e A ，则原
点 O 与e A 的位置关系是（ ）
A. 点 O 在e A 上 B. 点 O 在e A 外 C. 点 O 在e A 内 D. 以上皆有可能
【答案】C

【解析】
【分析】先根据勾股定理求出e A 的半径r = 5 ，根据OA < r 可得出点 O 在e A 内．
【详解】解：Q 平面直角坐标系 xOy 中，点 A(3, 0) ，点 B (0, 4) ，
\ OA = 3 ， OB = 4 ，

OA2 + OB2
32 + 42
\ AB = =
Q OA < r ，
\点 O 在e A 内， 故选 C．
= 5 ，即e A 的半径r = 5 ，

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，解题的关键是根据勾股定理求得e A 的半径．
5. VABC 的三边长分别为 2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF ，其最长边为 12，则 VDEF 的周
长是（ ）

A. 54 B. 36 C. 27 D. 21

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形的性质求解即可．

【详解】解：∵△ABC 与△DEF 相似，△ABC 的最长边为 4，△DEF 的最长边为 12，

∴两个相似三角形的相似比为 1:3，

∴△DEF 的周长与△ABC 的周长比为 3:1，

∴△DEF 的周长为 3×（2+3+4）=27， 故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．

6. 如图，将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转至△DEC，使点 D 落在 BC 的延长线上．已知∠A=33°，

∠B=30°，则∠ACE 的大小是（ ）

A. 63° B. 58° C. 54° D. 52°

【答案】C

【解析】

【分析】先根据三角形的外角性质求出ÐACD = 60o ，再由VABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到VDEC ， 从而得到△ABC≌△DEC ，证明ÐACD = ÐBCE ，再利用平角为180o 即可．
【详解】解：∵∠A = 33o ， ÐB = 30o ，
∴∠ACD =∠A +∠B = 63o ，
∵ VABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到VDEC ，
∴△ABC≌△DEC ，
∴∠ACB=∠DCE，
∴ ÐACD = ÐBCE ，

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∴∠BCE = 63o ，
∴∠ACE = 180o- ∠ACD -∠BCE = 54o
故选 C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得△ABC≌△DEC ．
7. 如图， eO 是VABC 的外接圆，半径为 1， AB = 2 ，则ÐC 的度数是（ ）

A. 60° B. 45° C. 36° D. 30°
【答案】B

【解析】
【分析】先利用勾股定理的逆定理得出VAOB 是直角三角形，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接OA ， OB ，

Q AB = ， OA = OB = 1 ，

2
\ AB2 = OA2 + OB2 ，
\ VAOB 是直角三角形， ÐAOB = 90° ，
\ ÐC = 1 ÐAOB = 45° ，
2

故选 B．

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
8. 在平面直角坐标系中，抛物线 y = (x + 2)(x - 4) 经变换后得到抛物线 y = (x - 2)(x + 4) ，则下列变换正确的是（ ）
A. 向左平移 6 个单位 B. 向右平移 6 个单位

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C 向左平移 2 个单位
D. 向右平移 2 个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：y=（x+2）（x﹣4）=（x﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）．

y=（x﹣2）（x+4）=（x+1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）．

所以将抛物线 y=（x+2）（x﹣4）向左平移 2 个单位长度得到抛物线 y=（x﹣2）（x+4），故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
9. 在直角三角形 ABC 中，ÐC = 90° ， AB = 10 ， AC = 6 ，点 M，N 分别在 BC ， AB 上，若 MN ^AB
于点 N， AN = MN ，则 AN 的长是（ ）
15 30 4 7
A. B. C. D.
4 7 15 30
【答案】B

【解析】
【分析】用勾股定理解Rt△ABC 求出 BC ，再证V ABC∽VMBN ，根据对应边成比例即可求解．
【详解】解：如图，

Q ÐC = 90° ， AB = 10 ， AC = 6 ，

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AB2 - AC 2
\ BC =
= = 8 ，

102 - 62
设 AN = MN = x ，则 NB = AB - AN = 10 - x ，
Q ÐACB = ÐMNB = 90° ， ÐABC = ÐMBN ，
\ V ABC∽VMBN ，
\ AC = MN ，即 6 = x ，

BC BN
8 10 - x

解得 x = 30 ，

7
即 AN 的长是 30 ．
7
故选 B．
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明V ABC∽VMBN ．
10. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a, b, c 为常数， a ¹ 0) 中的 x 与 y 的部分对应值如下表所示：

x
…
－1
0
3
…
y
…
n
－3
－3
…
当 n > 0 时，下列结论正确的是（ ）
A. bc < 0 ；
B. 当 x > 2 时， y 的值随 x 的增大而减小；
C. 点 A(x1，y1) 、 B(x2，y2 ) 是抛物线上两点， x1 < x2 ，当 x1 + x2 < 3 时， y1 < y2 ；

D. 当 n = 1 时，关于 x 的一元二次方程 ax2 + (b +1) x + c = 0 的解是 x = -1, x = 3
1 2

【答案】D

【解析】

【分析】A 选项，根据二次函数图象的对称性找出对称轴，再根据对称轴左侧函数 y 随 x 的变化情况，判断图象开口方向，进而判断系数的正负；B 选项，当 x > 2 时，图象位于对称轴的右侧，结合开口方向即可判断； C 选项， 分 A(x1，y1) 与 B(x2，y2 ) 在对称轴同侧与异侧两种情况， 分别进行判断； D 选项， ax2 + (b +1) x + c = 0 变形为 ax2 + bx + c = -x ，讨论一次函数 y = -x 与二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的交点情况即可．
【详解】解：由二次函数图象经过(0, -3) ， (3, -3) ，可知对称轴为直线 x = 0 + 3 = 3 ，
2 2

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即 x = - b
2a
= 3 ，则b = -3a ，
2

Q n > 0 ，
\在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，
\抛物线开口向上，则 a > 0 ，
\ b = -3a < 0 ， 又Q c = -3 < 0 ，
\ bc > 0 ，故选项 A 错误；

Q 抛物线开口向上，对称轴为直线 x = 3 ，

2
\当 x > 2 时， y 的值随 x 的增大而增大，故选项 B 错误； 当 x1 + x2 < 3 时，分两种情况：
当点 A(x ，y ) 、 B(x ，y ) 都在对称轴 x = 3 的左侧时，
1 1 2 2 2
Q 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，

\ y1 > y2 ，
当点 A(x1，y1) 、 B(x2，y2 ) 在对称轴异侧时，

Q x1 + x2 < 3 ，
\ x1 + x2 < 3 ，
2 2
\ A(x1，y1) 到对称轴的距离大于 B(x2，y2 ) 到对称轴的距离，

\ y1 > y2 ，
故选项 C 错误；
当 n = 1 时，函数图象经过(-1,1) ，
ax2 + (b +1) x + c = 0 变形为 ax2 + bx + c = -x ，
由题意知，点(-1,1) 与(3, -3) 即在一次函数 y = -x 的图象上，也在 y = ax2 + bx + c 的图象上， 可得点(-1,1) 与(3, -3) 是两个函数图象的交点，

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因此关于 x 的一元二次方程 ax2 + (b +1) x + c = 0 的解是 x = -1, x
= 3 ，

1 2

故选项 D 正确． 故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的对称轴、增减性、二次函数与一次函数图象的交点等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的解题方法．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(-1, 2) 关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】(1, - 2)

【解析】

【分析】关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(-1, 2) 关于原点对称的点的坐标是(1, - 2) ， 故答案为：(1, - 2) ．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题的关键．

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y = -x2 + 2x + m 与 x 轴有两个不同交点，则 m 的取值范围是

．
【答案】 m > -1

【解析】

【分析】由抛物线 y = -x2 + 2x + m 与 x 轴有两个不同交点，可得-x2 + 2x + m = 0 中， D > 0 ，由此得到关于m 的不等式，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 y = -x2 + 2x + m 与 x 轴有两个不同的交点，

∴ -x2 + 2x + m = 0 中， D > 0 ， 即22 - 4 ´(-1)´ m > 0 ，
解得： m > -1．
故答案为： m > -1．
【点睛】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点问题，对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) ，当
D = b2 - 4ac > 0 时，抛物线 y = ax2 + bx + c (a ¹ 0) 与 x 轴有两个不同的交点，掌握上述内容是解题的关键．
13. 设a ， b 是方程 x2 + x - 2023 = 0 的两个实数根，则 a2 + 2a + b 的值为 ．
【答案】 2022
【解析】

【分析】先根据一元二次方程的解得到 a2 + a = 2023 ，利用根与系数关系得到 a + b = -1 ，则
a2 + 2a + b = (a2 + a) + (a + b) ，再利用整体代入的方法计算即可
【详解】∵ a ， b 是方程 x2 + x - 2023 = 0 的两个实数根，

∴ a2 + a - 2022 = 0 ， a + b = - 1 = -1
1

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∴ a2 + a = 2023 ，

∴ a2 + 2a + b
= (a2 + a) + (a + b)
= 2023 - 1
= 2022
故答案为： 2022
3
【点睛】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．

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14. 若圆锥的底面半径是 1，高是
，将圆锥侧面沿着母线剪开得到一个扇形，则该扇形的圆心角的度数

是 ．
【答案】180° ##180 度
【解析】

【分析】先利用勾股定理求出母线长，圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长，利用弧长公式即可求解．

3
【详解】解：如图，圆锥的底面半径OA = 1 ，高OB = ，

OA2 +OB2
\ 母线长 AB =

= 2 ，

设扇形的圆心角的度数是 n°，
Q 圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长，
\ 2π ´ OA = nπ ´ AB ，即2π = 2nπ ，

180
解得 n = 180 ，
故答案为：180° ．
180

【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，解题的关键是掌握圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长．

2
15. 如图， eO 的内接正八边形 ABCDEFGH 的边长为 ，则eO 内接正四边形的面积为 ．

2
【答案】 4 + 2

【解析】

【分析】如图，连接OA ， OB ， OH ， BH ， BH 与OA 交于点 M，由正多边形的性质可得

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ÐHOB = 90° ，设eO 的半径为 r，则 HB =
2r ，由垂径定理得 HM =
2 r ，再证
2

OM = HM =
2 r ，最后利用勾股定理解Rt△AMH 即可．
2

【详解】解：如图，连接OA ， OB ， OH ， BH ， BH 与OA 交于点 M，则 BH 为eO 内接正四边形的一个边．
由题意知： AH = AB = ， ÐHOA = ÐAOB = 360° = 45° ，
2
8

\ ÐHOB = 2 ´ 45° = 90° ，
Q 点 A 为 H»B 的中点，
\ OA ^ HB ， HM = MB = 1 HB ，
2

设eO 的半径为 r，

OH 2 + OB2
则 HB = = 2r ，

\ HM = 1 HB = 2 r ，
2 2
Q ÐHOB = 90° ， OH = OB ，

\ ÐOHM = 45° ， 又Q OA ^ HB ，
\ ÐOHM = ÐHOM = 45° ，

\ OM = HM =
2 r ，
2

æ 2 ö
\ AM = OA - OM = 1- r ，
ç 2 ¸
è ø

2 2

2
2
æ
由 AM 2 + HM 2 = AH 2 得 1-
ö r 2 + æ
r ö = (
2 )2 ，

ç 2 ¸ ç 2 ¸
è ø è ø
2
解得 r 2 = 2 + ，

\ HB2 = (
2r )2 = 2r 2 = 2 ´(2 +
2 ) = 4 + 2 ．

2
2
即eO 内接正四边形的面积为4 + 2 ．

2
故答案为： 4 + 2 ．

【点睛】本题考查正多边形和圆，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握圆的内接正多边形的性质．
16. 如图，eO 的半径为2，将eO 的直径 AB 绕点B 顺时针旋转α(0° < α < 90°) 得到线段 BC ，BC 与eO
交于点 F，过点 C 作CD ^ AB 于点 D，连接 DF ． 当α = 60° 时， CF 的长度为 ；
当 BF = 3CF 时， DF 的长度为 ．

7
【答案】 ①. 2 ②.

【解析】

【分析】连接OF ，根据旋转的性质可得到ÐABC = BC = 60°, AB = 4 ，从而得到VOBF 是等边三角形， 进而得到 BF = OB = 2 可求出CF ；过点 F 作 FG ^AB 于点 G，根据 BF = 3CF ，可得 BF = 3 ，再由

ÐBFG = 30° ，可得 BG = 1 BF = 3 ，再由勾股定理可得 FG = 3 3 ，再根据直角三角形的性质可得

2 2 2
BD = 1 BC = 2 ，从而得到 DG 的长，再由勾股定理，即可求解． 2
【详解】解：如图，连接OF ，

∵ eO 的直径 AB 绕点 B 顺时针旋转α(0° < α < 90°) 得到线段 BC ， eO 的半径为 2，
∴ ÐABC = BC = 60°, AB = 4 ，

∵ OF = OB ，
∴ VOBF 是等边三角形，
∴ BF = OB = 2 ，
∴ CF = BC - BF = 4 - 2 = 2 ；
如图，过点 F 作 FG ^AB 于点 G，

∵ BF = 3CF ，
∴ BF = 3 BC = 3 ´ 4 = 3 ， 4 4
∵ ÐBGF = 90°, ÐABC = 60° ，
∴ ÐBFG = 30° ，
∴ BG = 1 BF = 3 ，
2 2

BF 2 - BG2
3 3
2
∴ FG = = ，

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∵ CD ^ AB ，即ÐCDB = 90°，
∴ ÐC = 30° ，

∴ BD = 1 BC = 2 ， 2
∴ DG = BD - BG = 2 - 3 = 1 ，
2 2

DG2 + GF 2
1 + 27
4 4
7
∴ DF = = = ．

7
故答案为：2；

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：x（x-2）=3.

【答案】 x1 = 3, x2 = -1

【解析】

【分析】

【详解】解：x（x-2）=3，

x2 - 2x - 3 = 0 ，
（x-3）（x+1）=0，

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x-3=0 或 x+1=0， 解得 x1 = 3, x2 = -1 .
18. 如图，利用标杆 DE 测量楼高，点 A，D，B 在同一直线上， DE ^AC ， BC ^
E，C．若测得 AE = 1m ， DE = 1.5m ， CE = 5m ，楼高 BC 是多少？

【答案】楼高 BC 是 9 米．


AC ，垂足分别为

【解析】
AE
= DE ，即可求出 BC 的长度．
【分析】先求出 AC 的长度，由 DE ∥ BC ，得到

【详解】解：∵ AE = 1m ， CE = 5m ，
∴ AC = 6 m，
AC BC

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∵ DE ^AC ， BC ^
∴ DE ∥ BC ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ AE = DE ，
AC BC
∵ DE = 1.5m ，
∴ 1 = 1.5 ，
6 BC
∴ BC = 9 ；
∴楼高 BC 是 9 米．
AC ，

【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．

19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．

（1） 将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；
（2） 在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍，得到△A2B2C2，画出
△A2B2C2．
【答案】（1）见解析 （2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出 B，C 的对应点 B1，C1，再顺次连接 A ，B1，C1 即可；

（2）利用位似变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A2，B2，C2，再顺次连接即可．
【小问 1 详解】

如图，△AB1C1 即为所求；
【小问 2 详解】

如图，△A2B2C2 即为所求．

【点睛】本题考查作图—旋转变换和作图—位似变换．利用数形结合的思想是解题关键．

20. 某学校举办“永远跟党走，奋进新征程”党史知识竞赛活动． 初三（1）班经过第一轮班内选拔，A，

B，C，D 四名同学胜出，现需要从这四名同学中挑选人员参加校级决赛．

（1） 如果只挑选一人参赛，则恰好选到 A 同学的概率是 ；

（2） 如果挑选二人参赛，请用画树状图或列表法求恰好选到 A 同学的概率．
1
【答案】（1）
4
5
（2）恰好选到 A 同学的概率为
12
【解析】

【分析】（1）根据概率公式求解即可；

（2）画出树状图，即可进行解答．

【小问 1 详解】解：根据题意得：
恰好选到 A 同学的概率= 1 ，
4
1
故答案为： ．
4

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【小问 2 详解】

如图：

共有 12 种等可能的结果数，满足条件的结果数有 5 种，

5
所以恰好选到 A 同学的概率为 ．
12
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，抛物线 y = -x2 + bx + c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C (0，3) ，对称轴为直线 x = 1 ．

（1） 求抛物线的解析式及点 A，B 的坐标；

（2） 点 P 为第一象限内抛物线上一点，从条件①与条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点 P 的坐标．
条件①：使得VPAB 的面积等于 6；
条件②：使得△PCO 的面积等于 3
注：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．
【答案】（1） y = -x2 + 2x + 3 ， A(-1，0) ， B (3，0)
（2）点 P 的坐标为(2, 3)

【解析】

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b
= 1 ，求出 b 的值，再将C (0，3) 代入求出 c 的值，即可
【分析】（1）由对称轴为直线 x = 1 可得-

2 ´(-1)

求出抛物线的解析式，令-x2 + bx + c = 0 即可求出点 A，B 的坐标；

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（2）设 P (t，- t 2 + 2t + 3) ，条件①：根据 S
求解．


V PAB
= 1 AB ´ y
2 p

= 6 求解；条件②：根据 S


V PCO
= 1 OC ´ x = 3
2 p

【小问 1 详解】
解：Q 抛物线 y = -x2 + bx + c 与 y 轴交于点C (0，3) ，
\ c = 3 ，
Q 对称轴为直线 x = 1 ，

-
b

\ 2 ´(-1)

= 1 ，

\ b = 2 ，
\抛物线的解析式为 y = -x2 + 2x + 3 ， 令 y = 0 ，得-x2 + 2x + 3 = 0 ，
解得 x1 = -1 ， x2 = 3 ，
\ A(-1，0) ， B (3，0) ，
即抛物线的解析式为 y = -x2 + 2x + 3 ， A(-1，0) ， B (3，0) ；
【小问 2 详解】
解：①Q A(-1，0) ， B (3，0) ，
\ AB = 3 - (-1) = 4 ，
Q 点 P 为第一象限内抛物线上一点，
\设 P (t，- t 2 + 2t + 3) ，其中t > 0 ，
Q VPAB 的面积等于 6，

\ SV PAB
= 1 AB ´ y
2 p
= 1 ´ 4 ´ (-t 2 + 2t + 3) = 6 ，

2
解得t1 = 2 ， t2 =0（舍去），
当t = 2 时， -t 2 + 2t + 3 = -22 + 2 ´ 2 + 3 = 3 ，

\点 P 的坐标为(2, 3) ；

②Q C (0，3) ，
\ OC = 3 ，
设 P (t，- t 2 + 2t + 3) ，其中t > 0 ，
Q △PCO 的面积等于 3，

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\ SV PCO
= 1 OC ´ x
2 p
= 1 ´ 3t = 3， 2

解得t = 2 ，
当t = 2 时， -t 2 + 2t + 3 = -22 + 2 ´ 2 + 3 = 3 ，
\点 P 的坐标为(2, 3) ．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象与 x 轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的解题方法．
22. 为了打造“清洁能源示范城市”，某地 2020 年投入资金 2560 万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2022 年比 2020 年投入资金增加了 3200 万元．
（1） 从 2020 年到 2022 年，某地用于充电桩安装的投入资金年平均增长率为多少？
（2）2023 年某地计划再安装 A，B 两种型号的充电桩共 200 个．已知安装 A 型充电桩的总成本 y （单位：万元）与充电桩的数量t （单位：个）之间的关系式是 y = 0.01t 2 - 2t + 200 (t > 0) ；已知安装一个B 型充电桩的成本为 0.6 万元．当 A 型充电桩的安装数量为多少时，A，B 充电桩的成本之和最小？
【答案】（1） 50%
（2） 当 A 型充电桩安装数量为 130 个时，A，B 充电桩的总成本最小

【解析】

【分析】（1）设投入资金年平均增长率为 x，根据 2022 年的投入资金= 2020 年的投入资金´(1+ x)2 ，列出方程求解即可；
（2）根据题意可得 B 型充电桩的数量为(200 - t ) 个，再列出 A，B 充电桩的成本之和的函数表达式，即可进行解答．
【小问 1 详解】

解：设某地用于充电桩安装的投入资金年平均增长率为 x，
2560 (1+ x)2 = 2560 + 3200 ，

整理得： (1+ x)2 = 9 ，

4
解得： x = 1 = 50% ， x = - 5 （舍），
1 2 2 2
答：某地用于充电桩安装的投入资金年平均增长率为50% ．
【小问 2 详解】
∵A 型充电桩的数量t ，
∴B 型充电桩的数量为(200 - t ) 个， 设 A，B 充电桩的成本之和为 W， W = y + 0.6 (200 - t )
= 0.01t 2 - 2t + 200 + 0.6 (200 - t )

= 0.01t 2 - 2.6t + 320
= 0.01(t -130)2 +151(0 < t £ 200) ，
∴当t = 130 时，W 有最小值，最小值为151 ，
答：当 A 型充电桩安装数量为 130 个时，A，B 充电桩的总成本最小．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，解题的关键是掌握增长率公式，根据题意列出 A，B 充电桩的成本之和的函数表达式，根据二次函数的性质求出最值．
23. 如图，在VABC 中， AC ^BC ．点 O 在边 AB 上，以 O 为圆心， OC 为半径的eO 经过 A，B 两点．

（1） 尺规作图：作出eO ，并标出 O 点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，D 为劣弧 ¶AC 的中点，连接 BD 与 AC 交于点 E，延长 BD 至点 F，使
AE = AF ．
①求证： AF 是eO 的切线；
②若 AB = 9 ， BC = 3，求 AF 的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 9 22

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【解析】
【分析】（1）先作 AB 的垂直平分线，找到 AB 的中点 O，再以点 O 为圆心， OC 为半径作圆即可；
（2）①由圆周角定理可得ÐADB = ÐACB = 90° ，由等腰三角形三线合一可得ÐFAD = ÐDAE ，由 D 为
劣弧 »AC 的中点，可得ÐDBA = ÐCBE ，通过等量代换可得ÐFAB = 90°，即可证明 AF 是eO 的切线；
②通过证明△ADE∽△BDA ，△ADE ∽△BCE ，通过对应边成比例得出 BC
= AB ，进而即可求解．

【小问 1 详解】
解： eO 如下图所示：

①证明：如图，连接 AD ，


【小问 2 详解】
CE AE

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Q AB 是eO 的直径，
\ ÐADB = ÐACB = 90° ，
又Q ÐDEA = ÐCEB ， ÐDEA + ÐADB + ÐDAE = 180° ， ÐCEB + ÐACB + ÐCBE = 180° ，
\ ÐDAE = ÐCBE ，
Q D 为劣弧 »AC 的中点，
\ ÐDBA = ÐCBE ，
Q AE = AF ， ÐADB = 90° ，
\ ÐFAD = ÐDAE ，

\ ÐFAD = ÐDBA ，
Q ÐDAB + ÐDBA = 90°，
\ ÐFAD + ÐDAB = 90° ，即ÐFAB = 90°，
\ FA ^ AB ，
AB 是eO 的直径，
Q
\ AF 是eO 的切线；

②解：由①知ÐADE = ÐBCE = 90°， ÐDEA = ÐCEB ，
\ △ADE ∽△BCE ，
\ AD = DE ，
BC CE
\ AD = BC ，
DE CE
由①知ÐDAE = ÐDBA ， 又Q ÐADE = ÐBDA ，
\ △ADE∽△BDA ，
\ AD = AB ，
DE AE
\ BC = AB ．
CE AE
92 - 32
2
Q AB = 9 ， BC = 3， ÐACB = 90° ，

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AB2 - BC 2
\ AC =
= = 6 ，

2
\ CE = AC - AE = 6
- AE ，

6 2 - AE
\ 3 = 9 ，
AE

9 2
2
解得 AE = ，

9 2
2
\ AF = AE = ．

【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法，圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，第二问有一定难度，解题的关键是通过相似三角形对应边成比例推导出
BC = AB ．
CE AE
24. 在平面直角坐标系 xOy 中，点(-1，m)，(3，n) 都在抛物线G : y = x2 + bx + c 上．

（1）当 m = n 时，求b 的值；
（2）当c < m < n 时，求b 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设抛物线G 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B． 将抛物线G 沿着 y 轴向上平移t(t > 0) 个单位长度得到抛物线 H ，若抛物线 H 与 x 轴交于 C，D 两点，与 y 轴交于点 E，且
BE + BE
3 ． 求抛物线 H 在t -1 £ x £ 3 t 的最高点的纵坐标．
= 4 ， CD = 2
AC AD
2

【答案】（1） b = -2
（2） -2 < b < 1
（3） -2

【解析】

【分析】（1）根据题意可知点(-1，m)，(3，n) 关于抛物线对称轴对称，由此利用抛物线对称轴公式进行求解即可；
（2）分当-1 < - b £ 0 ，即0 £ b <