如何求解车轮边缘最高点水平飞出石块的速度.doc

如何求解车轮边缘最高点水平飞出石块的速度
陈永涛 (老师)
笔者在高中物理教学中，遇到这样一个问题：在平直地面上匀速行驶的拖拉机速度V=5m/s，拖拉机前轮直径d=0.8m，如图所示：在行驶过程中从前轮边缘最高点A处水平飞出一个小石块，g取10m/s2，求小石块落地时距C点距离。

在这个问题中，小石块水平离开边缘A点后，做平抛运动，然而平抛初速度V0等于多少呢？对此很多学生无法求解，在此，笔者对如何求解初速度V0作如下解说：
车以速度V=5m/s向前运动，则车轴O点向前的平移速度为V=5m/s。车轮边缘A点绕轴O点旋转，当车速为V=5m/s时，A点绕O点的旋转线速度V′=5m/s。然而，车在实际运行过程中，一方面车在向前平移，另一方面，A点绕轴O点旋转。这就造成上边缘A点参与了两项分运动，一方面随轴点O向前平动，V=5m/s；另一方面绕O点转动，V′=5m/s。在A点时，恰 两 项分运动同向，所以边缘A点的速度为：V+V/=2V，小石块从边缘A点飞出瞬间，具有和边缘A点一样的瞬时速度，即：小石块平抛初速度V0=2V。该项解答过程是：
解：小石块平抛初速度V0=2V，设落点为D，CD间的距离为X
x=v。·t =2v·=4m
答：小石块落点距C点4m。

【校对：周开龙】

2010年全国理综I卷26题新解

李 如 能
（云南省宣威市第六中学 655400 15987489737 xwlzgzblrn@）
说明：该文曾发表在《试题与研究》2011年第13期
（21分）如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
⑴ 粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m;
⑵ 此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
⑶ 从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
分析： 带电粒子在有界磁场中的轨迹问题灵活多变，数理结合的综合应用能力要求较高，过程多，难度大，具有较好的区分度。因此， 多次出现在高考压轴题中，，常规解法数学计算复杂，有限时间内考生很难完成。利用“画圆法”、“滚圆法”、“剪圆法”可以快速、简捷、准确的求解磁场轨迹问题。
解析： ⑴粒子沿y轴的正方向进入磁场，如图1，从P点离开磁场，作弦OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心O'，根据直角三角形有
解得
，则粒子做圆周运动的的圆心角为120°，周期为
粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得
，，化简得
⑵ 画圆法：以O点为轴，OP弦长为半径画圆，如图2.

圆弧与磁场左右边界线交于P、P'、P'',时刻仍在磁场中的粒子处于P'P''区间，容易求得速度v与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°.
滚圆法：以O点为轴，图1中扇形OO'P作顺时针旋转至图3、图4位置. 图3中的P至P'间穿出磁场的粒子、图4中扇形O1OP''再顺时针旋转后的粒子在时刻之前均穿出磁场了，因为该区间穿出的粒子，其圆心角小于120°。图3中的P'（P关于X轴的对称点）至图4中的P''区间粒子仍处在磁场中。容易求得图3中的OO'P'圆弧、图4中的OP''圆弧对应的粒子速度v与y轴的正方向的夹角为60°和120°，所以速度v与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°.
剪圆法：将图1中扇形OO'P剪下，以O为轴顺时针滚动与磁场左右边界线交于P、P'、P'',位置如图2. 时刻仍在磁场中的粒子处于P'P''区间，容易求得速度v与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°.
⑶ 据⑵问，最后离开磁场的粒子从磁场左边界P''穿出（图4），该粒子的发射速度与y轴的正方向的夹角是120°，粒子做圆周运动的的圆心角为120°，在磁场中的运动时间是.而发射该粒子时最先发射的粒子在磁场中已运动了时间，所以从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为.
点评：本题考查学生建立物理模型、数学模型、应用平面几何知识处理物理问题的能力。难点是第（2）问，按步就班求解，过程多，作图难度大，数学应用复杂，空间位置难想象。用“画圆法”、“滚圆法”、“剪圆法”就让难作图、难想象的空间模型变得具体、直观，可触摸，易操作，好理解。该方法处理带电粒子在有界磁场中的轨迹问题快速准确、简捷方便，读者可用上述方法尝试解答2009年全国Ⅰ卷26题、2010年陕西卷25题等。

【校对：周开龙】